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第十六章 分式
本章小结
小结1 本章概述
本章在已学过的分数的基础上引入了分式的概述，用类比的方法探究分式的基本性质，在熟练掌握分式的基本性质的基础上，会进行分式的约分、通分和分式的加、减、乘、除、乖方运算，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验分式方程的根． 小结2 本章学习重难点
【本章重点】了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行简单的分式加、减、乘、除、乘方运算；能够根据具体问题数量关系列出简单的分式方程，会会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型；会解简单的可化为一元一次方程的分式方程.
【本章难点】应用分式方程解决实际问题． 小结3 中考透视
本章内容在中考中主要考查判断分式有无意义，分式值为零的条件的应用，用分式基本性质进行变形，分式运算及分式的化简求值，常与实际问题结合起来命题，题型以解答题为主．
知识网络结构图
分式的概念 分式的概念 分式的意义、无意义的条件 分式的值为0的条件 分式的基本性质 分式的基本性质 分式的约分 分式的通分 分式的乘法规则 分式的除法规则 分式 同分母分式的加减法法则
分式的运算 分式的加减法法则 异分母分式的加减法法则 运算性质
负正数指数幂 科学记数法
公式方程的概念 解分式方程的步骤 分式方程 分式方程中使最简公分母为0的解 列分式方程应用题的步骤
专题总结及应用
一、识性专题
专题1 分式基本性质的应用
【专题解读】分式的基本性质是分式的化简、计算的主要依据.只有掌握好分式的基本
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性质，才能更好地解决问题.
例1 化简
6xy; (2) 210x6xy2x?3y3y解：(1)??.
10x22x?5x5x(1) (2)
xy?y； 2x?1xy?yy(x?1)y. ??2x?1(x?1)(x?1)x?1【解题策略】化简一个分式时，主要是根据分式的基本性质，把分式的分子与分母同时除以它们的公因式，当分式的分子或分母是多项式时，能分解因式的一定要分解因式.
例2 计算??312??21??2????? a?2a?4a?2a?2????解：??312??21??2?????
?a?2a?4??a?2a?2??3(a?2)??2(a?2)?12a?2?????????(a?2)(a?2)(a?2)(a?2)??(a?2)(a?2)(a?2)(a?2)?3a?18a?6?? (a?2)(a?2)(a?2)(a?2)?3.【解题策略】异分母分式相加减，先根据分式的基本性质进行通分，转化为同分母分式，再进行相加减.在通分时，先确定最简公分母，然后将各分式的分子、分母都乘以分母与最简公分母所差的因式.运算的结果应根据分式的基本性质化为最简形式.
专题2 有关求分式值的问题
【专题解读】对于一个分式，如果给出其中字母的值，可以先将分式进行化简，然后将字母的值代入，求出分式的值.但对于分式的求值问题,却没有直接给出其中字母的值,而只是给出其中的字母所满足的条件，这样的问题复杂，需根据其转点采用相应的方法.
x21例3 已知x??3,求4的值. 2x?x?1x解: 因为x?0，所以用x除所求分式的分子、分母. 原式?21x2?1?21x2?11(x?)2?2?1x2?11. ?23?36xx2y?x?y例4 已知2x?xy?3y?0，且x??y，求
的值.
