证：列出┐(┐P∨┐Q)∨┐(┐P∨Q)和P的真值表： P Q ┐P ┐Q 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 ┐P∨┐Q 1 1 1 0 ┐(┐P∨┐Q) 0 0 0 1 ┐(┐P∨Q) 0 0 1 0 ┐(┐P∨┐Q)∨┐(┐P∨Q) 0 0 1 1
（6）(P→Q)∧(Q→R) ? (┐P∧┐Q)∨(┐P∧R)∨(Q∧R)
证：列出(P→Q)∧(Q→R)和(┐P∧┐Q)∨(┐P∧R)∨(Q∧R)的真值表： P Q R P→Q Q→R 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 P Q R ┐P 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 ┐Q 1 1 0 0 1 1 0 0 ┐P∧┐Q 1 1 0 0 0 0 0 0 ┐P∧R 0 1 0 1 0 0 0 0 Q∧R 0 0 0 1 0 0 0 1 (┐P∧┐Q)∨(┐P∧R)∨(Q∧R) 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 (P→Q)∧(Q→R) 1 1 0 1 0 0 0 1
10、证明下列等价式。
（1）(P∧Q)∨(P∧┐Q) ? P
证：(P∧Q)∨(P∧┐Q) ? P∧(Q∨┐Q) ? P∧1? P
（2）Q→(P∨(P∧Q)) ? ┐Q∨P
证：Q→(P∨(P∧Q)) ? Q→P (吸收律)? ┐Q∨P
（3）P→(P→Q) ? P→Q
证：P→(P→Q) ? ┐P∨(┐P∨Q) ? ┐P∨Q(等幂律) ? P→Q
（4）(A∧┐B)→C ? A→(B∨C)
证：(A∧┐B)→C ? ┐(A∧┐B) ∨C ? (┐A∨B) ∨C ? ┐A∨(B∨C)? A→(B∨C)
（5）(P→Q)∨(P→R) ? P→(Q∨R)
证：(P→Q)∨(P→R) ? (┐P∨Q)∨(┐P∨R) ? ┐P∨(Q∨R) ? P→(Q∨R)
（6）┐(P?(Q→(R∨P))) ? ┐P∧┐(Q∧┐R)
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证：┐(P?(Q→(R∨P))) ? ┐(P?(┐Q∨R∨P)) ? ┐((P→(┐Q∨R∨P))∧((┐Q∨R∨P)→P)) ? ┐((┐P∨┐Q∨R∨P)∧(┐(┐Q∨R∨P)∨P)) ? ┐(1∧((Q∧┐R∧┐P)∨P))
? ┐((Q∧┐R∧┐P)∨P) ? ┐((Q∧┐R)∨P)∧(┐P∨P)) ? ┐((Q∧┐R)∨P)∧1) ? ┐((Q∧┐R)∨P) ? ┐(Q∧┐R) ∧┐P ? ┐P∧┐(Q∧┐R)
（7）(P→R)∧(Q→R) ? (P∨Q)→R
证：(P→R)∧(Q→R) ? (┐P∨R)∧(┐Q∨R) ? (┐P∧┐Q)∨R ? ┐(P∨Q)∨R ? (P∨Q)→R （8）（9）（10）（12）答案见教材105-106页。 （11）A→(B→C) ? (A→C)∨(B→C)
证：A→(B→C) ? ┐A∨(┐B∨C) ? ┐A∨┐B∨C∨C ? (┐A∨C)∨(┐B∨C) ? (A→C)∨(B→C)
11、证明下列命题公式为永真式。 （1）(P∧Q→P)∧(P∨┐P)
证：(P∧Q→P)∧(P∨┐P) ? (┐(P∧Q) ∨P)∧1 ? ┐(P∧Q) ∨P ? (┐P∨┐Q) ∨P ? ┐P∨P∨┐Q ? 1∨┐Q ? 1
（2）P→(P∨Q)
证：P→(P∨Q) ? ┐P∨(P∨Q) ? (┐P∨P)∨Q ? 1∨Q ? 1
（3）┐P→(P→Q)
证：┐P→(P→Q) ? P∨(┐P∨Q) ? (P∨┐P)∨Q ? 1∨Q ? 1
（4）(P→(P∨Q))∧(┐P→(P→Q))
证：(P→(P∨Q))∧(┐P→(P→Q)) ? (┐P∨(P∨Q))∧(P∨(┐P∨Q)) ? ((┐P∨P)∨Q)∧((P∨┐P)∨Q)? (1∨Q)∧(1∨Q) ? 1∧1 ? 1
（5）(P∧(P→Q))→Q
证：(P∧(P→Q))→Q ? ┐(P∧(┐P∨Q)) ∨Q
? (┐P∨┐(┐P∨Q))∨Q ? (┐P∨(P∧┐Q))∨Q ? ((┐P∨P)∧(┐P∨┐Q))∨Q
? (1∧(┐P∨┐Q))∨Q ? (┐P∨┐Q)∨Q ? ┐P∨(┐Q∨Q) ? ┐P∨1 ? 1
（6）((P→Q)∧(Q→R))→(P→R)
证：((P→Q)∧(Q→R))→(P→R) ? ┐((┐P∨Q)∧(┐Q∨R))∨(┐P∨R) ? (┐(┐P∨Q)∨┐(┐Q∨R))∨(┐P∨R) ? ((P∧┐Q)∨(Q∧┐R))∨┐P∨R ? ((P∧┐Q)∨┐P)∨((Q∧┐R))∨R)
? ((P∨┐P)∧(┐Q∨┐P))∨((Q∨R)∧(┐R∨R)) ? (1∧(┐Q∨┐P))∨((Q∨R)∧1) ? (┐Q∨┐P)∨(Q∨R)
? (┐Q∨Q)∨┐P∨R? 1∨┐P∨R ? 1
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12、利用真值表证明：
（1）析取运算满足结合律。
证：列出(P∨Q)∨R和P∨(Q∨R)的真值表： P Q R P∨Q (P∨Q)∨R Q∨R P∨(Q∨R) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 由表可知(P∨Q)∨R ? P∨(Q∨R)，即析取运算满足结合律。
