第三章 一元函数积分学
3.1 不定积分
一 基本概念
定义1 原函数：如果F?(x)?f(x)，则称F(x)是f(x)的一个原函数．
定义2 不定积分： f(x)的所有原函数或带有任意常数项的原函数称为f(x)的不定积分．
二 基本结论
定理1 （原函数存在定理） 连续函数一定存在原函数．
定理2 （原函数个数）如果函数存在原函数，一定有无限多个原函数． 定理3 （原函数差别）同一个函数的任意两个原函数最多相差一个常数． 定理4 (不定积分公式)
（1）?kdx?kx?C； （2）?xdx?（3）?（5）?1xdx?lnx?C； （4）?11?x2?1??1x??1?C；
dx?arctanx?C；
11?x2dx?arcsinx?C； （6）?sinxdx??cosx?C；
（7）?cosxdx?sinx?C； （8）?tanxdx??lncosx?C； （9）?cotxdx?lnsinx?C； （10）?secxdx?lnsecx?tanx?C； （11）?cscxdx?lncscx?cotx?C； （12）?（13）?1sinx21cosx2dx?tanx?C；
dx??cotx?C； （14）?secxtanxdx?secx?C；
x（15）?cscxcotxdx??cscx?C； （16）?adx?（17）?exdx?ex?C； （18）?（19）?（21）?（22）?1x?a1x?a22222axlna2?C；
1aarctanxa?C；
1a?x2dx?dx?12alnx?ax?a2?C； （20）?21a?x22dx?arcsinxa?C；
dx?lnx?x?a2?C；
22x?adx?2x2x?a?2a22lnx?x?a?C；
三 基本方法
1 按积分方法分类：凑微分、变量代换、分部积分； 一 凑微分（凑微分，利用公式）
原理：若?f(u)du?F(u)?C，u??(x)，则?f[?(x)]??(x)dx?F[?(x)]?C．
凑微分是积分最基本的方法，也是求不定积分最简单的方法，因此在求不定积分时，我们首先想到的
1
是能否用凑微分，将积分变成公式的形式．要完全掌握这个方法，需要熟悉凑微分公式．
常见函数的凑微分公式 1．凑成一次函数微分 2．凑成n次函数微分 3．凑成倒微分 4．凑成根微分
??f(ax?f(ax?nb)dx?n?11a?1f(a?x； )b)bd(?ax(fnb)xd?x?ana?x)db(?ax； )bn??1?1?1??1?f??2dx???f??d??； ?x?x?x??x??f(x)1xxdx?x?2f(x)d(；x )1lna 5．凑成指数函数微分 6．凑成对数函数微分
??f(a)adx?f(lnx)1x?f(a)d(a)；
xxdx??f(lnx)d(lnx)；
7．凑成三角函数微分?f(sinx)cosxdx??f(sinx)dsinx；
???f(cosx)sixnx?d?f(tanx)sexcx?d?2?fff(cxos1(txan2)cosx1(cxot2)sinx )；dx??xdff(xtan； )xdtan(xcot； )xdcotf(cotx)csxcx?d?2?x?d?1?x1f(arcxtan)dxa rctan ?f(arctaxn)2x?d；?1?xf?(x)19．凑成整体或局部的微分 ?dx??df(x)；?f(x)f?(x)dx??f(x)df(x)．
f(x)f(x)8．凑成反三角函数微分?f(arcsinx)12dx??f(arcsinx)darcsinx；
例1 用凑微分法计算下列不定积分： （1）?（3）?（5）?11?2x1?xdx； （2）?dx； （4）?1x?2x?22dx；
arctanx2x544(x?1)dx；
dx； ； （6）?22xsinx?4cosx1?e13dx； （8）?sinxcosxdx； （7）?x(1?x)dxex（9）?11?x2ln1?x1?xdx?dx； （10）?sinx?cosx(cosx?sinx)2dx．
解（1）?（2）?（3）?
