③P1AP2 左行右列
④当A时可逆矩阵时，则A可作一系列初等行变换成单位矩阵，即存在初等矩阵P1，P2，···，PN，使得PN···P2P1A=E
七、矩阵的秩
1.求秩的主要方法：经过初等变换矩阵的秩不变；如果A可逆，则r(AB)=r(B)，r(BA)=r(B) 2.矩阵的秩——设A是m×n矩阵，若A中存在r阶子式不等于0，且所有r+1阶子式均为0，则称矩阵A的秩为r，记成r(A)，零矩阵的秩规定为0。 3.矩阵的秩的性质——
r(A)=r?矩阵A中非零子式的最高阶数是r r(A)
特别地，r A =0?A=O ； A≠O?r(A)≥1 若A是n阶矩阵，r(A)=n?|A|≠0?A可逆 r A r A =r(AT)； r ATA =r(A) 当k≠0时，r kA =r(A)； r A+B ≤r A +r B r AB ≤min r A ,r B ； 若A可逆，则r(AB)=r(B)，r(BA)=r(B) 若A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，AB=O，则r A +r B ≤n AO 分块矩阵r =r A +r B 。 OB 八、分块矩阵 1.概念——将矩阵用若干纵线和横线分成许多小块，每一小块称为原矩阵的子矩阵(或子块)，把子块看成原矩阵的一个元素，则原矩阵叫分块矩阵。 由于不同的需要，同一个矩阵有不同的方法分块，可以行分块，以列分块等。 2.分块矩阵的运算——对矩阵适当地分块处理(要保证相对应子块的运算能够合理进行)，就有如下运算法则： A 1 A3 A2B + 1 B3A4 B2A+B1 = 1B4A3+B3CT DT O ， Cn ?1 A2+B2AX+BZAY+BWABXY = A4+B4CDZWCX+DZCY+DW TABTA = T CDB BOnBn若B,C分别是m阶与s阶矩阵，则 = OCO OBO ，= O?1 CO CB?1 若A是m×n矩阵，B是n×S矩阵且AB=O，对B和O矩阵按列分块有 AB=A β1,β2,···,βs = Aβ1,Aβ2,···,Aβs =[0,0,···,0] Aβi=0 (i=1,2,···,s)即B的列向量是齐次方程组Ax=0的解。 线性表出P214 ?1BO?1 若B,C分别是m阶与s阶可逆矩阵，则 = B OCO C?1 O 第三章、向量 一、n维向量的概念与运算 1.n维向量——n个有序数组a1,a2,···,an所构成的一个有序数组成为n维向量，记成 a1,a2,···,an 或 a1,a2,···,an T，分别称为n维行向量或n维列向量，数ai称为向量的第i个分量。 2.零向量——所有分量都是0的向量称为零向量，记为0 3.相等——n维向量??=(a1,a2,···,an)T 与n维向量??=(b1,b2,···,bn)T 相等，即 ??=???a1=b1,a2=b2,···,an=bn 4.运算—— n维向量??=(a1,a2,···,an)T 与??=(b1,b2,···,bn)T (加法) ??+??=(a1+b1,a2+b2,···,an+bn)T ??+??=??+??， ??+?? +??=??+ ??+?? ， ??+??=??+??=?? (数乘) k??= ka1,ka2,···,kan T 1·??=??， k l?? =(kl)??， k+l ??=k??+l??， k ??+?? =k??+k?? (内积) ??,?? =a1b1+a2b2+···+anbn=??????=?????? 222?? ??,?? =a2··+a2··+a2n=????，称 a1+a2+·n为向量??的长度。 1+a2+· ??,?? = ??,?? k ??,?? = k??,?? = ??,k?? ??+??,?? = ??,?? + ??,?? ， ??,?? ≥0，等号成立当且仅当??=??。 特别地，如 ??,?? =0，则称??与??正交 二、线性表出、线性相关 1.线性组合——m个n维向量????,????,···,????及m个数k1,k2,···,km所构成的向量 k1????+k2????+···+km???? 称为向量组????,????,···,????的一个线性组合，数k1,k2,···,km称为组合系数。 2.线性表出—— ①对n维向量????,????,···,????和??