（2）合取运算满足结合律。
证：列出(P∧Q)∧R和P∧(Q∧R)的真值表： P Q R P∧Q (P∧Q)∧R Q∧R P∧(Q∧R) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 由表可知(P∧Q)∧R ? P∧(Q∧R)，即合取运算满足结合律。
（3）合取对析取满足分配律。
证：列出P∧(Q∨R)和(P∧Q)∨(P∧R)的真值表： P Q R Q∨R P∧(Q∨R) P∧Q P∧R (P∧Q)∨(P∧R) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 由表可知P∧(Q∨R)? (P∧Q)∨(P∧R)，即合取对析取满足分配律。
（4）析取对合取满足分配律。
证：列出P∨(Q∧R)和(P∨Q)∧(P∨R)的真值表： P Q R Q∧R P∨(Q∧R) P∨Q P∨R (P∨Q)∧(P∨R) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0
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0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 由表可知P∨(Q∧R)? (P∨Q)∧(P∨R)，即析取对合取满足分配律。
（5） 摩根律。
证：①列出┐(P∧Q)和┐P∨┐Q的真值表： P Q R P∧Q ┐(P∧Q) ┐P ┐Q ┐P∨┐Q 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 由表可知┐(P∧Q)? ┐P∨┐Q。 ②列出┐(P∨Q)和┐P∧┐Q的真值表： P Q R P∨Q ┐(P∨Q) ┐P ┐Q ┐P∧┐Q 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 由表可知┐(P∨Q)? ┐P∧┐Q。 由①②可知运算满足摩根律。
13、利用真值表证明下列永真蕴含式。 （1）┐P ? P→Q
证：列出┐P → P→Q的真值表： P Q P→Q ┐P ┐P → P→Q 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 （2）┐Q∧(P→Q)? ┐P
证：列出┐Q∧(P→Q) → ┐P的真值表： P Q ┐Q P→Q ┐Q∧(P→Q) ┐P ┐Q∧(P→Q) → ┐P 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1
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（3）┐P∧(P∨Q)? Q
证：列出┐P∧(P∨Q) → Q的真值表： P Q 0 0 0 1 1 0 1 1 ┐P 1 1 0 0 P∨Q 0 1 1 1 ┐P∧(P∨Q) 0 1 0 0 ┐P∧(P∨Q) → Q 1 1 1 1 （4）(P∨Q)∧(P→R)∧(Q→R)? R
证：列出(P∨Q)∧(P→R)∧(Q→R)→R的真值表： P 0 0 0 0 1 1 1 1 Q 0 0 1 1 0 0 1 1 R P∨Q P→R 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 Q→R 1 1 0 1 1 1 0 1 (P∨Q)∧(P→R)∧(Q→R) 0 0 0 1 0 1 0 1 (P∨Q)∧(P→R)∧(Q→R)→R 1 1 1 1 1 1 1 1 14、利用常用永真蕴含式证明： （1）(P∨Q)∧(P→R)∧(Q→S) ? R∨S
证：(P∨Q)∧(P→R)∧(Q→S) ? ((┐P→Q) ∧(Q→S))∧(P→R) ? (┐P→S)∧(P→R) ? (P∨S)∧(┐P∨R) ? ((P∨S)∧┐P)∨((P∨S)∧R)
? ((P∧┐P)∨(┐P∧S))∨((P∨S)∧R) ? 0∨(┐P∧S)∨((P∨S)∧R)
? (┐P∧S)∨((P∨S)∧R)(简化律) ? S∨((P∨S)∧R) ? S∨R ? R∨S
（2）(P→Q)∧(┐Q∨R)∧┐R∧┐(┐P∧S) ? ┐S
证：(P→Q)∧(┐Q∨R)∧┐R∧┐(┐P∧S) ? (P→Q)∧((┐Q∨R)∧┐R)∧(P∨┐S) ? (P→Q)∧┐Q∧(P∨┐S) ? ┐P∧(P∨┐S) ? ┐S （3）（4）答案见教材106-107页。
（5）(┐(P→Q)→┐(R∨S))∧((Q→P) ∨┐R)∧R ? P ? Q 证：(┐(P→Q)→┐(R∨S))∧((Q→P) ∨┐R)∧R ? ((P→Q) ∨┐(R∨S))∧((Q→P) ∨┐R)∧(R∧R) ? (((R∨S)→(P→Q))∧R) ∧((R→(Q→P))∧R) ? (((R∨S)→(P→Q))∧(R∨S))∧((R→(Q→P))∧R) ? (P→Q)∧(Q→P) ? P ? Q
15、利用直接证明方法证明下列各永真蕴含式。 （1）┐D，┐C∨D，A∧B→C ? ┐A∨┐B 证：
① ┐D P ② ┐C∨D P ③ ┐C T①②
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