解答：将组合D的bi1和bi2代入题11的方程，得
15 表明组合D的价格被低估，可以买入组合D进行套利。 E(RD)?14＜
第五章 单指数与多指数模型
1、下表列出三个股票和S&P指数在某12个月的期间内月收益数据( %)（已根据股利修正）。
月 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
请计算：
（1） 每只股票的ai和每只股票的?i。
11
A
12.05 15.27 -4.12 1.57 3.16 -2.79 -8.79 -1.18 1.07 12.75 7.48 -0.94
B 25.20 2.86 5.45 4.56 3.72 10.79 5.38 -2.97 1.52 10.75 3.79 1.32
C 31.67 15.82 10.58 -14.43 31.98 -0.72 -19.64 -10.00 -11.51 5.63 -4.67 7.94
S&P 12.28 5.99 2.41 4.48 4.41 4.43 -6.77 -2.11 3.46 6.16 2.47 -1.15
（2） 每个回归残差的标准差。
（3） 每个证券与市场组合之间的相关系数。 （4） 市场组合平均收益和市场组合方差。 解答：（1）每只股票的ai和?i
rA??rt?11212A,t12?2.961%；rB??rt?112B,t12?6.031%； rC??rt?112C,t12?3.554%
?A??(rt?1A,t?rA)(rMt,?r)MM,t?(rt?112?rM)2?1.176；同理，?B?1.021；?C?2.321
aA?rA??A；aB?2.964%；aC??3.42% rM?0.?57% 特征方程： 特征线：
?rA??0.57%?1.176rM?ei? ?rB?2.964%?1.021rM?ei
?r??3.42%?2.321r?eMi?C?rA??0.57%?1.176rM???rB?2.964%?1.021rM ?r??3.42%?2.321rM??C （2）每个回归残差的标准差：ei,t?ri?ai??irm，将以上数值代入，可得 A中：eA,1??1.822%；eA,2?8.798%；eA,3??6.381%；eA,4??3.126%； eA,5??1.454%；eA,6??7.427%；eA,7??0.252%；eA,8?1.876%； eA,9??2.426%；eA,10?6.078%；eA,11?5.148%；eA,12?0.987% 因此：eA?4.884%。
B中：eB,1?9.704%；eB,2??6.217%；eB,3?0.026%；eB,4??2.976%； eB,5??3.745%；eB,6?3.305%；eB,7?9.325%；eB,8??3.781%； eB,9??4.975%；eB,10?1.499%；eB,11??1.695%；eB,12??0.470%
因此：eB?5.205%
C中：eC,1?6.584%；eC,2?5.336%；eC,3?8.467%；eC,4??21.408%； eC,5?25.164%；eC,6??7.582%；eC,7??0.502%；eC,8??1.68%；
12
eC,9??16.12%；eC,10??5.248%；eC,11??6.962%，eC,12?14.032% 因此：eC?12.89%。
?12(ri,t?ri)(rM,t?rM) （3）由相关系数：?(i,M)t?1i,M?Cov?i??M?，可得
i?M
?A,M?0.755；?B,M?0.684；?C,M?0.652
?12rM,t （4）市场组合的平均收益：rt?1M?12?3.005%；
12(rM,t?rM)2 市场组合方差：?2M??t?112?1?0.00228
2、A、计算问题1中每只股票的期望收益和收益的方差，使用： （1）单指数模型 （2）历史数据
B、计算可能的每对股票间的协方差，使用： （1）单指数模型 （2）历史数据
C、在每只股票上投入资金的三分之一，计算这种组合的收益和标准差，使用：（1）单指数模型 （2）历史数据 解答：
A、计算期望收益和方差
（1）由单指数模型：r222i?aA??irM以及?i??i?M??ei，可得： rA?2.961；%rB?6.031%；rC?3.554%
?2A?0.0055；
4?2；?2B?0.00508C?0.02891 （2）由历史数据，可得：
rA?2.961；%rB?6.031%；rC?3.554%
13
并代入??2i?(rt?112i,t?ri)2，得
12?12224?B?0.00508；?C?0.02891 ?A?0.0055；
B、计算协方差
（1）由单指数模型：?ij??i?j?M，可得：
27?BC?0.0054；?AC?0.0062 ?AB?0.002；
（2）由历史数据：Cov(i,j)??(rt?112i,t?ri)(rj,t?rj)11，可得：
Cov(A,B)?0.00；2Cov(B,C)?0.0059；Cov(A,C)?0.0067 C、每只股票分别投入资金的三分之一，计算收益和标准差：
1rP?(rA?rB?rC)?4.182%
3?P?121212222???????????AC?8.7% ABCABBC32323232323223、给定以下数据：?m?10%
证券号 1 2 3 4 5 6 期望收益（%） 15 12 11 8 9 14 贝塔 1.0 1.5 2.0 0.8 1.0 1.5 2?ei（%） 30 20 40 10 20 10 A、假设不允许卖空，如果RF?5%，求最优组合。 B、假设允许卖空，如果RF?5%，求最优组合。 C、假设允许卖空，但禁止无风险借贷，求最优组合。 解答：
A：（1）计算单位风险报酬排序：
14
证券i 1 2 3 4 5 6 超额收益Ri?Rf 10% 7% 6% 3% 4% 9% 超额收益与β之比 10% 4.67% 3% 3.75% 4 6 （2）计算Ci
证券i 1 6 2 5 4 3 单位风险报酬 10% 6% 4.67% 4% 3.75% 3% i (Ri?Rf)?i2?ei ?i2 2?ei0.033 0.225 0.133 0.05 0.064 0.1 ?j?1i(Rj?Rf)?j2?ej ?i2 ?i2j?1?eiiCi 1 6 2 5 4 3 0.333 1.35 0.525 0.2 0.24 0.3 0.333 1.685 2.21 2.41 2.65 2.95 0.033 0.258 0.371 0.401 0.485 0.585 2.5 4.71 4.69 4.63 4.53 4.31 * 可知：C?maxCi?4.71，组合包括证券1和6
（3）计算最优资产组合比例
Z1?
1(10?4.7)?0.1767、同理，Z6?0.1953； 3015