，如果存在实数k1,k2,···,ks，使得 k1????+k2????+···+ks????=?? 则称向量??是向量????,????,···,????的线性组合，或者说向量??可由????,????,···,????线性表出。 ②设有两个n维向量组(Ⅰ) ????,????,···,???? ；(Ⅱ) ????,????,···,????；如果(Ⅰ)中每个向量????都可由(Ⅱ)中的向量????,????,···,????线性表出，则称向量组(Ⅰ)可由向量组(Ⅱ)线性表出。 如果(Ⅰ) 、(Ⅱ)这两个向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组等价。 等价向量组具有传逆性、对称性、反身性。 向量组和它的极大线性无关组是等价向量组。 向量组的任意两个极大无关组是等价向量组。 等价的向量组有相同的秩，但秩相等的向量组不一定等价。 3.线性相关、无关——对于n维向量????,????,···,????，如果存在不全为零的数k1,k2,···,ks，使得 k1????+k2????+···+ks????=?? 则称向量组????,????,···,????线性相关，否则称它线性无关。 关于线性无关，只要k1,k2,···,ks不全为零，必有k1????+k2????+···+ks????≠??，或者，当且仅当k1=k2=···=ks=0时，才有k1????+k2????+···+ks????=?? 显然，含有：零向量，相等向量，坐标成比例的向量组都是线性相关的，而阶梯形向量组一定是线性无关的。 证明：证明线性无关通常的思路是：用定义法(同乘或拆项重组)，用秩(秩等于向量个数则线性无关)，齐次方程组只有零解或反证法。 4.重要定理—— x1x2 ①n维向量组????,????,···,????线性相关?齐次方程组 ????,????,···,???? · =??有非零解 ·· xs ?秩r(????,????,···,????) ???????????? ⑤如果n维向量组????,????,···,????线性无关，则它的延伸组 ?? , ?? ,···, ?? 必线性无关。 ?????? x1x2 ⑥n维向量??可由????,????,···,????线性表出?非齐次方程组 ????,????,···,???? ··· =??有解 xm ?秩r ????,????,···,???? =r ????,????,···,????,?? ⑦向量组????,????,···,????线性相关?至少有一个向量????由其余s-1个向量线性表出。 ⑧向量组????,????,···,????线性无关，而向量组向量组????,????,···,????,??线性相关，则向量??可由????,????,···,????线性表出，且表示方法唯一。 ⑨设有两个n维向量组(Ⅰ) ????,????,···,???? ；(Ⅱ) ????,????,···,????，如果向量组(Ⅰ)可由向量组(Ⅱ)线性表出，且s>??，则????,????,···,????必线性相关。 若n维向量组????,????,···,????可由????,????,···,????线性表出，且????,????,···,????线性无关，则s≤t 三、极大线性无关组、秩 1.概念——设向量组????,????,···,????中，有一个部分组??????,??????,···,??????(1≤r≤s)，满足条件 ①??????,??????,···,??????线性无关； ②再添加任一向量????(1≤j≤s)，向量组??????,??????,···,??????必线性相关；(向量组????,????,···,????中任何一个向量????必可由??????,??????,···,??????线性表出) 则称向量组??????,??????,···,??????是向量组????,????,···,????的一个极大线性无关组。 注：只有一个零向量构成的向量组没有极大线性无关组。 一个线性无关的向量组的极大线性无关组是该向量组本身。 向量组的极大线性无关组一般不唯一,但其极大线性无关组的向量个数是一样的。 2.秩——向量????,????,···,????的极大线性无关组中所含向量的个数r称为向量组的秩。记为r ????,????,···,???? =??。 (r ????,????,···,???? ≤r ????,????,···,????+?? ) 如果向量组(Ⅰ) ????,????,···,????可由 (Ⅱ) ????,????,···,????线性表出，则r Ⅰ ≤r Ⅱ 3.注意—— 求向量组的极大无关组时，只能都作行变换(或都做列变换)，不能混合行列变换。 如果只是求向量组的秩，则可以混合行列变化。 四、施密特正交化、正交矩阵 1.正交矩阵——设A是n阶矩阵，满足??????=??????=??，则A是正交矩阵。 A是正交矩阵?????=????? ???的向量组是正交规范向量组，如A是正交矩阵，则行列式 A =1或?1。 2.施密特正交化—— 设向量组????,????,????线性无关，其正交规范化方法步骤如下： 令????=???? ????=?????(????,????)???? ?? ?? (??,??) ????=?????(????,????)?????(????,????)????， ?? ?? ?? ?? (??,??)(??,??) 则????，????，????两两正交。 再将????，????，????单位化，取????= ???? ，????= ???? ，????= ???? ?? ?? ?? ?????? 则????，????，????是正交规范向量组(即两两正交且均是单位向量) 第四章 线性方程组 一、克拉默法则 a11x1+a12x2+···+a1nxn=b1ax+a22x2+···+a2nxn=b21.概念——若n个方程n个未知量构成的非齐次线性方程组 211 ··· an1x1+an2x2+···+annxn=bn的系数行列式 A ≠0，则方程组有唯一解，且xi= Ai A ，i=1,2,…n。其中 Ai 是 A 中的第i 列元素(即xi的系数)替换成方程组右端的常数项b1,b2,…,bn所构成的行列式。 a11x1+a12x2+···+a1nxn=0ax+a22x2+···+a2nxn=02.推论——若包含n个方程n个未知量的奇次线性方程组 211的 ··· an1x1+an2x2+···+annxn=0系数行列式 A ≠0的充要条件是方程组有唯一解，反之，齐次线性方程组有非零解的充要 条件是 A =0。 二、齐次线性方程组 1.形式——n个未知量m个方程组成的方程组 向量形式：????x1+????x2+···+????xn=?? 其中????= a1j,a2j,···,amj 矩阵形式：?????????=?? 2.齐次线性方程组的解——若将有序数组c1,c2,···,cn代入方程组的未知量x1,x2,···,xn，使每个方程等式成立，则称 c1,c2,···,cn T为方程组的一个解(或解向量)，记成??= c1,c2,···,cn T 3.齐次线性方程组的基础解系—— 设????,????,···,???????是AX=0的解向量，若满足 ①????,????,···,???????线性无关； ②AX=0的任一解向量ξ均可由????,????,···,???????线性表出。等价于： (加入任一解向量??，使得????,????,···,???????线性相关) (r(A)=r，即线性无关解向量的个数为n?r，满足r(A)+线性无关解的个数=n) 则称向量????,????,···,???????是AX=0的基础解系。 4.AX=0的解的性质—— 若????,????是齐次线性方程组AX=0的解，则??????,k1????+k2????仍是AX=0的解，其中k1,，k2是任意常数。推广到多个解 5.AX=0有解的条件——齐次线性方程AX=0一定有解，至少有非零解。 AX=0只有零解?方程组的列向量组线性无关? r ????,????,···,???? =?? AX=0有非零解?方程组的列向量组线性相关? r ????,????,···,???? 基础解系向量个数+?? ?? =?? (未知量个数) 7.AX=0的通解——设????,????,···,???????是AX=0的基础解系，则k1????+k2????+···+kn?r???????是AX=0的通解，其中ki是任意常数。 T 8.基础解系和通解的求法——初等行变换 三、非齐次线性方程组 1.形式——n个未知量m个方程组成的方程组 向量形式：????x1+????x2+···+????xn=?? 