④ A∧B→C P ⑤ ┐(A∧B) T③④ ⑥ ┐A∨┐B E⑤
（2）A→（┐B∨C），D∨E，(D∨E)→A ? B→C 证：
① (D∨E)→A P ② D∨E P ③ A T①② ④ A→（┐B∨C） P ⑤ ┐B∨C T③④ ⑥ B→C E⑤
（3）A→B，B→C，A∨┐D，┐C ? ┐D 证：
① A→B P ② B→C P ③ A→C T①② ④ ┐C P ⑤ ┐A T③④ ⑥ A∨┐D P ⑦ ┐D T⑤⑥
（4）A→(B→C)，┐D∨A，B ? D→C 证：
① ┐D∨A P ② D→A E① ③ A→(B→C) P ④ D→(B→C) T②③ ⑤ ┐D∨┐B∨C E④ ⑥ B→(D→C) E⑤ ⑦ B P ⑧ D→C T⑥⑦ （5）M?Q，M→S，S→┐R ? R→Q 证：
① M→S P ② S→┐R P ③ M→┐R T①② ④ ┐M∨┐R E③ ⑤
R→┐M E④
⑥ M?Q P ⑦ (┐M∨┐Q)∧(M∨Q) E⑥ ⑧ M∨Q T⑦ ⑨ ┐M→Q E⑧ ⑩
R→Q T⑤⑨
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（6）┐(P→Q)→┐(R∨S)，(Q→P) ∨┐R，R ? P?Q 证：
① (Q→P) ∨┐R P ② R→(Q→P) E① ③ R P ④ Q→P T②③ ⑤ ┐(P→Q)→┐(R∨S) P ⑥ (P→Q)∨┐(R∨S) E⑤ ⑦ (R∨S)→(P→Q) E⑥ ⑧ R∨S T③ ⑨ P→Q T⑦⑧ ⑩ (P→Q)∧(Q→P) E④⑨ ? P?Q E⑩
（7）P?Q，S→┐Q，S∨R，┐R ? ┐P 证：
① ┐R P ② S∨R P ③ S T①② ④ S→┐Q P ⑤ ┐Q T③④ ⑥ P?Q P ⑦ (P→Q)∧(Q→P) E⑥ ⑧ P→Q T⑦ ⑨ ┐P T⑤⑧
（8）P∨Q，P→R，Q→S，┐S ? R 证：
① ┐S P ② Q→S P ③ ┐Q T①② ④ P∨Q P ⑤ P T③④ ⑥ P→R P ⑦ R T⑤⑥
16、用间接证明法证明下列各式。
（1）P→Q，┐Q∨R，┐(┐P∧S)，┐R ? ┐S 证：
① ┐(┐S) P(附加前提) ② ┐(┐P∧S) P ③ P∨┐S E② ④ P T①③ ⑤ P→Q P ⑥ Q T④⑤ ⑦ ┐Q∨R P ⑧ R T⑥⑦
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⑨ ┐R P ⑩ R∧┐R ? 0 E⑧⑨
（2）(A→B)∧(C→D)∧(B→E)∧(D→F)∧┐(E∧F)∧(A→C) ? ┐A 证：
① ┐(┐A) P(附加前提) ② A→B P ③ B T①② ④ B→E P ⑤ E T③④ ⑥ ┐(E∧F) P ⑦ ┐E∨┐F E⑥ ⑧ ┐F T⑤⑦ ⑨ D→F P ⑩ ┐D T⑧⑨ ? C→D P
? ┐C T○10○11 ? A→C P ? C T①○13 ? ┐C∧C ? 0 E○12○14
（3）P→Q，S→┐Q，S∨R，┐R ? ┐P 证：
① ┐(┐P) P(附加前提) ② P→Q P ③ Q T①② ④ S→┐Q P ⑤ ┐S T③④ ⑥ S∨R P ⑦ R T⑤⑥ ⑧ ┐R P
⑨ R∧┐R ? 0 E⑦⑧
（4）┐P→Q，P→┐R，Q→S，┐S ? ┐R 证：
① ┐(┐R) P(附加前提) ② P→┐R P ③ ┐P T①② ④ ┐P→Q P ⑤ Q T③④ ⑥ Q→S P ⑦ S T⑤⑥ ⑧ ┐S P