11?2x1?1?2x1(?122)d(1?2x)??12ln1?2x?C；
x?2x?2arctanx1?x22dx??(x?1)1d(x?1)?arctan(x?1)?C； ?112(arctanx)?C；
2
2dx??arctanxdarctanx?（4）?（5）?（6）?（7）?x54(x?1)2dx?41?5(x?15?1)d(x?1)??45151315(x?1)?C；
dxsinx?4cosxex2?(tandx2x?4)cosxx2??(tandtanx2x?4)?12arctantanx2?C；
1?edx?x1?1?e1d(1?e)?ln(1?e)?C； x1(1?(x))2xx(1?x)dx?2?dx?2arctan144x?C；
（8）?sinxcos3xdx???cos3xdcosx??11?x1cosx?C；
21?x?1?x?1?1?x?（9）?lndx?lnln???ln??C； 2?1?xd?1?x1?x21?x41?x????sinx?cosx11（10）?dx??d(cosx?sinx)??C． 22?(cosx?sinx)(cosx?sinx)cosx?sinx二 变量代换法
1 三角代换（含根式，作三角代换，将其变成三角函数积分） 若被积函数含有：
??22（1）a?x，作变量代换x?asint；??t?，则
22a?x2222?acost，dx?acostdt；
（2）a?x，作变量代换x?atant；?22?2?t??2，则
acost2a?x?asect，dx?dt；
（3）x?a，作变量代换x?asect；当x?a，0?t?22?2，则
22x?a?atant，dx?asecttantdt．
当x??a时，??2?t?0，22x?a??atant，dx?asecttantdt．
例2 计算下列无理函数的不定积分： （1）?dx2x1?x解（1）令x?sint，dx?costdt，于是
； （2）?x?ax422dx (a?0)．
?xdx1?x2??sintcostdt??sintdt?ln?2cost1csct?cott?C?ln1?1?xx2?C．
（2）令x?asect，x?a，0?t?，则
22x?a?atant，dx?asecttantdt 2?x?ax422dx??atantasecttantasect44dt??atant2sect3dt?31a2?sin2tcostdt
2211?x?a?3?sint?C????C． 22??3a3ax??当x??a时，令x??u，则u?0，dx??du，于是
3
?x?ax422dx???u?a1?du???42u3a??22u?a?1??C?2?u3a?223????x?a???C． ?x?2232 指数代换（被积函数含有指数函数） 例4 计算下列不定积分：
（1）?dx1?ex； （2）?1tdt，于是
dx1?ex．
解（1）令ex?t，则x?lnt，dx??1?exdxx??t(1?t)dt?11dt??t?1?tdt
ln?1xx ?lnt?ln1?t?C?lne??eC．
2tt?12（2）令e?1?t，则ex?t2?1，exdx?2tdt，dx?dt，于是
?dx1?ex??t2dt2?1?1?t?1?1?dt?ln?C ???t?1t?1t?1??x?ln1?e?11?e?1x?C
3 对数代换（被积函数含有对数函数） 例5 计算下列不定积分：
?lnx?（1）???dx； （2）?cos(lnx)dx．
x??2解 令t?lnx，则x?et，dx?etdt，于是 ?lnx?（1）???dx?x??2?tedt??te1x22?t2?t??2tedt??te?t2?t?2te?t?2e?t?C
??(lnx?2lnx?2)?C．
（2）?cos(lnx)dx??costetdt?costet??sintetdt?costet?sintet??costetdt，于是
?cos(lnx)dx?12(coste?sinte)?C?tt12x(coslnx?sinlnx)?C．
4 反三角函数代换（被积函数含有反三角函数） 例7 计算下列不定积分：
（1）?sin(arctanx)dx； （2）?2解（1）令arctanx?t，则x?tant，dx?sectdt，于是
arccosxx21?x2dx．
?sin(arctanx)dx? ??cos1sint2tdt???1cost22dcost
?C．
cost（2）令arccosx?t，则x?cost(0?t??)，dx??sintdt，于是
?C?1?x
4
?xarccosx21?x2dx???tsintcostsint2dt???tcost2dt
??ttant?? ??arccoxs? 三 分部积分
tatntd??ttatn? sClncto?． tan(arxcc?osx)?Cln理论原理：?f(x)dx??u(x)dv(x)?u(x)v(x)??u?(x)v(x)dx
具体方法：将f(x)分成两部分，一部分作为u(x)，另一部分和dx凑成dv(x)，而u(x)更多的是：xk，lnx，arcsinx，这样等式右端的积分中的u?(x)是更加有利于积分的形式，同时还要保证剩余部分很容易求其原函数，和dx凑成dv(x)．
被积函数是如下形式，常用分部积分：
kkkxxxsinx；xarcsinx；xe；esinx；arcsinx；lnx．
注1 一般的，如果被积函数是两类不同函数的积，要考虑分部积分．分部积分的基本思想是将被积函数转化为单一类函数（有理函数、无理函数或三角函数）．
例8 用分部积分法计算下列不定积分：
xcosxlnxdx （1）?； （2）2?(x?3)2dx． sinxsinxcosx1dx?d分和凑成，于是有 2sinxsinxxcosx1xdx??x?d????sin2x?sinxsinx??xsinx2解（1）被积函数
xcosx2是两类不同函数的积，于是考虑分部积分．显然应选择x作为u(x)，剩余部
?sinxdx1
?lncsxc?cxot?C．
（2）被积函数1(x?3)2lnx(x?3)1x?3是两类不同函数的积，于是考虑分部积分．选择lnx作为u(x)，剩余部分，于是有
1x?3)??lnxx?3?和dx凑成?d?(x?3)lnxdx???lnxd(2lnxx?3??x(x?3)dx
1xln?C． 3x?31 ??1?11?lxn?dx??????3?xx?3x?3?2 按被积函数分类：有理函数、无理函数、三角函数． 一 有理函数的积分
1．基本方法
（1）将有理函数积分凑成可以利用公式的积分；
（2）将有理函数积分表示为整式、简单的一次分式以及简单二次分式的积分的和． 根据多项式理论：
（1）假分式 = 整式 + 真分式；
（2）真分式 = 若干一次分式 + 若干二次分式． 简单的一次分式与二次分式形式分别是：
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