j??j??K11e11K11e11 ￡??22(s???j?)(s???j?)???1??αtcos(?t??11)?(t) ??2K11te??（8.3-20）
j?12?j?12?KeKe1212 ￡?1??22(s???j?)(s???j?)????αtcos(?t??12)?(t) ??2K12te??（8.3-21）
例8.3-7 求象函数F(s)?解 A(s)?0有二重根s1,2 F(s)?K11(s?2?j1)2s?1?(s?2)2?1?2的原函数f(t)
??2?j1，故F(s)可展开为
?K12(s?2?j1)?K21(s?2?j1)2?K22(s?2?j1)
由式（8.3-17）可求得
K11?(s?2?j1)F(s)K12?dds
?2?s??2?j1?24?e14?jπ4?(s?2?j1)F(s)2?s??2?j1ejπ4
利用式（8.3-20）和式（8.3-21），得 f(t)??2?2tπ1?2tπ?tecos(t?)?ecos(t?)??(t) ?422??2特别需要强调的是，在根据已知象函数求原函数时，应注意运用拉普拉斯变换的各种性质和常用的变换对。 例8.3-8 求象函数F(s)?解 将F(s)改写为 F(s)?1s?1?1s?1e?2t1?e?2ss?1的原函数f(t)。
上式第二项有延时因子e?2t，它对应的原函数也延迟2个单位。由单边指数函数变换对，得
根据延时特性，有
1s?1?e?(t)
?t
1s?1e?2t?e?(t?2)?(t?2)
再应用线性性质，得所求函数为
f(t)?e?(t)?e?t?(t?2)?(t?2)
例8.3-9 求象函数F(s)?解 将F(s)改写为 F(s)?s?2s?2s?22s?2s?2s?22的原函数f(t)。
?s?1(s?1)?122?1(s?1)?122
由余弦、正弦函数的拉普拉斯变换对及复频移特性，得 f(t)?e?tcost?(t)?e?tsint?(t)??(s?1)22e?tcos(t?π4)?(t)
?1?e?的原函数f(t)。
例8.3-10 求象函数F(s)??(s?1)?1?e?2(s?1)解 观察F(s)的形式可见，若将F(s)在s域右移一个单位，即令
F(s?1)?F1(s)[显然F(s)?F1(s?1)],则有
F(s?1)?式中F2(s)?若设F1(s)性可得
1?2eF1(s)?(1?e?s)2s(1?e?2s)?1?2e?s?e?2ss?11?e?2s?F2(s)F3(s)
?s?e?2ss，F3(s)?11?e?2s。
则根据卷积定理和复频移特?f1(t),F2(s)?f2(t),F3(s)?f3(t)，
f(t)?e?tf1(t)?e?t?f2(t)*f3(t)?
F2(s)的原函数为f2(t)??(t)?2?(t?1)??(t?2)，其波形如图
8.3-1（a）
所示，F3(s)的原函数是周期T?2的有始冲激函数列
f3(t)???(t?2m)
m?0?根据卷积定理，得 f1(t)?f2(t)*f3(t)????(t?2m)?2?(t?2m?1)??(t?2m?2)?
m?0?其波形是周期为2的有始方波，如图8.3-1（b）所示。最后根据复频移特性，得 f(t)?e?tf1(t)?e?t???(t?2m)?2?(t?2m?1)??(t?2m?2)?
m?0?其波形如图8.3-1（c）所示。
8.4 利用拉普拉斯变换分析电路及元件的S域模型 8.5 连续系统的系统函数
8.6 由系统函数零极点分布决定系统特性 8.7 线性系统的稳定性 8.8 双边拉普拉斯变换※
前面讨论的单边拉普拉斯变换适用于因果函数（即t?0时，。这对于许多实际应用问题是合适的。如果函数f(t)是双边f(t)?0）
函数，那么用双边拉普拉斯变换将比较方便。将单边变换中所讨论的问题稍加修改，就适用于双边变换。
在§5.1中已导出了双边拉普拉斯变换对[式（8.1-4），（8.1-5）]为
Fb(s)?￡b?f(t)????? 1）
?f(t)e?stdt（8.8-
f(t)?￡b?1?Fb(s)??（8.8-2）
12π?j???j??j?Fb(s)edsst 当采用单边变换时，只限于t?0，因而式（8.8-1）中若选
Re?s?????1（?1为收敛坐标），那么当t??时，f(t)e??t?0，该积分
收敛。对于双边变换还应考虑t?0的情况，这时e??t将随着t的增大而增大，因此?又不能选得过大。为了使式（8.8-1）的积分收敛，?应小于另一收敛坐标?2，使lim存在的条件为：
如果函数f(t)在有限区间内可积，且对于实常数?1，?2，有
limf(t)et??t????σtf(t)e?σtt???所以双边拉普拉斯变换Fb(s)?0。
limf(t)e?σt?0,Re?s???1????0,Re?s???2??
（8.8-3） 则在?1?Re?s???2的带状区域内，拉普拉斯积分式（8.8-1）绝对且一
致收敛。
满足式（8.8-3）的函数f(t)称为指数阶函数。在复平面上带状区域?1?Re?s???2称为双边拉普拉斯变换的收敛域。
由以上讨论可知，双边拉普拉斯变换仅在其收敛域内收敛，因而式（8.8-1）和式（8.8-2）应更确切地写为 Fb(s)?￡b?f(t)?????（8.8-4）
f(t)?￡?Fb(s)?????j?Fb(s)estds,?1?1bdefdef?f(t)e?stdt,?1?Re?s???2
??j??Re?s???2
(8.8-5)
例8.8-1
数
??1,t??2 gτ????0,t?2?求门函
的双边拉普拉斯变换。
解 根据式（8.8-4），门函数的双边拉普拉斯变换为
sτsτ Gb(s)???? ?它在全平面收敛。 例8.8-2
（8.8-6）
的双边拉普拉斯变换。 解 根据式（8.8-4）可得 Fb(s)???? ???f(t)e?stdt?e2?es2
2ssinh(s?2),???Re?s???求函数
?eα2t,t?0αtαtf(t)??αt?e2?(?t)?e1?(t) 1?e,t?0f(t)e?stdt??0??e?2te?stdt??0?0e?1te?stdt
e?(s??2)t0???(s??2)?e?(s??1)t??(s??1)
显然，当Re?s??2??0，即Re?s???2，上式第一项存在；当Re?s??1??0，即Re?s???1，上式第二项存在。这时 Fb(s)?（8.8-7）
1?(s??2)?1s??1??1??2(s??1)(s??2),?1?Re?s???2