⑥ P→R P ⑦ R T⑤⑥ ⑧ P∧R T⑤⑦
20、分析下列事实：“如果我考上大学，那么我去杭州旅游；如果我去杭州旅游，那么我要买新衣服；如果我要
买新衣服，那么我就去银行取钱。但我没去银行取钱，所以我没考上大学”。写出前提和结论，并证明结论是有效结论。
证：令 P：我考上大学，Q：我去杭州旅游，R：我买新衣服，S：我去银行取钱。
前提：P→Q，Q→R，R→S，┐S 结论：┐P 即需证：（P→Q）∧（Q→R）∧（R→S）∧┐S ? ┐P ① P→Q P ② Q→R P ③ P→R T①② ④ R→S P ⑤ P→S T③④ ⑥ ┐S P ⑦ ┐P T⑤⑥ 21、答案见教材107页。
22、下列推理中，哪些结论是有效结论。
（1）如果我参加长跑比赛，那么我很疲劳；但我不疲劳，所以我没有参加长跑比赛。 解：令 P：我参加长跑比赛，Q：我疲劳。 前提：P→Q，┐Q 结论：┐P
因为（P→Q）∧┐Q ? ┐P
所以┐P是有效结论，即我没有参加长跑比赛是有效结论。
（2）如果你上课用心听讲，那么你考试及格；你上课不用心听讲，所以你考试不及格。解：令 P：你上课用心听讲，Q：你考试及格。 前提：P→Q，┐P 结论：┐Q 因为 P Q P→Q ┐P ┐Q （P→Q）∧┐P （P→Q）∧┐P → ┐Q 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 （P→Q）∧┐P → ┐Q?1即（P→Q）∧┐P?┐Q 所以┐Q不是有效结论，即你考试不及格不是有效结论。
23、求下列命题公式的析取范式。 （1）（P→Q）? ┐R
解:（P→Q）? ┐R ?（┐P∨Q）? ┐R
?(（┐P∨Q）→ ┐R）∧(┐R→（┐P∨Q）） ?(┐（┐P∨Q）∨ ┐R）∧(R∨（┐P∨Q）） ?(（P∧┐Q）∨ ┐R）∧(┐P∨Q∨R）
?(（P∧┐Q）∧(┐P∨Q∨R）)∨ (┐R∧(┐P∨Q∨R）)
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?(P∧┐Q∧┐P)∨(P∧┐Q∧Q)∨(P∧┐Q∧R)∨(┐R∧┐P)∨(┐R∧Q)∨(┐R∧R) ?0∨0∨(P∧┐Q∧R)∨(┐P∧┐R)∨(Q∧┐R)∨0 ?(P∧┐Q∧R)∨(┐P∧┐R)∨(Q∧┐R)
（2） P →（Q?R）
解: P →（Q?R）? ┐P ∨（Q?R）? ┐P ∨(（Q→R）∧（R→Q）) ? ┐P ∨(（┐Q∨R）∧（┐R∨Q）)
? ┐P ∨((（┐Q∨R）∧┐R) ∨（（┐Q∨R）∧Q）)
? ┐P ∨((┐Q∧┐R)∨(R∧┐R)）∨（（┐Q∧Q）∨(R∧Q）) ? ┐P ∨(┐Q∧┐R)∨0∨0∨(R∧Q） ? ┐P ∨(┐Q∧┐R)∨(Q∧R）
（3）（┐P∨Q）→R
解:（┐P∨Q）→R ? ┐（┐P∨Q）∨R ? （P∧┐Q）∨R
（4）（P?Q）→（R∧P）
解:（P?Q）→（R∧P）? ┐(P?Q）∨（R∧P）? ┐((P→Q) ∧(Q→P)）∨（R∧P）? ┐((┐P∨Q) ∧(┐Q∨P)）∨（R∧P） ? (┐(┐P∨Q) ∨┐(┐Q∨P)）∨（R∧P） ? ( (P∧┐Q) ∨ (Q∧┐P)）∨（R∧P） ? (P∧┐Q)∨(┐P∧Q)∨（P∧R）
（5）（P→Q）? R
解:（P→Q）? R ? ((P→Q）→ R) ∧(R→(P→Q）) ? (┐(P→Q）∨ R) ∧(┐R∨(P→Q）) ? (┐(┐P∨Q）∨ R) ∧(┐R∨(┐P∨Q）) ? ( (P∧┐Q）∨ R) ∧(┐P∨Q∨┐R)
? ((P∧┐Q）∧(┐P∨Q∨┐R))∨ (R∧(┐P∨Q∨┐R))
? (P∧┐Q∧┐P）∨(P∧┐Q∧Q)∨ (P∧┐Q∧┐R)∨(R∧┐P)∨(R∧Q)∨(R∧┐R) ? 0∨0∨ (P∧┐Q∧┐R)∨(┐P∧R)∨(Q∧R)∨0 ? (P∧┐Q∧┐R)∨(┐P∧R)∨(Q∧R)
