（4）?cosxsinx44dx??sint4cosx24xsinxdx???cosxsinx24dcosx，令cosx?t，于是
?cosxsinxdx???13dt?2t?1t?t?31??2t?1??dt 2??t?1??lnt?1t?1?C?13cosx?cosx?31212lncosx?1cosx?1?C．
注7 化三角函数积分为有理函数的积分，是计算三角函数积分的常用、有效方法．在例12的4个题
中，都是利用凑微分方法，把三角函数积分变成有理函数的积分，如例12（4）,或相当于有理函数积分，如例12（1~3）题，只是没有作变量代换而已．
2 降幂
（1）直接降幂 利用倍角公式、积化和差公式降幂： （a） 倍角公式：sinxcosx?12sin2x；sinx?121212(1?cos2x)；cosx?212(1?cos2x)
（b）积化和差：sin?xcos?x?sin?xsin?x?[sin(???)x?sin(???)x]；
[cos(???)x?cos(???)x]； 21 cos?xcos?x?[cos(???)x?cos(???)x]．
2例13 计算下列三角函数的不定积分：
（1）?sin2xdx； （2）?sin2xcos4xdx； （3）?cos4xdx； （4）?sinxcos2xdx． 解 （1）?sinxdx?212?(1?cos2x)dx?1212x?14sin2x?C． 14cos2x?1122（2）?sin2xcos4xdx?（3）?cosxdx???4?(sin6x?sin2x)dx?2cos6x?C．
141438?(1?cos2x)dx??[1?2cos2x?x?1sin2x?1121?(1?2cos2x?cos42x)dx
(1?cos4x)]dx sin4x?C．
43212（4）?sinxcosxdx? ?sinx(1?cos2x)dx
211??sinxdx??sinxcos2xdx 22????1212cosx?cosx?21(sin3x?sinx)dx ?41cos3x?14cosx?C
122（2）间接降幂 利用公式sinx?cosx?1降幂： 例14 计算下列三角函数的不定积分 （1）?
dxsinxcosx2； （2）?11
dxsin2x?2sinx．
解 （1）?dxsinxcosx2??sinx?cosxsinxcosx222dx??cosx1dx??sincosx2xdx
?lnsexc?（2）?dxsin2x?2sinx?dx1taxn?sinx?C．
?2sinx(1?cosx)?sin2?dx8sinx2cos3x2
x2 ?12dx?12dx?1dx ???xxxxx88338sincoscossincos2222211??lncscx?cotx?C．
42x8cos2?cos2xsinx3 简化分母 把分母的和与差的形式化为积的形式： （1）?（2）?R(sinx,cosx)1?cosxR(sinx,cosx)1?sinxdx1?sinxdx?dx???R(sinx,cosx)(1?cosx)sinxR(sinx,cosx)(1?sinx)cosx22dx
dx
例15 计算下列三角函数的不定积分： （1）?； （1）???dx1?sinx?cosx.
解 （1）?dx1?sinx?(1?sinx)(1?sinx)?cos?121?sinxdx??1?sinxcosx2dx
?C．
xdx??coscossinx2xdx?tanx?1cosx（2）?dx1?sinx?cosx?dx2sinxx?2cos2x??dx2cos2x2 ??222xd(tan)2?lntaxn?1?C． x2tan?12(tanx2
?1)4 万能公式 作变量代换，将三角函数积分转化为有理函数积分： 令x?2arctant，则
t?tanx2，dx?22例16 计算?1?t1?sinx?cosxdt，sinx?2t1?t2，cosx?1?t1?t22，tanx?2t1?t2．
(2?sinx)(1?cosx)dx．
dt，sinx?2解 令x?2arctant，则dx?1?sinx?cosx21?t22t1?t2，cosx?1?t1?t22，于是
?(2?sinx)(1?cosx)dx??t
t?t2?t?1dt?t?lnt?t?1?C
212
?tan?lnt2an?22xxxta?n2C?．1
注8 之所以把上述公式称为万能公式，是因为这种变换，可以把常见的三角函数积分
可以转化为有理函数的积分．同时，我们还会发现，万能公式比较适合次数较低的三角函数积分，一般是一次的，最多是二次的．不然，通过万能公式变换，得到的分式，其分子或分母次数较高，对这样的有理函数积分，有时没有更好的处理方法．因此，如果有其它办法，最好不用万能公式．万能公式的实质就是变量代换．
四 分段函数的不定积分
例17 计算不定积分?max?x,1?dx 解 由于max?x,1????1,?x,(??,1],[1,??). 于是
?x?C1,(??,1],? maxx,1dx????12??x?C2,[1,??).?2根据原函数的连续性，f(1?)?f(1?)，则1?C1?12?C2，于是C2?C1?12，故
(??,1]?x?C1,??max?x,1?dx??1x2?1?C,[1,??)
