定积分的换元积分和不定积分的变量代换本质是相同的，但是对计算两类积分所起到的作用有时是不同的，并且有一定的差别，体现在：
（1）不定积分的变量代换求得的结果一定要还原（换回原变量），而定积分是不需要的．正因为这个原因，在计算定积分时，只要通过换元能够得到较简单的定积分，就可以进行换元，不必考虑还原的麻烦． （2）对一些定积分来说，通过换元积分后，尽管所得到的定积分可能仍然没办法计算，但是这个定积分或通过拆分后得到的定积分可能与原来定积分有一定的关系，如相等、其和或差是可求的定积分，这样的换元仍是有意义的．
（3）计算三角函数不定积分的一个常用方法是降次，但是对一些三角函数的定积分来说，可以不用
?降次，只需利用三角函数的积分公式．在区间[0,]，[0,?]，[0,2?]上的定积分，若将被积函数转化为
2sinx或cosx，就可以得到定积分的结果．
nn例1 计算下列定积分：
1 （1）?214arcsinxx(1?x)22dx； （2）?a0dxx?9；
2a?x2（3）?x?1111?xdx； （4）?xsinxdx；
0?解（1）令t?arcsinx，则x?sin2t，dx?2sintcostdt，于是
??214arcsinxx(1?x)1dx???4tsintcost???62sintcostdu??4?62tdt?5144?．
2（2）令x?asint，则dx?acostdt，于是
?令t??2dxx?a?x220?20asintasint?acost?dt??20costsint?costdt；
?u，可以证明
??所以
20costsint?cost?dt??20sinusinu?cosu?du??20sintsint?costdt．
?10dxx?10a?x22????1?2sintcost???dt??2dt??．
0sint?cost2?0sint?cost?4或者求出原函数
a?x（3）令x?sint，则dx?costdt，于是
?dxx?22???20sintsint?cost?dt?12??t?lnsint?cost?220??4
?1?1x21?xdx?2?x02121?xdx?2?2sintcostdt
022?20?40?2?2costdt?2?2sintdt?2??1?3????2??． 822829（4）令x???t，则dx??dt，于是
?因此
?0xsinxdx?9??0(??t)sintdt??9??0sintdt??tsintdt，
09?9
??0xsinxdx?9?2??0?sintdt??9?20sinttd?8!!9!!?．
此题也可直接利用积分公式，不必做变量代换．
16
2 分部积分
定积分的分部积分与不定积分的分部积分的思想、方法是相同的，使用的范围和对象也是相同的． 例2 计算下列定积分：
（1）?ln(x?1)dx； （2）?2(arcsinx)2dx；
0011?x0?（3）?2esinxdx； （4）??24xsinx2dx．
解（1）取u(x)?ln(x?1)，显然v(x)?x，于是
dx?ln2?[x?ln(x?1)]00x?1 （2）令arcsinx?t，则x?sint，dx?costdt，于是
1?1ln(x?1)dx?xln(x?1)10??1x10?2ln2?1．
???20(arcsinx)dx?2?60tcostdt?22?60tdsint
?2?[sint?t?2tcost?2sint]06??272?36??1．
（3）分部积分
????20esinxdx?x?20sinxde?esinx?xxx?/20??20ecosxdx
??x??e2?ecosx?/20???x20esinxdx?e2?1??x?20esinxdx，
x移项，则有
??20esinxdx???/2?/412(e2?1)．
（4）??2xsinx2?dx????xdcotx??xcotx42???2cotxdx
44 ??4?lnsinx?/2?/4??4?12ln2．
3．对称区间的积分
对称区间的积分是定积分的常见题型，一旦遇到这类积分，就要考虑、研究被积函数是
否是奇函数或偶函数，从而利用对称区间积分的性质，如果被积函数不是奇函数，可能将被积函数表示为几个函数的和，拆分，将和的积分写成积分的和，对某部分积分利用对称区间积分性质．
例3 计算下列对称区间的积分：
（1）?(x?1?x)dx； （2）??113221?1sinx?11?x2dx．
解（1）拆分，对第二个积分利用对称区间积分性质，有
?1?1(x?1?x)dx?322?1?1xdx?6?1?12x31?xdx?2?1?1(1?x)dx?23421．
（2）拆分，对第一个积分利用对称区间的积分性质，对第二个积分作变量代换，有
??．
?11?x?11?x1?x例4 设f(x),g(x)是连续函数，g(x)是偶函数，且f(x)?f(?x)?A（常数）
?1sinx?12?1dx??1sinxdx?2?112dx?0?arctanx1?1（1）证明：??a?af(x)g(x)dx?A?g(x)dx；
0a（2）计算
?2??2sinxarctanedx．
17
x解（1）?a?af(x)g(x)dx??[f(x)g(x)dx?0a?0?af(x)g(x)dx
a?x?a0[f(x)g(x)+f(x)g(x)]dx?A?g(x)dx．
0?x （2） 因为 (arctane?arctane)??0，令x?0，得到
arctane?arctanex?x??2．
根据结论（1），得到
???4．非初等函数的定积分
2??2sinxarctanedx??x?20sinxdx??．
计算非初等函数积分的基本方法：将被积函数在积分区间的范围上表示为分段函数，把
定积分表示为在若干区间上积分的和，使被积函数在每个积分区间上都是初等函数．或者说把被积函数在积分区间上表示为分段函数．
例5 计算下列非初等函数的积分
（1）?max?x,x2?dx； （2）??2202?02sinx?sinxdx；
23（3）?[x]lnxdx； （4）?xsgn(x?1)dx．
0解（1）由于
max?x,x2??x2,???x,?2?x,02x?[?2,0]x?(0,1]x?(1,2]102，
于是
?（2）??02?2max?x,x2?dx???2xdx??xdx??1xdx?2112．
sinx?sinxdx?3??0sinxcosxdx
?????/20sinxcosxdx?sinxcosxdx???0,[x]???1,????/2sinxcosxdx sinxcosxdx?43?/20?/2．
（3）根据取整函数定义，有
x?[0,1)x?[1,2]2，
于是
?20[x]lnxdx??10[x]lnxdx??21[x]lnxdx ??1lnxdx?(xlnx?x)21?2ln2?1．
（4）根据符号函数定义，有
??1,?sgnx??0,?1,?x?(??,0)x?0x?(0,??)