24、求下列命题公式的主析取范式。 （1）（P→Q）∨（P→R）
解:（P→Q）∨（P→R）?（┐P∨Q）∨（┐P∨R） ? ┐P∨Q∨R
? m0□□∨m□1□∨m□□1
?(m000∨m001∨m010∨m011)∨(m010∨m011∨m110∨m111)∨(m001∨m011∨m101∨m111) ? m000∨m001∨m010∨m011∨m101∨m110∨m111
?(┐P∧┐Q∧┐R)∨(┐P∧┐Q∧R) ∨(┐P∧Q∧┐R) ∨(┐P∧Q∧R) ∨(P∧┐Q∧R) ∨(P∧Q∧┐R) ∨(P∧Q∧R)
（2）（P→R）∧（Q→R）
解:（P→R）∧（Q→R）?（┐P∨R）∧（┐Q∨R） ? (┐P∧┐Q) ∨ R
? m00□∨m□□1 ? (m000∨m001)∨(m001∨m011∨m101∨m111)
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? m000∨m001∨m011∨m101∨m111
?(┐P∧┐Q∧┐R)∨(┐P∧┐Q∧R) ∨(┐P∧Q∧R) ∨(P∧┐Q∧R) ∨(P∧Q∧R)
（3） P∧（Q?R）
解: P∧（Q?R）? P∧（Q→R）∧（R→Q）? P∧（┐Q∨R）∧（Q∨┐R） ?((P∧┐Q)∨(P∧R）)∧（Q∨┐R）
?((P∧┐Q) ∧（Q∨┐R）) ∨((P∧R）∧（Q∨┐R）)
?(P∧┐Q∧Q) ∨(P∧┐Q∧┐R) ∨(P∧R∧Q）∨(P∧R∧┐R） ?(P∧0) ∨(P∧┐Q∧┐R) ∨(P∧Q∧R）∨(P∧0） ? 0∨(P∧┐Q∧┐R) ∨(P∧Q∧R）∨0 ?(P∧┐Q∧┐R) ∨(P∧Q∧R）
（4） ┐(P∨Q）?（P∧Q）
解: ┐(P∨Q）?（P∧Q）? (┐(P∨Q）→（P∧Q）) ∧(（P∧Q）→┐(P∨Q）) ?((P∨Q）∨（P∧Q）) ∧(┐（P∧Q）∨┐(P∨Q）) ?(Q∨ (P∨（P∧Q）)) ∧(┐P∨┐Q∨(┐P∧┐Q）) ?(Q∨P) ∧(┐Q∨(┐P∨(┐P∧┐Q）))
?(Q∨P) ∧(┐Q∨┐P) ?((Q∨P) ∧┐Q) ∨((Q∨P) ∧┐P) ?((Q∧┐Q)∨(P∧┐Q))∨((Q∧┐P)∨(P∧┐P)) ?(0∨(P∧┐Q) )∨((Q∧┐P)∨0) ?(P∧┐Q) ∨(┐P∧Q)
（5） ┐(P→Q）∨（Q?R）
解: ┐(P→Q）∨（Q?R）? ┐(┐P∨Q）∨((Q→R）∧(R→Q)) ? (P∧┐Q）∨((┐Q∨R）∧(┐R∨Q))
? (P∧┐Q）∨(((┐Q∨R）∧┐R)∨((┐Q∨R）∧Q))
? (P∧┐Q）∨((┐Q∧┐R)∨(R∧┐R）)∨((┐Q∧Q)∨(R∧Q)) ? (P∧┐Q）∨((┐Q∧┐R)∨0)∨(0∨(R∧Q)) ? (P∧┐Q）∨(┐Q∧┐R)∨(Q∧R)
? m10□∨m□00∨m□11 ?(m100∨m101)∨(m000∨m100)∨(m011∨m111) ? m000∨m011∨m100∨m101∨m111
?(┐P∧┐Q∧┐R)∨(┐P∧Q∧R) ∨(P∧┐Q∧┐R) ∨(P∧┐Q∧R) ∨(P∧Q∧R)
25、利用真值表求下列命题公式的主析取范式。 （1）（P→Q）? R P Q R P→Q （P→Q）? R 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 主析取范式?m001∨m011∨m100∨m111
?(┐P∧┐Q∧R)∨(┐P∧Q∧R) ∨(P∧┐Q∧┐R) ∨(P∧Q∧R)
