B(s)s?2 K2?‘2?A(s2)2s?21?j12?j4??e s??1-j1-j22π系数K1，K2也互为共轭复数。F(s)可展开为
2?j42j4ees?2?2?2 F(s)?2
s?2s?2s?1?js?1?jππ取逆变换，得
πj?2?jπ?2(?1?j)tf(t)??e4e?e4e(?1?j)t??(t)2?2?ππ-j(t?）?2-t?j(t?4） ? e?e?e4??(t)2???2-tπecos(t?）?(t)24由本例可见，当A(s)?0有共轭复根时，计算比较复杂，下面将导出较为简便实用的关系式。
设A(s)?0有一对共轭单根s1,2????j?，将F(s)的展开式分为两个部分
F(s)?B(s)B(s)?A(s)(s???j?)(s???j?)A2(s)
?K1K2B(s)??2?F1(s)?F2(s)s???j?s???j?A2(s)
（8.3-9）式中F1(s)?B(s)K1K2?;F2(s)?2。F2(s)展开式的
A2(s)s???j?s???j?形式由A2(s)?0的根s3,?,sn具体情况确定。
应用式（8.3-7），可求得 K1?B(s1)B(???j?)? A'(s1)A'(???j?)*B(s2)B(???j?)B(s1)?? K2?* A'(s2)A'(???j?)A'(s1)由于B(s)和A'(s)都是s的实系数多项式，故B(s1*)?B*(s1)，
*A'(s1)?A*(s1)，因而上述系数K1与K2互为共轭复数，即K2?K1*。令
'B(s1)??K1ej??A'(s1)? ? B(s2)K2??K1e?j???A'(s2)?K1?（8.3-10）
式中s1????j?,s2?s1*。这样，式（8.3-9）中的F1(s)可写为 F1(s)?（8.3-11） 取逆变换，得
f1(t)?K1ej?e(???j?)t?K1e?j?e(???j?)t?(t)K1ej?s???j??K1e?j?s???j?
?? ?K1e?αt?ej(β(?θ)?e-j(β(?θ)??(t)?2K1e??tcos(?t??)?(t)
（8.3-12）
这样，只需求得一个系数K1，就可按式（8.3-12）写出相应的结果。 例8.3-5 求象函数
s3?s2?2s?4 F(s)? 22s(s?1)(s?1)(s?2s?2)的原函数f(t)。
解 本例A(s)?0有
6
个单根，它们分别为
s1?0,s2??1,s3,4??j1,s5,6??1?j1，故F(s)得展开式为
F(s)?KK5K6K1KK?2?3?4?? ss?1s?js?js?1?js?1?j按式（8.3-6）可求得各实数为
K1?sF(s)s?0?2K2?(s?1)F(s)s??1??1 K?(s?j)F(s)3s?j1j2?e22?j11j4??e?1?j323ππ
K5?(s?1?j)F(s)s??1?j于是F(s)得展开式可写为
ππ1j41-j41j21-j2eeee21 F(s)?? ?2?2?2?2ss?1s?js?js?1?js?1?j3π3π取其逆变换，得
π2?t3π??f(t)??2?e?t?cos(t?)?ecos(t?)??(t)24?2?
π3π????2?e?t?cos(t?)?2e?tcos(t?)??(t)24??（3）F(s)有重极点（特征根为重根）。
如果A(s)?0在s?s1处有r重根，即s1?s2???sr，而其余(n?r)个根sr?1,?,sn都不等于s1。则象函数F(s)的展开式可写为
F(s)?K11K12K1rB2(s)B(s)??????A(s)(s?s1)r(s?s1)r?1s?s1A2(s) ??i?1rK1iB2(s)?(s?s1)r?1?iA2(s)
?F1(s)?F2(s)（8.3-13） 式中7F2(s)?B2(s)是除重根以外的项，且当s?s1时A2(s1)?0。各系数A2(s)K1i(i?1,2,?,r)可这样求得，将式（8.3-13）等号两端同乘以(s?s1)r，
得
(s?s1)rF(s)?K11?(s?s1)K12???(s?s1)i?1K1i （8.3-14） 令s?s1，得
???(s?s1)r?1K1r?(s?s1)rB2(s)A2(s)
rK?(s?s)F(s)1 11s?s1
??（8.3-15）
将式（8.3-14）对s求导数，得
d(s?s1)rF(s)?K12???(i?1)(s?s1)i?2K1i??ds
??B(s)d?(r?1)(s?s1)r?2K1r??(s?s1)r2?ds?A2(s)???令s?s1，得
K12??(s?s1)rF(s)?（8.3-16） 依此类推，可得
1di?1r K1i? (s?s)F(s)1i?1s?s1(i?1)!dss?s1
??（8.3-17） （式中i?1,2,?,r)
由式（8.2-23）知，￡?tn?(t)??n!sn?1，利用复频移特性，可得
￡?1?(8.3-18)
??1ns1t1?te?(t) n?1??(s?s1)?n!于是，式（8.3-13）中重根部分象函数F1(s)的原函数为
?r??rK1ir?i?s1tK1i f1(t)?￡?????t?e?(t) r?1?i??i?1(s?s1)??i?1(r?i)!??1（8.3-19）
例8.3-6 求象函数F(s)?s?3的原函数f(t)。 3(s?1)(s?2)解 A(s)?0有三重根s1?s2?s3??1和单根s4??2。故F(s)可展开为 F(s)?K13K11K12K4s?3????
(s?1)3(s?2)(s?1)3(s?1)2s?1s?2按式（8.3-17）和式（8.3-6）可分别求得系数K1i(i?1,2,3)和K4。
K11?(s?1)3F(s)K12???s??1?2d(s?1)3F(s)s??1??1ds
1d2K13??2(s?1)3F(s)s??1?12!ds????K4??(s?2)F(s)?s??2??1所以
F(s)?取逆变换，得
f(t)??(t2?t?1)e?t?e?2t??(t)
如果A(s)?0有复重根，可以用类似于复单根的方法导出相应的逆变换关系式。譬如，A(s)?0有二重根s1,2????j?，则F(s)可展开为
2111??? 32s?1s?2(s?1)(s?1)