线性代数
第一章 行列式
一、相关概念
a11a12a21a22
1.行列式——n阶行列式 ······
an1an2
···a1n···a2n······ 是所有取自不同行不同列的n个元素的乘积 ···ann
a1j1a2j2···anjn
的代数和，这里j1j2···jn是1，2，···n的一个排列。当j1j2···jn是偶排列时，该项的前面带
正号；当j1j2···jn是奇排列时，该项的前面带负号，即
a11a12···a1na21a22···a2n
τj1j2···jn
·a1j1a2j2···anjn (1.1) ··jn(?1)··········· = j1j2·an1an2···ann
这里 j1j2···jn 表示对所有n阶排列求和。式(1.1)称为n阶行列式的完全展开式。 2.逆序与逆序数——一个排列中，如果一个大的数排列在小的数之前，就称这两个数构成一个逆序。一个排列的逆序总是称为这个排列的逆序数。用τj1j2···jn表示排列j1j2···jn的逆序数。
3.偶排列与奇排列——如果一个排列的逆序数是偶数，则称这个排列为偶排列，否则称为奇排列。
ab
4.2阶与3阶行列式的展开—— =ad?bc，
cda11 a21a31
a12a22a32
a13
a23 =a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32?a13a22a31?a12a21a33?a11a23a32 a33
a11a12···a1na21a22···a2n
5.余子式与代数余子式——在n阶行列式 ············ 中划去aij所在的第i行，第j
an1an2···ann
列的元素，剩下的元素按原来的位置排法构成的一个n-1阶的行列式a11···a1,j?1a1,j+1···a1n·················· ai?1,1···ai?1,j?1ai?1,j+1···ai?1,n i+jai+1,1···ai+1,j?1ai+1,j+1···ai+1,n称为aij的余子式，记为Mij；称(?1)Mij为aij的代 ··················an1···an,j?1an,j+1···ann数余子式，记为Aij，即Aij=(?1)i+jMij。
A11A21···
AA22···
6.伴随矩阵——由矩阵A的行列式|A|所有的代数余子式所构成的形如 12
·········A1nA2n···称为A的伴随矩阵，记作A?。
An1
An2
，···Ann
二、行列式的性质
1.经过转置行列式的值不变，即 AT = A →行列式行的性质与列的性质是对等的。
2.两行互换位置，行列式的值变号。特别地，两行相同(或两行成比例)，行列式的值为0. 3.某行如有公因子k，则可把k提出行列式记号外。
4.如果行列式某行(或列)是两个元素之和，则可把行列式拆成两个行列式之和：a1+b1 c1
d1
a2+b2
c2d2
a1a3+b3
c3 = c1
d1d3a1
b1c1
a2b2c2
a2c2d2
a3b1c3 + c1d3d1
b2
c2d2
b3c3 d3
a3
b3+ka3 c3
5.把某行的k倍加到另一行，行列式的值不变：
a3a1b3 = b1+ka1c3c1
a2
b2+ka2
c2
6.代数余子式的性质——行列式 任一行元素 与 另一行元素的代数余子式 乘积之和为0
三、行列式展开公式
n阶行列式的值等于它的任何一行(列)元素，与其对应的代数余子式乘积之和，即 A =ai1Ai1+ai2Ai2+···+ainAin= nk=1aikAik |A|按i行展开的展开式 A =a1jA1j+a2jA2j+···+anjAnj= nk=1akjAkj |A|按j列展开的展开式
四、行列式的公式
1.上(下)三角形行列式的值等于主对角线元素的乘积； 2.关于副对角线的n阶行列式的值 A =(?1)
n(n?1)
2
a1na2,n?1···an1
3.两个特殊的拉普拉斯展开式：如果A和B分别是m阶和n阶矩阵，则
A?AO
= = A · B OB?B
OAOA = =(?1)mn A · B B?B?
