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nn
1?4?1－2??－1??1－?－1???＋＝?? 3?1－21－?－1??
?－1?n－1?1?n＋2
＝?2－4?＋3?2?.
数 列
一、选择题(本题共12分小题，每小题5分，共60分)
1．在等差数列{an}中，a2＝1，a4＝5，则{an}的前5项和S5＝( ) A．7 C．20
B．15 D．25
解析：选B ∵{an}是等差数列，∴a2＋a4＝2a3＝1＋5， 5?a1＋a5?5×2a3故a3＝3，∴S5＝＝＝5a3＝5×3＝15.
22
2．公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则a5＝( ) A．1 C．4
B．2 D．8
解析：选A ∵a3·a11＝16，∴a27＝16. 又∵an>0，∴a7＝4.a5＝a7·q2＝4×22＝1.
－
－
3．(2012·银川联考)若数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋1，则向量m＝(a1，a4)的模为( ) A．53 C.53
B．50 D．52
解析：选C 依题意得，a1＝S1＝2，a4＝S4－S3＝(42＋1)－(32＋1)＝7，故m＝(2,7)，|m|＝22＋72＝53.
?a11 a12 a13?
4．已知数阵?a21 a22 a23?中，每行的三个数依次成等差数列，每列的三个数也依次成
???a31 a32 a33?
等差数列，若a22＝4，则这九个数的和为( )
A．16 C．36
B．32 D．40
解析：选C 依题意得，a11＋a12＋a13＋a21＋a22＋a23＋a31＋a32＋a33＝3a12＋3a22＋3a32
＝9a22＝36.
5．(2012·朝阳统考)设数列{an}是公差不为0的等差数列，a1＝1且a1，a3，a6成等比数列，则{an}的前n项和Sn等于( )
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n27n
A.＋ 88n23n
C.＋ 24
n27nB.＋ 44D．n2＋n
2
解析：选A 由a1，a3，a6成等比数列可得a3＝a1·a6，设数列{an}的公差为d(d≠0)，
n?n－1?1n27n1
则(1＋2d)＝1×(1＋5d)，而d≠0，故d＝，所以Sn＝n＋×＝＋. 42488
2
1
6．(2012·银川联考)设数列{an}满足a1＝2，an＋1＝1－，记数列{an}的前n项之积为Πn，
an
则Π2 013的值为( )
1A．－
21C. 2
B．－1 D．2
1
解析：选B 由a2＝，a3＝－1，a4＝2可知，数列{an}是周期为3的周期数列，从而
2Π2 013＝(Π3)671＝－1.
7．(2012·东北三校模拟)等差数列{an}中，S15>0，S16<0，则使an>0成立的n的最大值为( )
A．6 C．8
B．7 D．9
解析：选C 依题意得S15＝
15?a1＋a15?16?a1＋a16?
＝15a8>0，即a8>0；S16＝＝8(a1＋a16)22
＝8(a8＋a9)<0，即a8＋a9<0，a9<－a8<0.因此使an>0成立的n的最大值是8.
2an8．已知数列{an}满足a1＝，且对任意的正整数m，n都有am＋n＝am＋an，则等于( )
3n1
A. 23C. 2
2B. 3D．2
2
解析：选B 令m＝1，得an＋1＝a1＋an，即an＋1－an＝a1＝，可知数列{an}是首项为
322222an2a1＝，公差为d＝的等差数列，于是an＝＋(n－1)·＝n，即＝.
33333n3
9．(2012·“江南十校”联考)已知函数f(x)＝cosx，x∈(0,2π)有两个不同的零点x1，x2，且方程f(x)＝m(m≠0)有两个不同的实根x3，x4，若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m＝( )
1A. 2
1B．－
2
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C.3 2
D．－
3 2
3ππ－223ππ
解析：选D 若m>0，则公差d＝－＝π，显然不成立，所以m<0，则公差d＝
223π
＝. 3
ππ?3＋＝－. 所以m＝cos??23?2
S12S1010．(2012·济南模拟)在等差数列{an}中，a1＝－2 012，其前n项和为Sn，若－＝2，
1210则S2 012的值等于( )
A．－2 011 C．－2 010
B．－2 012 D．－2 013
?Sn?
解析：选B 根据等差数列的性质，得数列?n?也是等差数列，根据已知可得这个数列
??
S1S2 012的首项＝a1＝－2 012，公差d＝1，故＝－2 012＋(2 012－1)×1＝－1，所以S2 012＝
12 012－2 012.
11．已知等差数列{an}满足a2＝3，a5＝9，若数列{bn}满足b1＝3，bn＋1＝abn，则{bn}的通项公式为bn＝( )
A．2n－1 C．2n1－1
＋
B．2n＋1 D．2n1＋2
－
a5－a2解析：选B 设等差数列{an}的公差为d，则有d＝＝2，an＝a2＋(n－2)d＝2n－1；
5－2又bn＋1＝abn，因此有bn＋1＝2bn－1，bn＋1－1＝2(bn－1)，而b1－1＝2≠0，因此数列{bn－1}是首项为2，公比为2的等比数列，于是有bn－1＝2×2n1＝2n，bn＝2n＋1.