解: 因为2x?xy?3y?0，
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所以(x?y)(2x?3y)?0, 所以x?y?0或2x?3y?0,
又因为x??y,所以x?y?0,所以2x?3y?0,所以y?所以
2x, 3xx2y?x?y?x2x2x?23x?x3?x2x?3x3?x3??. 77?x3例5 已知
345xyz的值. ??,求
x?yy?zz?x(x?y)(y?z)(x?z)解: 设
3451???, x?yy?zz?xk则x?y?3k,y?z?4k,z?x?5k, 解得x=2k，y=k，z=3k，
xyz2k?k?3k6k31???所以. 3(x?y)(y?z)(x?z）3k?4k?5k60k10例6 已知
xzabc的值. ?a,?c,且abc?o,求??y?zx?ya?1b?1c?11y?z?, ax1y?zx?y?za?1x?y?z所以?1?, ?1?,即?axxax解: 由已知得所以
ax, ?a?1x?y?zbycz?,?, b?1x?y?zc?1x?y?zabcxyzx?y?z???????1. a?1b?1c?1x?y?zx?y?zx?y?zx?y?z同理
所以
x2y2z2xyz?????1,且x?y?z?0,求例7 已知的值. y?zx?zx?yy?zz?xx?y解: 因为x?y?z?0,
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所以原等式两边同时乘以x?y?z,得:
x(x?y?z)y(x?y?z）z(x?y?z)???x?y?z. y?zz?xx?yx2x(y?z)y2y(z?x)z2z(x?y)即??????x?y?z, y?zy?zz?xz?xx?yx?yx2y2z2所以???(x?y?z)?x?y?z,
y?zz?xx?yx2y2z2???0. 所以
y?zz?xx?y【解读策略】 条件分式的求值，如需把已知条件或所示条件分式变形，必须依据题目自身的特点，这样才能到事半功倍的效果，条件分式的求值问题体现了整体的数学思想和转化的数学思想.
例8 已知
x?yxyz的值. ??,求
x?2y?3z345分析 根据已知条件,可把x,y,z用含有一个字母的代数式表示出来,再分别代入到所求式子中化简即可.
解: 设
xyz???k,则x?3k,y?4k,z?5k. 345所以
x?y3k?4k7k7???.
x?zy?3z3k?2?4k?3?5k10k10【解题策略】 当代数式中的字母的比值是常数时，一般情况下都采用这种方法求分式的值.
例9 已知
a?bb?ca?ck的值. ???k,求2cabk?1分析 只要求出k的值就可以了,由已知条件可得a?b?ck,b?c?ak,a?c?bk,将这三个等式可加后得到2(a?b?c)?k(a?b?c),再通过讨论得到k的值.
解: 由已知到a?b?ck,b?c?ak,a?c?bk.
三式相加得2(a?b?c)?k(a?b?c),即(2?k)(a?b?c)?0, 所以2?k?0,或a?b?c?0.
即k?2,或a?b?c?0. 当a?b?c?0时,a?b??c,此时
a?b??1,即k??1. c联系地址：郑州市经五路66号河南电子音像出版社有限公司 邮编 450002 电话 400-688-1789
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所以k?2,或k??1. 当k?2时,
k22??; 22k?12?15k?11. ???22k?1(?1)?12当k??1时,
【解题策略】在得到2(a?b?c)?k(a?b?c),时，因为a?b?c可以等于零，所以两边不能同时除以a?b?c，否则分丢解，应进行整理，用分解因式来解决.
例10 已知
111ba??,求?的值. aba?bab分析 观察已知条件和所示的分式,可将它们分别进行整理,从中得到某种关系,然后求值.
解: 由
111a?b1??,得?, aba?baba?b2所以(a?b)?ab,即a?b??ab.
22baa2?b2?ab???1. 所以??ababab例11 已知x?21?4,求下列各式的值. xx21(1)x?2; (2)4. 2x?x?1x分析 观察(1)和已知条件可知,将已知等式两边分别平方再整理,即可求出(1)的值;对
于(2),直接求值很困难,根据其特点和已知条件,能够求出其倒数的值,这样便可求出(2)的值.
1?1?2解: (1)因为x??4,所以?x???4.
x?x?即x?2?22112.所以?16x??14.
x2x2x4?x2?1x4x2112????x??1?14?1?15, (2)
x2x2x2x2x2x21?所以4.32?4?3?a?0 2x?x?115专题2 与增根有关的问题
11?x有增根, 那么增根是 . ?3?x?22?x分析 因为增根是使分式的分母为零的根,由分母x?2?0或2?x?0可得x?2.所以增根是x?2.
例12 如果方程
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