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（2） ┐(P→Q）∨(Q→R) P Q R P→Q ┐(P→Q） Q→R ┐(P→Q）∨(Q→R) 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 主析取范式?m000∨m001∨m011∨m100∨m101∨m111
?(┐P∧┐Q∧┐R)∨(┐P∧┐Q∧R) ∨(┐P∧Q∧R) ∨(P∧┐Q∧┐R) ∨(P∧┐Q∧R) ∨(P∧Q∧R)
（3） P∧Q∧(Q ? R) P Q R P∧Q Q ? R P∧Q∧(Q ? R) 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 主析取范式?m111 ? P∧Q∧R
（4） (P→Q) ∨(┐R→S) P Q R S P→Q ┐R ┐R→S (P→Q）∨ (┐R→S) 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 主析取范式?m0000∨m0001∨m0010∨m0011∨m0100∨m0101∨m0110∨m0111
∨m1001∨m1010∨m1011∨m1100∨m1101∨m1110∨m1111
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? (┐P∧┐Q∧┐R∧┐S)∨(┐P∧┐Q∧┐R∧ S) ∨(┐P∧┐Q∧ R∧┐S) ∨(┐P∧┐Q∧R∧S)∨(┐P∧Q∧┐R∧┐S)∨(┐P∧Q∧┐R∧S)
∨(┐P∧Q∧R∧┐S) ∨(┐P∧Q∧R∧S)∨(P∧┐Q∧┐R∧S) ∨(P∧┐Q∧R∧┐S) ∨(P∧┐Q∧R∧S) ∨(P∧Q∧┐R∧┐S) ∨(P∧Q∧┐R∧S)∨(P∧Q∧R∧┐S) ∨(P∧Q∧R∧S)
（5） ┐P∧(Q?R) P 0 0 0 0 1 1 1 1 Q 0 0 1 1 0 0 1 1 R 0 1 0 1 0 1 0 1 ┐P 1 1 1 1 0 0 0 0 Q?R 1 0 0 1 1 0 0 1 ┐P∧(Q?R) 1 0 0 1 0 0 0 0 主析取范式?m000∨m011? (┐P∧┐Q∧┐R) ∨(┐P∧Q∧R)
26、求下列命题公式的合取范式。 （1）（┐P→Q）→R
解:（┐P→Q）→R ? (P∨Q）→R ? ┐(P∨Q）∨R ? (┐P∧┐Q）∨R ? (┐P∨R)∧(┐Q∨R)
（2）（P→┐Q）?R
解:（P→┐Q）?R ?（┐P∨┐Q）?R ?（（┐P∨┐Q）→R）∧（ R→（┐P∨┐Q）） ?（┐（┐P∨┐Q）∨R）∧（┐R∨（┐P∨┐Q）） ?（（P∧Q）∨R）∧（┐P∨┐Q∨┐R） ?（P∨R）∧（Q∨R）∧（┐P∨┐R∨┐Q）
（3） ┐P?(Q→R)
解: ┐P?(Q→R)? ┐P?(┐Q∨R) ? （┐P→(┐Q∨R)）∧ （(┐Q∨R)→┐P） ?（P∨(┐Q∨R)）∧（┐(┐Q∨R) ∨┐P） ?（P∨┐Q∨R）∧（ (Q∧┐R) ∨┐P） ?（P∨┐Q∨R）∧(┐P∨Q)∧（┐P∨┐R)
（4）（┐P→Q）?R
解:（┐P→Q）?R ?（P∨Q）?R ?（（P∨Q）→R）∧（R→（P∨Q）） ?（┐（P∨Q）∨R）∧（┐R∨（P∨Q）） ?（（┐P∧┐Q）∨R）∧（P∨Q∨┐R） ?（┐P∨R）∧（┐Q∨R）∧（P∨Q∨┐R）
（5） P∧(Q?R)
解: P∧(Q?R) ? P∧(Q→R)∧(R→Q) ? P∧(┐Q∨R)∧(Q∨┐R)
27、求下列命题公式的主合取范式。 （1）（P→Q）∧(R→Q)
解：（P→Q）∧(R→Q) ?（┐P∨Q）∧(Q∨┐R) ? M10□∧M□01? M100∧M101∧M001∧M101
? M001∧M100∧M101?（P∨Q∨┐R）∧（┐P∨Q∨R）∧（┐P∨Q∨┐R）
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