其中????= a1j,a2j,···,amj 矩阵形式：?????????=?? ??= b1,b2,···,bm T 2.AX=b的解的性质——设????,????是AX=b的两个解，??是对应齐次方程AX=0的解，则 ?? ????????? =??，A ????+k?? =?? 3.AX=b有解的条件—— AX=b无解?b不能由A的列向量组????,????,···,????线性表出 ?r(A)≠r(A|b) r A +1=r(A|b) AX=b有解? b可以由A的列向量组????,????,···,????线性表出 ?r(A)=r(A|b) ? ????,????,···,???? ? ????,????,···,????,?? AX=b有唯一解?r ????,????,···,???? =??(????,????,···,????,??)=?? ?????,????,···,????线性无关，????,????,···,????,??线性相关 ? b可以由A的列向量组????,????,···,????线性表出且表示唯一。 AX=b有无穷解? r ????,????,···,???? =??(????,????,···,????,??)=?? 5.AX=0的系数行向量和解向量的关系，由AX=0的基础解系反求A—— 齐次线性方程组有解??= ????,????,···,???? ，故AX=0的系数行向量????和解向量??有如下关系： ????????=0，故A的行向量与AX=0的解向量是正交向量； ????????=0，即将解向量作齐次方程组的行向量时，A的行向量既是该方程组的解向量。 6. AX=0的系数列向量和解向量的关系——P260 7.两个方程组的公共解—— A 方程组????=??和????=??的公共解是满足方程组 X=0的解。P263 B 8.同解方程组——若A是m×n实矩阵，????=??和????????=??是同解方程组，有r A =r ?????? =r ?????? T 第五章 特征值、特征向量、相似矩阵 一、特征值、特征向量 1. 特征值——A是n阶方阵，如果对于数λ，存在非零向量??，使得A??=λ?? (??≠??)，成立，则称λ是A的特征值，??是A的对应于λ的特征向量。 2.特征多项式—— λE?A ??=??，因??≠??，故 λE?A =0，此为特征多项式，矩阵λE?A称为特征矩阵。 3.特征值的性质——设A= aij n×n ,λi(i=1,2,…,n)是A的特征值，则 nn ① ni=1λi= i=1aii； ② i=1λi= A 4.求特征值、特征向量的方法—— 方法一：设A= aij n×n ，则由 λE?A =0求出A的全部特征值λ，再有齐次线性方程 组 λi????? ??=??求出A的对应于特征值λi的特征向量。基础解系即是A的对应于λi的线性无关特征向量，通解即是A的对应于λi的全体特征向量。(除0向量) 方法二：利用定义，凡满足关系式A??=λ?? (??≠??)的数即是A的特征值，??即是A对应于λ的特征向量。一般用于抽象矩阵，或元素为文字的矩阵。P269 二、相似矩阵、矩阵的相似对角化 1.相似矩阵——设A、B都是n阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使得?????????=??，则称A相似于B，记成A~B。若A~Λ，其中Λ是对角阵，则称A可相似化。Λ是A的相似标准型。 2.矩阵可相似对角化的充要条件—— ①n阶矩阵A可对角化?A有n个线性无关的特征向量。 ②λ1≠λ2是A的特征值→A的对应于λ1,λ2的特征向量????,????线性无关。 ③n阶矩阵A有n个互不相同的特征值λ1≠λ2≠···≠λn， →A有n个线性无关特征向量????,????,…,???? ?A可相似于对角阵。 ④λi是n阶矩阵A的ri重特征值，则其对应的线性无关特征向量个数≤ri个 ⑤n阶矩阵A可相似对角化?A的每一个ri重特征值对应的线性无关特征向量个数等于该特征值的重数ri ⑥当A的ri 重特征值λi 对应的线性无关特征向量个数少于特征值的重数ri 时，A不能相似于对角阵。 3.性质—— ??~?? 反身性 A~B→B~A 对称性 若A~B，B~C→A~C 传递性 4.两个矩阵相似的必要条件