⑨ S∧┐S ? 0 T⑦⑧
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17、用CP规则证明下列各式。
（1）A→（┐B∨C），D∨E，（D∨E）→A ? B→C 证：
① D∨E P ② (D∨E)→A P ③ A T①② ④ A→(┐B∨C) P ⑤ ┐B∨C T③④
⑥ B P(附加前提) ⑦ ┐(┐B) E⑥ ⑧ C T⑤⑦ ⑨ B→C CP规则
（2）A，B→（A→C），（C∧D）→E，┐F→（D∧┐E）? B→F 证：
① B P(附加前提) ② B→（A→C） P ③ A→C T①② ④ A P ⑤ C T③④ ⑥ (C∧D)→E P ⑦ ┐(C∧D)∨E E⑥ ⑧ ┐C∨┐D∨E E⑦ ⑨ C→(┐D∨E) E⑧ ⑩ ┐D∨E T⑤⑨ ? ┐(D∧┐E) E⑩ ? ┐F→（D∧┐E） P
? F T○11○12 ? B→F CP规则
（3）A→(B→C)，┐D∨A，B ? D→C 证：
① D P(附加前提) ② ┐D∨A P ③ D→A E② ④ A T①③ ⑤ A→(B→C) P ⑥ B→C T④⑤ ⑦ B P ⑧ C T⑥⑦ ⑨ D→C CP规则
（4）┐D，┐C∨D，（A∧B）→C ? A→┐B 证：
① ┐D P ② ┐C∨D P
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③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ┐C T①② (A∧B)→C P ┐(A∧B) T③④ ┐A∨┐B E⑤
A P(附加前提) ┐B T⑥⑦ A→┐B CP规则
18、对于下列一组前提，请给出它们的有效结论，并进行证明。
（1）如果我努力学习，那么我能通过考试；如果我通过考试，那么我去看电影；但我没去看电影。 证：令 P：我努力学习，Q：我通过考试，R：我去看电影。
前提：P→Q，Q→R，┐R 有效结论：┐P 即需证：（P→Q）∧（Q→R）∧┐R ?┐P ① P→Q P ② Q→R P ③ P→R T①② ④ ┐R P ⑤ ┐P T③④
┐P是有效结论，即我没努力学习是有效结论。
（2）今晚我去剧场看戏或者去夜大上课；如果我去剧场看戏，那么我很高兴；如果我去夜大上课，那么我要吃
个面包；但我没吃面包。
证：令 P：我去剧场看戏，Q：我去夜大上课，R：我高兴，S：我吃面包。
前提：P∨Q，P→R，Q→S，┐S 有效结论：R 即需证：（P∨Q）∧（P→R）∧（Q→S）∧┐S ?R ① Q→S P ② ┐S P ③ ┐Q T①② ④ P∨Q P ⑤ P T③④ ⑥ P→R P
⑦ R T⑤⑥
R是有效结论，即我高兴是有效结论。
19、分析下列事实：“早饭我吃面包或蛋糕；如果我吃面包，那么我还要喝牛奶；如果我吃蛋糕，那么我还要喝
咖啡；但我没有喝咖啡，所以早饭我吃面包和牛奶。”请写出前提和有效结论，并证明之。 证：令 P：早饭我吃面包，Q：早饭我吃蛋糕，R：我喝牛奶，S：我喝咖啡。
前提：P∨Q，P→R，Q→S，┐S 结论：P∧R 即需证：（P∨Q）∧（P→R）∧（Q→S）∧┐S ? P∧R ① Q→S P ② ┐S P ③ ┐Q T①② ④ P∨Q P ⑤ P T③④
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