1??22 注9 求分段函数的不定积分，首先求出每段函数的不定积分，然后利用原函数的连续性，确定各段
不定积分的任意常数的关系，最后用一个任意常数表示其他任意常数，进而得到分段函数的不定积分，
练习 3-1
1 计算下列有理函数的积分：
4x4（1）?2dx； （2）?dx； 2x?1(x?1)(x?1)1dx； dx； （4）?3x?xx?11xdx； （5）?； （6）dx2?3x?2x?5(1?x)（3）?x2（7）?（9）?x?2x?2x?52dx； （8）?1(x?2x?5)x38222dx；
1(1?x)(1?x)22dx； （10）?(1?x)dx；
2 计算下列无理函数的积分：
1（1）?dx； （2）?x1?x1（3）?dx； （4）?31?x?1（5）?11?4x?x?321x?4xxdx；
dx；
dx；
x?2?12x?1dx； （6）?(x?2)x?4x?3 13
（7）?（9）?1x?2x?10x?9x22dx； （8）?2x?3x?2x?101x?1?x22dx；
dx； （10）?dx．
3 计算下列三角函数的积分：
sinx?cosx4 （1）?dx； （2）?sinxdx；
3sinx?cosx（3）?sin2xcos5xdx； （4）?sin5xcos3xdx； （5）?（7）?13?sinx12dx （6）?sinx1?cosx1dx， ；
sinx?cosxsinx?tanxx?sinx（9）?dx； （10）?coslnxdx；
1?cosx4 用分部积分法求下列不定积分
dx； （8）?dx； ．
（1）?xsec2xdx； （2）?xcos2xdx； （3）?x2arctanxdx； （4）?ln(1?x2)dx； （5）?（7）?arctanxx(1?x)xarctanx(1?x)2222dx； （6）?xexx2(1?e)2dx；
dx； （8）?1?xarcsinxdx；
3.2 定积分
一 基本概念
定义1 定积分 设f(x)在[a,b]上有定义，对于任意分法T，任意取法?k?[xk?1,xk]，若极限
n?(T)?0lim?k?1f(?k)?xk?I
存在，且I与分法T、取法?k无关，则称f(x)在[a,b]上可积，且称极限值是f(x)在[a,b]上的定积分，记作
ban?的面积．
f(x)dx?limb?(T)?0?k?1f(?k)?xk．
定积分的几何意义 若f(x)?0，则?f(x)dx表示由x?a,x?b,y?f(x)和x轴围成的曲边梯形
a定义2 积分上限函数：若f(x)可积，则称?(x)? 二 基本结论
?xaf(t)dt为积分上限函数．
定理1 （牛顿莱布尼兹公式） 如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]的一个原函数，则
?
baf(x)dx?F(b)?F(a)
定理2（变限积分函数的导数） 若f(x)连续，则变限积分函数F(x)??(x)与?(x)可导，
14
???(x)(x)f(t)dt可导，且
F?(x)?f(?(x))??(x)?f(?(x))??(x)．
定理3 （定积分中值定理） 如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则在[a,b]上至少存在一点?，使
?baf(x)dx?(b?a)f(?)．
定理4 （定积分性质和公式）
1．对称区间上的定积分 若f(x)在[?l,l]是连续函数，则
0,f(x)是奇函数,????lf(x)dx??2lf(x)dx,f(x)是偶函数.
???02．周期函数的定积分 若f(x)是以T为周期的连续函数，则
l?3．三角函数的定积分
a?Taf(x)dx??f(x)dx．
0T?(n?1)!!?,n是偶数????n!!2（1）?2sinnxdx??2cosnxdx??
00(n?1)!!?,n是奇数?n!!????2???42sinnxdx,n偶数nnn （2）?sinxdx???0，?sinxdx?2?2sinxdx
000?0，n奇数? （3）?2?0???42cosnxdx,n偶数ncosxdx???0，
?0，n奇数???0???22cosnxdx,n偶数ncosxdx???0；
?0，n奇数??20（4）?xf(sinx)dx?0???2?0?f(sinx)dx．?20f(sinx)dx??f(cosx)dx
4．三角函数定积分的常用变换
?（1）形如?2f(sinx,cosx)dx的积分，常作变换x?0?2?t；这样可以使积分区间（积分的上下限）
不变，被积函数正弦和余弦互换，从而被积函数发生变化．
（2）形如?f(sinx,cosx)dx或?xf(sinx,cosx)dx不定积分，常作变换
00?? x???t 或
或再令x??2?t，这样可以将??2???0?20?????? ．
2???2也变为?20，最终都转化为?20（3）形如?02?f(sinx,cosx)dx的不定积分，常作变换 ????0??2?0? 或
?2?0???????0?????0（以2?为周期函数性质）．
三 计算定积分的基本方法：
计算定积分的基本方法是求出原函数，应用牛顿莱布尼兹公式．这和计算不定积分在方法上并没有本
质区别，所以如果仅用这个方法计算的定积分，这里不再赘述．
1． 换元积分
15