拉普拉斯逆变换
对于单边拉普拉斯变换，由式（8.1-9）知，象函数F(s)的拉普拉斯逆变换为
(8.3-1)
上述积分应在收敛域内进行，若选常数???0[?0??f(t)??1?πj?20,t?0??j??j???F(s)eds，t?0st
为F(s)的收敛坐标]，
则积分路线是横坐标为?，平行于与纵坐标轴的直线。实用中，常设法将积分路线变为适当的闭合路径，应用复变函数中的留数定理求得原函数。若F(s)是s的有理分式，可将F(s)展开为部分分式，然后求得其原函数。若直接利用拉普拉斯逆变换表（见附录五），将更为简便。 如果象函数F(s)是s的有理分式，它可写为 F(s)（8.3-2）
式中各系数ai(i?0,1,?,n),bj(j?0,1,?,m)均为实数，为简便且不失一般性，设an式P(s)?bmsnm?bm?1sm?1???b1s?b0s?an?1sn?1???a1s?a0
若m?n，可用多项式除法将象函数F(s)?1。分解为有理多项
与有理真分式之和，即
P(s)?B(s)A(s) F(s)?（8.3-3）
式中B(s)的幂次小于A(s)的幂次。例如 F(s)?s?8s?25s?31s?15s?6s?11s?632432?s?2?2s?3s?3s?6s?11s?6322
由于￡?1[1]??(t)，￡?1[s]??'(t)，…，故上面多项式P(s)的拉普拉斯逆变换由冲激函数及其各阶导数组成，容易求得。下面主要讨论象函数为有理真分式的情形。 一、查表法
附录五是适用于求拉普拉斯逆变换的表，下面举例说明它的用法。
例8.3-1 求F(s)?2s?5s?3s?22得原函数f(t)。
??1,s2??2解 F(s)分母多项式A(s)?0的根为s1 F(s)?2，故F(s)可写为
2s?5s?3s?2?2s?5(s?1)(s?2)由附录五查得，编号为2-12的象函数与本例F(s)相同，其中
b1?2,b0?5,??1,??2。将以上数据代入到相应的原函数表示式，得
?e?2t f(t)?3e?t或写为
f(t)?(3e?t例8.3-2 求F(s)?3s?3s?2s?102,t?0
?e?2t)?(t)
的原函数f(t)。
??1?j3解 F(s)分母多项式A(s)?0的根为s1,2 A(s)?s2于是F(s)可写为
F(s)?，故A(s)可写为
22?2s?10?(s?1)?3
3s?3s?2s?102?3(s?1)(s?1)?322
查表可得，编号2-6的象函数形式与本例相同，只是本例的系数为3，故得
f(t)?3e?tcos(3t)?(t) 二、部分分式展开法
如果F(s)是s的实系数有理真分式（式中m?n），则可写为 F(s)?（8.3-4）
式中分母多项式A(s)成为F(s)的特征多项式，方程A(s)?0称为特征方程，它的根称为特征根，也称为F(s)的固有频率（或自然频率）。 为将F(s)展开为部分分式，要先求出特征方程的n个特征根
si(i?1,2?,n)B(s)A(s)?bmsnm?bm?1sm?1???b1s?b0s?an?1sn?1???a1s?a0
，si称为F(s)的极点。特征根可能是实根（含零根），也
可能是复根（含虚根）；可能是单根，也可能是重根。下面分几种情况讨论。
（1）F(s)有单极点（特征根为单根）。
如果方程A(s)?0的根是单根，其n个根s1,s2,?,sn都互不相等，那么根据代数理论，F(s)可展开为如下的部分分式 F(s)?B(s)A(s)?K1s?s1?K2s?s2???Kis?si???Kns?snn??i?1Kis?si
（8.3-5）
待定系数Ki可用如下方法求得：
将式（8.3-5）等号两端同乘以(s?si)，得 (s?si)F(s)?(s?si)B(s)A(s)?(s?si)K1s?s1???Ki???(s?si)Kns?sn
当s?si时，由于各根均不相等，故等号右端除Ki一项外均趋近于零，于是得
Ki（8.3-6）
?(s?si)F(s)|s?si?lims?si[(s?si)B(s)A(s)]
系数Ki也可用另一种方法确定：
由于si是A(s)?0的根，故有A(si)?0，这样上式可改写 Ki?lims?siB(s)A(s)?A(si)s?si
根据导数的定义，当s?si时，上式的分母为 lims?siA(s)?A(si)s?si?ddsA(s)|s?si?A(si)
'所以
Ki（8.3-7） 由￡-1???sit??e，并利用线性性质，可得式（8.3-5）的原函数为 ?s?si?1n-1i?B(si)A(si)'
￡?F(s)???Kiest?(t)
i?1（8.3-8）
式中系数Ki由式（8.3-6）或（8.3-7）求得。 例8.3-3 求F(s)?s?4s?3s?2s32的原函数f(t)。
解 象函数F(s)的分母多项式 A(s)?s3?3s2方程A(s)?0有三个单实根s1?2s?s(s?1)(s?2)
?0,s2??1,s3??2，用式（8.3-6）可求得
个系数[也可由（8.3-7）求得]
K1 K2 K3所以
?s?s?4s(s?1)(s?2)s?0s?4?2
??3
?(s?1)?s(s?1)(s?2)s?-1s?4s(s?1)(s?2)s?-2?(s?2)??1
F(s)?取其逆变换，得
s?4s(s?1)(s?2)?2s?3s?1?1s?2
f(t)?2?3e?t或写为
f(t)?(2?3e?t?e?2t,t?0
?e?2t)?(t)
（2）F(s)由共轭单极点（特征根为共轭单根）
方程A(s)?0若有复数根（或虚根），它们必共轭成对，否则，多项式A(s)的系数中必有一部分是复数或虚数，而不可能全为实数。 例8.3-4 求F(s)?s?2s?2s?22的原函数f(t)。
解 象函数F(s)的分母多项式 A(s)?s2?2s?2?(s?1?j)(s?1?j)
??1?j1, 用式（8.3-7）可求得
方程A(s)?0有一对共轭复根s1,2各系数为
K1 K2?B(s1)A(s1)B(s2)A(s2)‘‘?s?22s?2s?22s?2s??1-j1s??1?j1?1?j1j21?j1-j2?2222e?jπ4
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