11···1x1x2···xn2224.范德蒙行列式 x1= 1≤j≤i≤n(xi?xj) x2···xn ······ ···n?1n?1n?1x1x2···xn
5.抽象n阶方阵行列式公式 (矩阵)
若A、B都是n阶矩阵，A?是A的伴随矩阵，若A可逆，λi(i=1,2…,n)是A的特征值： AT = A ； ???? =???? ?? ； |AB|=|A||B|； A2 = A 2； A? = A n?1 A?1 = A ； A = ni=1λi； 若??~??，则 ?? = ?? ，且特征值相同。 ?????=?????= ?? ??
一般情况下：|??±??|≠|??|±|??|
1
五、行列式的计算
1.数字型行列式
将行列式化为上下三角，再按行或列展开；
化简技巧：①将每列(行)都加到同一列(行)，或者将每列(行)ki倍都加到同一列(行)。
②逐行(或逐列)相加
③利用范德蒙公式或特殊的拉普拉斯展开式
数学归纳法——①验证n=1时命题正确；假设n=k时命题正确；证明n=k+1时，命题正确。 ②验证n=1和n=2时命题都正确，假设n 2.抽象型行列式——通常与矩阵一起考，利用行列式的性质(倍加、提公因数k、拆项)等来恒等变形；也可能利用矩阵的运算、公式、法则、特征值、相似。 ☆利用单位矩阵 ??=???????=??????? 恒等变形来计算|A+B|形式的行列式。 3.行列式|A|是否为0的判定 若A=[α1,α2,···,αn]是n阶矩阵，那么 行列式|A|=0 ? 矩阵A不可逆 ? 秩r(A) ①按定义直接计算求和； ②用行列式的按行或列展开的公式。由于Aij的值与aij的值没有关系，故可以构造一个新的行列式|B|，通过求新行列式的代数余子式间接求出原行列式的代数余子式。P205例20 ③利用行列式 任一行元素 与 另一行元素的代数余子式 乘积之和为0的性质 ④根据伴随矩阵???的定义，通过求???再来求和。 第二章 矩阵 一、矩阵的概念及运算 a11a12···a1na21a22···a2n 矩阵——m×n个数排成如下m行n列的一个表格 ············ 称为是一个m×n am1am2···amn 矩阵，当m=n时，矩阵A称为n阶矩阵或n阶方阵。如果一个矩阵所有元素都是0，则称为零矩阵，记作O。 两个矩阵A=[aij]m×n，B= bij s×t ，如果m=s，n=t，则称A与B是同型矩阵 两个同型矩阵如果对应的元素都相等，则称矩阵A与B相等，记作A=B。 矩阵A是一个表格，而行列式|A|是一个数。 二、矩阵的运算 1.(加法) 设A、B是同型矩阵，则A+B=[aij]m×n+ bij 2.(数乘) kA=k[aij]m×n=[kaij]m×n 3.(乘法) 若A为m×s矩阵，B为s×n矩阵，则A、B可乘，且乘积AB是一个m×n矩阵。记成C=AB=[cij]m×n，其中 cij= s··+aisbsj k=1aikbkj=ai1b1j+ai2b2j+·4.转置 将矩阵A的行列互换得到矩阵A的转置矩阵AT m×n =[aij+bij]m×n 三、矩阵的运算规则 ABC为同型矩阵，则 1.加法——A+B=B+A； A+B +C=A+ B+C ；A+O=A；A+(?A)=O 2.数乘——k mA = km A=m kA ； k+m A=kA+mA； k A+B =kA+kB ； 1A=A；0A=O 3.乘法 ABC满足可乘条件 AB C=A BC ；A B+C =AB+AC ；(B+C)A=BA+CA 注意一般情况下AB≠BA ????=??不能推出??=??或??=?? ????=??且??≠??，不能推出??=?? a1 对角矩阵AB= 0 0 0a20 b10 0 = 0a30 a2 0b20 1 0a1b20 = 0b30 1a2 0 a2b20 00 a3b3 a1 对角矩阵的逆矩阵 ?1 a1 = a3 1 a3 4.转置——(A+B)T=AT+BT； (kA)T=kAT； (AB)T=BT； AT T=A 5.