于是
??
201xsgn(x?1)dx xsgn(x?1)dx?22?0?21xsgn(x?1)dx
18
2???xdx?012?21xdx??213?83?13?2．
?x2,x?[0,1) 例6 设f(x)??，求?(x)??x,x?[1,2]解 当x?(0,1)时，
?(x)??x0f(t)dt在(0,2)上的表达式．
?x0f(t)dt??x0xdx?213x；
3当x?[1,2]时，
?(x)??x0f(t)dt??10xdx?2?x1xdx?13?12(x?1)?212x?216，
于是
?13x,x?(0,1)??3． ?(x)??11?x2?,x?[1,2)?6?25．反常积分（广义积分） （1）无穷限反常积分：???af(x)dx，?a??f(x)dx，?????f(x)dx．
b（2）无界函数反常积分：瑕积分分类
a为函数f(x)的瑕点，?f(x)dx； b为函数f(x)的瑕点，?f(x)dx；
aabc?(a,b)为函数f(x)的瑕点，?f(x)dx?ab?caf(x)dx??bcf(x)dx．
广义积分计算和正常积分计算基本没有区别，只是在有牛顿—莱布尼兹公式时，若不能直接代入，
就求极限．
例 7 计算下列反常积分
（1）?（3）?a021a?x?x2dx； （2）?lnxdx；
0????1??0xedx； （4）?a0211?x2dx
10解 （1）?（3）????x1a?x2dx?arcsinxaa0??2； （2）?lnxdx?(xlnx?x)0??1??1；
)?? ．
22注 （1）题只需将上下限直接代入原函数即可；（2）题原函数在x?0没定义，所以只能，并且
0xedx?(?xe?x?e?x)??0?1；（4）?1??1?x2dx?arctanx???????(??x?0lim?xlnx?0；（3）题的上限是不能直接代入，只能求原函数在正无穷大的极限；（4）题需要分别求正无
穷和负无穷的极限．
练习 3-2
1 计算下列三角函数的定积分： （1）??0sinxdx； （2）?(1?sinx)dx；
0?3 （3）?sinxcosxdx； （4）?2?cosxcos2xdx；
0?2??283 19
?（5）?21asinx?bcosx2222?0dx(a,b?0)； （6）?601cosxsinx3dx
2 计算下列无理函数的定积分
11（1）?3dx； （2）?11?x?14x3 计算下列非初等函数的定积分
a1x22x?12dx；
（3）?2ax?a422dx(a?0)； （4）?x0aa?xdx；
22（1）?xsgn(cosx)dx； （2）?[x]sin00?3?x64dx；
（3）?max{1,x}dx， （4）??222?0xsinxcosx1?sinxdx；
4 利用函数的周期性、奇偶性计算下列定积分 x?15 利用分部积分计算下列定积分
?1（1）?1xsinx?1232dx； （2）?2n?0cosxdx；
（1）?arcsinxdx； （2）?0130xarctanxdx；
x（3）?(xsinx)dx； （4）?xedx；
00?21 第三章答案与提示
练习 3-1答案与提示
1 （1）
（3）（5）（7）
x1233?x?212lnx?1x?1?C； （2）lnx?1x?112?2x?12?C
x?x?lnx?1?C； （4）lnx?lnx?1?C x?12?C
12(1?x)12122?11?x?C； （6）
12arctanx?12?C
12arctanlnx?2x?5?x?1?1（8）[]?C 28x?2x?5221112（9）lnx?1??ln(1?x)?C
22(x?1)4arctanx?1（10）
x4828(1?x)?18arctanx?C
42 计算下列无理函数的积分：
（1）arcsin(2x?1)?C． 提示：分母变形
x1?x?x?x?214?14?x?x?21212()?(?x) 22434（2）2x?44x?4ln(4x?1)?C．令；x?u，则x?u，dx?4udu．
20