如果?2??1，其收敛域是?1?Re?s???2的带状区域。如果?2??1，
则式（8.8-7）不收敛，函数f(t)的双边拉普拉斯变换不存在。图8.8-1画出了?1和?2为不同数值时收敛域的情况。图（a）是?2形，其收敛域是再右半面中?1??1?0的情
?Re?s???2的区域。图（b）是?1??2?0的情形，其收敛域是在左半面中?1?1???,?2???Re?s???2?Re?s???的区域。图（c）是
??的情形，其收敛域为??。如果?2，则有t?0时
f(t)?0，于是就变为单边拉普拉斯变换。如果?1??，函数f(t)也
是单边信号，不过它只存在于0?t???区间，而在t?0时，f(t)?0。 在求函数f(t)的双边拉普拉斯变换时，可将f(t)分为因果函数f1(t)和反因果函数f2(t)两部分，分别求出它们的象函数后再相加。 令双边函数
f(t)?（8.8-8） 式中f1(t)?f(t)?(t),f2(t)?f(t)?(?t)。因果函数f1(t)f2(t)?f1(t)?f(t)?(?t)?f(t)?(t)
的象函数就是它的单
边拉普拉斯变换。令 f1(t)?（8.8-9）
反因果函数f2(t)的象函数为 F2(s)????将t换成?t上式可写为 F2(s)????（8.8-10）
00f(t)?(t)?F1(s),Re?s???1
f(t)?(?t)e?stdt
f(?t)?(t)e?(?s)tdt???0f(?t)?(t)e?(?s)tdt
它也是单边变换。如令f(?t)?(t)的单边拉普拉斯变换为 F3(s)?￡?f(?t)?(t)??0?f(?t)?(t)e?stdt,Re?s???2
则式（8.8-10）中反因果函数f2(t)的象函数可写为 F2(s)??0（8.8-11）
于是双边函数f(t)的象函数（双边拉普拉斯变换）为 Fb(s)?(8.8-12)
式中F1(s)、F3(s)分别是f1(t)，f2(?t)的单边拉普拉斯变换，即 f1(t)?（8.8-13）
f(?t)?(t)?（8.8-14） 而F2(s)?F3(?s)，Re?s????2。
F1(s),Re?s???2?f(?t)?(t)e?(?s)tdt?F3(?s),Re?s????2
F1(s)?F2(s)?F1(s)?F3(?s),?1?Re?s????2
f(t)?(t)?F1(s),Re?s???1
例8.8-3
f(t)?e?(?t)?e3t?2t求函数
?(t)的双边拉普拉斯变换。
解 双边函数f(t)的因果函数部分f1(t)?e?2t?(t)，其象函数为 F1(s)?1s?2,Re?s???23t
f3(t)?f2(?t)?e?3tf(t)的反因果函数部分f2(t)?e?(?t)，从而?(t)，
其单边拉普拉斯变换为 F3(s)?1s?3,Re?s???3
由式（8.8-11），f2(t)的象函数为
F2(s)?F3(?s)?1?s?3,Re?s??3
最后得双边函数f(t)的双边拉普拉斯变换
Fb(s)?F1(s)?F2(s)?1s?2?1?s?3??5(s?2)(s?3),?2?Re?s??3
表8-4列出了几种因果函数和反因果函数的象函数Fb(s)，以
备查阅。
表8-4 双边拉普拉斯变换简表 序号 1 2 3 4 反因果信号 f(t) ??(?t) ?t?(?t) ?t?(?t) n象函数 Fb(s) 1s1sn!2因果信号 收敛域 Re?s??0 Re?s??0 Re?s??0 收敛域 Re?s??0f(t) ?(t) t?(t) t?(t) nRe?s??0 Re?s??0 sn?1?e??t?(?t) Re?s????1s??Re?s????e??t?(t) 5 ?te??t 1(s??)2?(?t) Re?s???? Re?s????te??t?(t) 6 ?ten??t n!(s??)n?1?(?t) Re?s???? Re?s????ten??t?(t) 7 8 9 ?cos(?t)?(?t) Re?s??0 2ss??2 Re?s??0 cos(?t)?(t) ?sin(?t)?(?t) Re?s??0 2?s??2Re?s??0 sin(?t)?(t) ?e??tcos(?t)?(?t)Re?s????s??(s??)??22Re?s????e??tcos(?t)?(t) 10 表注：?、?均为实数
?e??t ?(s??)??22 Re?s???? e??tsin(?t)?(?t) Re?s????sin(?t)?(t) 在求取双边拉普拉斯逆变换时，要注意根据收敛域，区分象函数
Fb(s)
F1(s)的极点中哪些属于因果函数
f2(t)f1(t)的象函数
，哪些属于反因果函数
的象函数F2(s)，并分别求得其原函
数。 例8.8-4
已知象函数
2s?3(s?1)(s?2) Fb(s)?
分别求出其收敛域为以下三种情况的象函数： （1）Re?s???1。 （2）Re?s???2。
（3）?2?Re?s???1。
解 首先将Fb(s)展开为部分分式，有 Fb(s)?2s?3(s?1)(s?2)?1s?1?1s?2
（1） 收敛域为Re?s???1，如图8.8-2（a）所示，其原函数为因果
函数，取其逆变换，得 f(t)?(e?t（2） 收敛域为Re?s???2?e?2t)?(t)
，如图8.8-2（b）所示。其原函数为反
?e?2t因果函数，取其逆变换，得 f(t)?-(e?t)?(-t)
（3） 收敛域为?2?Re?s???1，如图8.8-2（c）所示。不难判断，
极点s??2属于因果函数f1(t)的象函数F1(s)，在极点s??1属于反因果函数得
于是得原函数
f(t)?f1(t)?f2(t)??e?(?t)?e?t?2tf2(t)的象函数F2(s)。分别取它们的逆变换，
f1(t)?e?2t?(t)f2(t)??e?(?t)?t
?(t)
双边拉普拉斯变换的性质与单边拉普拉斯变换类似，这里不做详细讨论。仅将双边拉普拉斯变换的性质；列于表8-8以便查阅，有兴趣的读者可以参阅有关书籍。
表8-8 双边拉普拉斯变换的性质
名称 定义 线性 f(t)?12πj时域 f(t)?Fb(s) s域 dt,?????????j??j?Fb(s)edsst Fb(s)?????f(t)e?st a1f1(t)?a2f2(t) a1Fb1(s)?a2Fb2(s) max(?1,?2)???max(?1,?2) 尺度变换 时移 复频移 f(at) ??s?Fb??,????aa?a?1 f(t?t0) e?sat0e?st0Fb(S),????? f(t) Fb(s?sa) ??Re?sa??????Re?sa? 时域微分 df(t)dt sFb(s),????? 时域积分 时域卷积 频域卷积 ?t??tf(x)dxf(x)dx 1s1sFb(s),max(?,0)???? ?0Fb(s),????max(?,0) f1(t)*f2(t) Fb1(s)Fb2(s) max(?1,?2)???max(?1,?2) f1(t)f2(t) 12πj?c?j?c?j?Fb1(?)Fb2(s??)d? ?1??2????1??2,??c??s域微分 (?t)f(t) ndFb(s)dsnn,?????