伴随矩阵—— A?=|A|A?1； AA?=A?A=|A|E； ??? ???= ????? ?= A (|A|≠0)； A1 ??? ??= ???? ?； kA ?=kn?1A?； A? =|A|n?1； A? ?=|A|n?2A (n≥2) 6.方阵的幂—— (Ak)l=Akl， AkAl=Ak+l 注意 (AB)k= AB AB ···(AB)≠AkBk (A+B)k=A2+AB+BA+B2≠A2+2AB+B2 A+B A?B =A2?AB+BA?B2≠A2?B2 7.特殊方阵的幂 (求????)—— ①若秩r A =1，则A可以分解为两个矩阵的乘积，有A2=lA，从而An=ln?1A 例如 P218 ②特殊的二项式展开(E+B)n BOnBn ③分块矩阵 = OCO O Cn ④特征值、特征向量、相似 ⑤简单试乘后如有规律可循，再用归纳法。 四、特殊矩阵 设A是n阶矩阵： ①单位阵：主对角元素为1，其余元素为0，记成En或In ②数量阵：数k与单位矩阵E的积kE称为数量矩阵。 ③对角阵：非对角元素都是0的矩阵称为对角阵，记成Λ。Λ=diag[a1，a2，···，an] ④上(下)三角阵：当i>?? i ⑥反对称阵：满足 AT=?A，即aij=?aji，aii=0的对称阵称为反对称阵。 ⑦正交阵：ATA=AAT=E的矩阵称为正交阵，即AT=A?1 ⑧初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换所得到的矩阵。 ⑨伴随矩阵：见(一.1.6) A?= A ·A?1 五、可逆矩阵 1.主要定理：若A可逆则A的逆矩阵唯一且|A|不为0。行列式不为0则矩阵可逆。 2.概念——设A是n阶方阵如果存在n阶矩阵B使得AB=BA=E成立，则称A是可逆矩阵 或非奇异矩阵，B是A的逆矩阵，记成A?1=B 3.可逆的充要条件——①存在n阶矩阵B使得AB=E ②|A|≠0，或秩r(A)=n，或A的列(行)向量线性无关 ③齐次方程组Ax=0只有零解 ④矩阵A的特征值不全为0 4.逆矩阵的运算性质——若k≠0，则(kA)?1=kA?1 若A，B可逆，则(AB)?1=A?1B?1；特别地 A2 ?1= A?1 2 若 AT可逆，则( AT)?1=( A?1)T；( A?1)?1=A； A?1 = 注意，即使A,B,A+B都可逆，一般地(A+B)?1≠ A?1+ B?1 5.求逆矩阵的方法——①若 A ≠0，则 A?1=|A|A? ②初等变换 A E (E|A?1) ③用定义求B，使得AB=E或BA=E，则A可逆且A?1=B ④分块矩阵，设B,C都可逆，则 ?1BO?1B = OCO ?1 O ； OB = O COC?1B?1 行初等变换 1 1|A| 1 C?1 O 六、初等变换、初等矩阵 1.主要结论：用初等矩阵P左乘A，所得PA矩阵就是矩阵A做了一次和矩阵P同样的行变换；若是右乘就是相应的列变换。 2.初等变换——设A是m×n矩阵，(倍乘)用某个非零常数k k≠0 乘A的某行(列)的每个元素，(互换)互换A的某两行(列)，(倍加)将A的某行(列)元素的k倍加到另一行(列)。称为初等变换。 3.初等矩阵——由E经过一次初等变换所得的矩阵 100 倍乘初等矩阵E2 k = 0k0 001 互换初等矩阵E12 010= 100 001 100 倍加初等矩阵E31 k = 010 k01 4.等价矩阵——矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，则称A与B等价，记成A?B。若EA? r O O ，则后者称为A的等价标准形。(A的等价标准型是与A等价的所有矩阵中的最O 简矩阵。) 5.初等矩阵与初等变换的性质—— ①初等矩阵的转置仍然是初等矩阵； ②初等矩阵均是可逆矩阵且其逆矩阵仍是同一类型的初等矩阵 ?1?1 k =Eij ?k Ei?1 k =Ei k ， Eij=Eij， Eij 1