一次分式：二次分式：
1x?a2，11(x?a)n； x?bx?px?q，
x?px?q2，
1(x?px?q)2n，
x?b(x?px?q)2n．
注2 这里的二次分式中的x2?px?q是不能再分解，即p2?4q?0． 上述六种的一次分式和二次分式积分的基本思想和基本方法： （1）? （2）?（3）?（4）?1x?a1dx?lnx?a?C；
(x?a)12dx??n1121n?1n?1(x?a)?C 1aarctan?x?px?qx?bx?px?q22dx?dx??u???a222du?ua（配成完全平方） ?C；1dx（用一次项凑成分母的微分） 1aarctanua?C；
d(x?px?q)x?px?q12?x22?px?q??2d(x?px?q)x?px?q2?u?adu?lnx?px?q?2（5）?（6）?1(x?px?q)x?b(x?px?q)2dx?ndx?n?(u?(x12?a)22n（配成完全平方，用递推公式） du；
?d(x?px?q)2?px?q)n?(x12?px?q)ndx（用一次项凑成分母的微分）
公式中的“?”表示原积分可以转化为这种形式的积分，它们最多相差一个常数．
递推公式
In??(x12?a)2dx?n??x?(2n?3)I n?1??222n?12a(n?1)?(x?a)?1至少要掌握n?2的递推公式：
?(xdx2?a)22?1?x?2222a?x?a??? dx22?x?a?12 有理函数的分解
（1）把假分式化为真分式：假分式 ? 多项式（整式）? 真分式．例如
x?x?123x?1x?1（2）把真分式分解为若干一次分式和二次分式和的形式的具体方法：
?x?12
待定系数法：将分母分解成若干一次因式与二次因式的积（二次因式不能再分解）．依据分母的一次因式和二次因式得到真分式表示为一次分式和二次分式的一般形式．例如
?1(x?a)(x?px?A(x?a)B(x?a)232 2q)C3?B(x?a)2?(x?a)?Dx?E(x?px?q)2?Fx?G(x?px?q)22
其中A,B,C,D,E,F,G是待定常数． 这里
，
C(x?a)3都称为一次分式，
Fx?G(x?px?q)6
22也称为二次分式．并且p?4q?0．
2在确定待定系数时，可以对上述等式去分母，利用多项式恒等，对应项系数相等，解得待定系数． 注3 用待定系数法将真分式分解成若干简单一次分式与二次分式的和，实在是无奈之举，因为这种方法计算量很大．所以通常情况下，都是用“凑”的方法，将真分式分解．例如
132x(1?x)x(1?x)xx(1?x)xx(1?x)xx1?x注4 掌握有理函数积分的基本思想和基本方法是至关重要的，一方面是因为有理函数积分占积分很大比例，而且有很多积分通过变换（凑微分、变量代换、分部积分），最终转化为有理函数积分；另一方面，有理函数的表现形式不尽相同，掌握了有理函数积分的基本方法和思想，就可以确定怎样变化，朝着什么方向变化．
例9 计算下列有理函数的不定积分：
?1?x?x3222?13?12?13?1?x?x222?13?1?x2
（1）?（3）?（5）? （7）?（9）?x?x?1x?2dx； （2）?dx； x(x?1)x1dx； （4）?dx， 2x?1x(x?1)1x?2x?222x3dx； （6）?xx?2x?22dx；
x2(x?1)dx； （8）?51(x?2x?2)1x?1322dx；
x82114x?3x?2dx； （10）?dx；
x?x?1解 （1）?dx?x1?12?x?1?dx?x?x?lnx?C； ???x2??x?2x?1?1111（2）?dx? dx?dx?dx?2dx?????(x?1)x(x?1)xx(x?1)xx?x?1dx
1?2lnx?lnx?1?C；
（3）?x?1?112dx??dx??(x?x?1)dx??dx x?1x?1x?11312?x?x?x?lnx?1?C； 321x(x?1)2x33（4）?dx??1?x?x222x(x?1)12dx?2?x1dx??xx2?1dx
?lnx?ln(x?1)?C；
（5）?（6）?1x?2x?2xx?2x?222dx?dx??(x?1)121 ?212d(x?1)?arctan(x?1)?C
?1dx?22x?2x?2x?21?x12?2x?2dx（用一次项凑分母微分）
??21 ?x?2x?222d(x?2x?2)??(x?1)12d(x?1)
?12（7）令t?x?1，则x?t?1，dx?dt，于是有
ln(x?2x?2)?arctan(x?1)?C；
?(x?1)
x2dx?5?(1?t)t52dt?11?1+2+543??tt?t7
121?dt?????C ?4324t3t2t???14(x?1)4?23(x?1)3?12(x?1)2?C；
（8）?1(x?2x?2)2dx?2??[(x?1)12?1]2d(x?1) （递推公式）
?d(x?1)? ?[(x?1)2?1]2?11?x?1??22?x?2x?2?1?x?1? ?arctan(x?1)2??C2?x?2x?2??（9）令x4?u，则du?4x3dx，于是
?xx8114?3x?2dx?1?3u?24u?1u?211?u?ln(1?u)?ln(2?u)?C 4414144?x?ln(1?x)?ln(2?x)?C； 4422?4uu22du?1?(1?1?4)du
（10）?dx?x?131?1?x?xx?113dx??x1?x2dx??x?11?xx32dx ?1x2dx??2dx??3dx ?x?12x?x?1x?1112x?1123??ln(x?x?1)?arctan()?lnx?1?C．
2333注5 在（2）（3）（4）（10）题中，对被积函数的分解，都是采用“凑”的方法，而没用待定系数法分解．这是因为“凑”的方法更容易、简捷些，而待定系数法计算量太大．当然，有时在没有看出如何去凑时，也只能用待定系数法去分解．有时作变量代换也是必要的，如第（7）题．
???2x2x?112二 简单无理函数的积分
基本方法：凑微分、有理代换、三角代换．
1 凑 微 分 变形、凑微分，再利用积分公式；
2 有理代换 化无理函数积分为有理函数积分； 3 三角代换 化无理函数积分为三角函数积分．
例10 用凑微分法计算下列无理函数的不定积分：
x?2（1）?dx； （2）?1?x（3）?解（1）?x?2x?5dx； （4）?21x?2?xx?12dx．
dx；
5?4x?xdx
x?21?xdx???23x?1?1dx?1?x3?1?xdx??11?x(1?x)2?21?x?C．
（2）分母有理化
1x?2?x?1（3）配方，利用公式（或配方，变量代换）
?dx? ?(x?2?x?1)dx?2x?1?2x?2?C．
?