－
12.如图，将等差数列{an}的前6项填入一个三角形的顶点及各边中点的位置，且在图中每个三角形顶点所填的三项也成等差数列，
n数列{an}的前2 012项和S2 012＝4 024，则满足nan>an的n的值为
( )
A．2 012 C．2
B．4 024 D．3
解析：选D 设等差数列{an}的公差为d，则由a2，a3，a5成等差数列得2a3＝a2＋a5，即2(a1＋2d)＝(a1＋d)＋(a1＋4d)，有d＝0，于是an＝a1，由S2 012＝4 024得2 012a1＝4 024，
2nx2有a1＝2，即an＝2，由nan>ann得n>2，结合函数y＝2与y＝x的图象知n＝3.
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
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13．已知等比数列{an}为递增数列，且a25＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.
1??解析：a2＝a>0，根据已知条件得2510
?q＋q?＝5，解得q＝2.
89n
所以a21q＝a1q，所以a1＝2，所以an＝2.
答案：2n
14．(2012·衡阳六校联考)设函数f(x)＝则f(a)＋f(c)＝________.
111解析：依题意得b－a＝c－b，－(a－b)＝c－b，则f(a)＋f(c)＝＋2＋＋2＝
a－bc－ba－b＋
1
＋4＝0＋4＝4. c－b答案：4
15．数列{an}满足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则{an}的前60项和为________．
解析：∵an＋1＋(－1)nan＝2n－1，∴a2＝1＋a1，a3＝2－a1，a4＝7－a1，a5＝a1，a6＝9＋a1，a7＝2－a1，a8＝15－a1，a9＝a1，a10＝17＋a1，a11＝2－a1，a12＝23－a1，…，a57＝a1，a58＝113＋a1，a59＝2－a1，a60＝119－a1，
∴a1＋a2＋…＋a60＝(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋a7＋a8)＋…＋(a57＋a58＋a59＋a60)＝10＋26＋42＋…＋234
＝
15×?10＋234?
＝1 830.
2
1
＋2，若a，b，c成等差数列(公差不为零)，x－b
答案：1 830
16．(2012·衡阳六校联考)在一个数列中，如果?n∈N*，都有anan＋1an＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积．已知数列{an}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________.
解析：依题意得数列{an}是周期为3的数列，且a1＝1，a2＝2，a3＝4，因此a1＋a2＋a3
＋…＋a12＝4(a1＋a2＋a3)＝4×(1＋2＋4)＝28.
答案：28
三、解答题(本题共6小题，共70分)
117．(本小题满分10分)(2012·陕西高考)已知等比数列{an}的公比q＝－.
21
(1)若a3＝，求数列{an}的前n项和；
4
(2)证明：对任意k∈N＋，ak，ak＋2，ak＋1成等差数列． 11
解：(1)由a3＝a1q2＝及q＝－，得a1＝1，
42
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?－1?n?2＋?－1?n－1
1×?1－??2???2?所以数列{an}的前n项和Sn＝＝. 13?1－??－2?
(2)证明：对任意k∈N＋，
2ak＋2－(ak＋ak＋1)＝2a1qk1－(a1qk1＋a1qk)
＋
－
＝a1qk1(2q2－q－1)，
－
1
由q＝－得2q2－q－1＝0，故2ak＋2－(ak＋ak＋1)＝0.
2所以对任意k∈N＋，ak，ak＋2，ak＋1成等差数列．
18．(本小题满分12分)(2012·陕西高考)设{an}是公比不为1的等比数列，其前n项和为Sn，且a5，a3，a4成等差数列．
(1)求数列{an}的公比；
(2)证明：对任意k∈N＋，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差数列． 解：(1)设数列{an}的公比为q(q≠0，q≠1)， 由a5，a3，a4成等差数列，得2a3＝a5＋a4， 即2a1q2＝a1q4＋a1q3.
由a1≠0，q≠0得q2＋q－2＝0，解得q1＝－2或q2＝1(舍去)，故q＝－2. (2)证明：法一：对任意k∈N＋， Sk＋2＋Sk＋1－2Sk＝(Sk＋2－Sk)＋(Sk＋1－Sk) ＝ak＋1＋ak＋2＋ak＋1 ＝2ak＋1＋ak＋1·(－2) ＝0，
所以对任意k∈N＋，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差数列． 2a1?1－qk?法二：对任意k∈N＋，2Sk＝，
1－q
a1?1－qk2?a1?1－qk1?a1?2－qk2－qk1?
Sk＋2＋Sk＋1＝＋＝，
1－q1－q1－q
＋
＋
＋
＋
2a1?1－qk?a1?2－qk2－qk1?
2Sk－(Sk＋2＋Sk＋1)＝－
1－q1－q
＋
＋
＝
a1＋＋
[2(1－qk)－(2－qk2－qk1)] 1－q
a1qk2＝(q＋q－2)＝0， 1－q
因此，对任意k∈N＋，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差数列．
19．(本小题满分12分)(2012·潍坊模拟)已知数列{an}是各项均不为0的等差数列，Sn
1*
为其前n项和，且满足S2n－1＝a2n，n∈N. 2
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