x?2x?5dx?2?(x?1)?2d(x?1)
8
22?x?12x?2x?5?2lnx?1?2x?2x?5?C
2（4）?x5?4x?x2dx??1?2?2x?45?4x?x22dx??225?4x?x22dx
??5?4x?x? ??5?4x2?3?(x?2)2dx
x?2?2arcsin3例11 用变量代换法计算下列无理函数的不定积分：
?x?C．
（1）?（3）?（5）?1x3x?1xdx； （2）?x1?3x2dx；
1(x?1)(x?1)x22224dx； （4）?1xx?1dx；
a?xdx； （6）?x(x?a)223/2dx；
解（1）令x?1xx?1x?t，则x?21t?122，dx??2t(t?1)22dt，于是
2?x1dx??(t?1)?t??2t(t?1)2dt??2?dt
t?12t??2t?lnt?1t?1?C??2x?1x?lnx?1?x?1?xx?C．
（2）令x?t6，则dx?6t5dt，于是
?1?x3xdx??1?tt32?6tdt?6?5t?1?11?t281?42dt?6??(t?1)(t?1)?21?t???dt ??171513??6?t?t?t?t?arctant??C
53?7??677x6?655311x6?2x6?6x6?6arctanx6?C．
（3）变形得到
?于是令313(x?1)(x?1)24dx?3?1333x?1x?1(x?1)(x?1)3dx??(x?1)(x?1)13x?1x?1dx．
x?1x?11?t，则x?x?1x?1t?1t?1dx?3，dx?(t?1)4t33?6t3222(t?1)?t?3dt，因此
2?(x?1)(x?1)3??6t(t?1)dt?233?dt??t?C ?22?C．
2x?1（4）令x?sect，则dx?secttantdt，于是
11dx??xx2?1?secttantsecttantdt??dt?t?C
3??3x?1 9
?C x（5）令x?asint，则dx?acostdt，于是
?arccos1?x222dx?a?x?aasintacost222?acostdt?a2?sin2tdt?a22?(1?cos2t)dt
2222aa（6）令x?atant，则dx?asec2tdt，于是
x1tant112dx?sectdt?sintdt??cost?C???(x2?a2)3/2?3?asectaa?(t?1sin2t)?C?a2(arcsinx?xa?x)?C；
221a?x22?C．
注6 求无理函数不定积分，一般是凑微分和变量代换（有理代换、三角代换）．另外在解题时，可先
尝试（考虑）将无理函数的分子或分母有理化，使被积函数有更简单的形式． 如例10（2）．
将无理函数积分转化为有理函数积分时，采用有理代换要慎重．在代换过程中，要考虑两个因素：被积函数变化，微元变化．有时，直接令尽管被积函数变成有理函数，但微元又出现无理函数的形式，结果并没有实现有理化的目的．因此说对一些无理函数积分的变化，如例11（3）的变化，是十分必要的．
三 三角函数的积分
基本方法：1. 凑微分；2.降幂；3.简化分母；4.万能公式．
1 凑微分；化三角函数积分为有理函数积分 （1）?f(sinx)cos2n?1xdx??f(sinx)(1?sinx)dsinx；
2n（2）?f(cosx)sin2n?1xdx???f(cosx)(1?cos2x)ndcosx； （3）?f(tanx)（4）?f(cotx)1cosx1sinx22dx??f(tanx)dtanx；
dx???f(cotx)dcotx．
例12 计算下列三角函数的不定积分：
dx（1）?； （2）?sin3xcos4xdx．
cosx(sinx?cosx)（3）?secxdx； （4）?解（1）?dxcosx(sinx?cosx)?6cosxsinx14dx．
?cos12x(tanx?1)dx??tanx?1dtanx
?lntanx?1?C．
（2）?sin3xcos4xdx???sin2xcos4xdcosx??(cos2x?1)cos4xdcosx
??cosxdcosx?6?cosxdcosx?417cosx?715cosx?C
5（3）?sec6xdx??sec4xdtanx??(1?tan2x)2dtanx
?24(1?2tanx?tanx)dtanx?tanx??23tanx?315tanx?C；
5 10