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答案: x?2
x2?4x?a例13 若关于x的方程?0有增根, 则a 的值为 ( )
x?3A.13 B. –11 C. 9 D.3
分析 因为所给的关于x的方程有增根,即有x?3?0, 所以增根是x?3.而x?3一定是整式x2?4x?a?0的根, 将其代入得32?4?3?a?0,所以x?3.
答案: D
2ax3会产生增根? ?2?x?2x?4x?2分析 因为所给方程的增根只能是x?2或x??2，所以应先解所给的关于x的分式方
例14 a何值时,关于x的方程程，求出其根，然后求a的值.
解: 方程两边都乘以(x?2)(x?2),得2(x?2)ax?3(x?2). 整理得(a?1)x??10. 当a = 1 时,方程无解. 当a?1时,x??10. a?1如果方程有增根,那么(x?2)(x?2)?0,即x?2或x??2.
10?2,所以a??4; a?110当x??2时,???2,所以a = 6 .
a?1所以当a??4或a = 6原方程会产生增根.
当x?2时,?专题4 利用分式方程解应用题
【专题探究】 列分式方程解应用题不同于列整式方程解应用题.检验时，不仅要检验所得的解是否为分式方程的解，还要检验此解是否符合题意.
例15 在“情系海啸”捐款活动中，某同学对甲、乙两班捐款情况进行统计，得到如下三条信息.
信息1：甲班共捐款300 元， 乙班共挡捐款232 元.
信息2: 乙班平均每人捐款钱数是甲班平均每人捐款钱数的信息3 : 甲班比乙班多2人.
请根据以上三条信息,求出甲班平均每人捐款多少元. 解: 设甲班平均每人捐款x元,则乙班平均每人捐款根据题意, 得
4. 54x元. 5300232??2,解这个方程得x?5. 4xx5联系地址：郑州市经五路66号河南电子音像出版社有限公司 邮编 450002 电话 400-688-1789
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经体验,x?5是原方程解. 例16 (08·山西) 某文化用品商店用2000元购进一批学生书包，上市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第二批进数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元.
（1）求第一批购进书包的单价是多少？ （2）若商店销售这两批书包，每个售价都是120元，全部售出生，商店共盈利多少元？
分析 设第一反批购进书包的单价为x元，则第二批购进的书包的单价为(x?4)，第一批购进书包
20006300个，第二批购进书包个. xx?4
解: 设第一批购进书包的单价为x元. 依题意,得
20006300, ?3?xx?4整理,得20(x?4)?21x, 解得x?80. 答: 第一批购进书包的单价为80元. 解法1: (2)
20006300?(120?80)??(120?84)?1000?2700?3700(元). 8084答: 商店共盈利3700元. 解法2 :
2000?(1?3)?120?(2000?6300)?12000?8300?3700(元) 80答: 商店共盈利3700元.
二、规律方法专题
专题5 分式运算的常用讨巧
（1）顺序可加法.有些异分母式可加,最简公分母很复杂,如果采用先通分再可加的方法很烦琐.如果先把两个分式相加减,把所提结果与第三个分式可加减,顺序运算下去,极为简便.
(2)整体通分法,当整式与分式相加减时,一般情况下,常常把分母为1的整式看做一个整体进行通分,依此方法计算,运算简便.
(3)巧用裂项法.对于分子相同、分母是相邻两个连续整数的积的分式相加减，分式的项数是比较多的，无法进行通分，因此，常用分式
111进行裂项. ??n(n?1)nn?1(4)分组运算法: 当有三个以上的异分母分式相加减时,可考虑分组,原则是使各组运算后的结果能出现分子为常数,且值相同或为倍数关系,这样才能使运算简便.
(5)化简分式法.有些分式的分子.、分母都异常时如果先通分，运算量很大.应先把每一个分别化简，再相加减.
（6）倒数法求值（取倒数法）. （7）活用分式变形求值. (8)设k求值法(参数法) (9)整体代换法. (10)消元代入法.
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112x4x3例17 化简 ???x?1x?1x2?1x4?1x?1x?12x4x32x2x4x3解: 原式=2 ?2?2?4?2?2?4x?1x?1x?1x?1x?1x?1x?12x(x2?1)?2x(x2?1)4x34x34x3??4?4?422(x?1)(x?1)x?1x?1x?1?4x(x?1)?4x(x?1)8x?8.(x4?1)(x4?1)x?134347
4. a?2a?24(a?2)(a?2)4解：原式? ???1a?2a?2a?2例18 计算a?2?(a?2)(a?2)?4a2? ?
a?2a?2x3例19 计算x?x??1.
x?12x3(x?1)(x2?x?1)x3??解：原式?x?x?1? x?1x?1x?12x3?1?x31?? ?.
x?1x?1例20 计算解
1111???????.
a(a?1)(a?1)(a?2)(a?2)(a?3)(a?2005)(a?2006):
原
式
?1???a?1?1??a??1????1???a
?2?1??a?11111111???????????aa?1a?1a?2a?2a?3a?2005a?200611??aa?2006
a?2006a??a(a?2006)a(a?2006)2006?2.a?2006a?联系地址：郑州市经五路66号河南电子音像出版社有限公司 邮编 450002 电话 400-688-1789
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【解题策略】要注意裂项法解分式是，常用分式
111. ??n(n?1)nn?1例12 计算
1111???. 2222x?xx?2x?xx?3x?2x?4x?3解: 原式??111?1????????2? 222?x?xx?3x?2??x?2x?1x?4x?3??1???111???????x(x?1)2(x?1)(x?3)?x(x?1)(x?1)(x?2)????(x?2)?x(x?3)?(x?1)??x(x?1)(x?2)(x?1)2(x?3)22 ??2x(x?1)(x?2)(x?1)(x?3)2(x?1)(x?3)2x(x?2)?x(x?1)2(x?2)(x?3)2(2x2?6x?3)?.2x(x?1)(x?2)(x?3)111?2?. x?2x?4x?2111(x?2)?(x?2)1解: 原式? ??2??22x?2x?2x?4x?4x?4?41?3 ?2. ?2?2x?4x?4x?4例22 已知x?3,求
当x?3,原式??33?. 22(1?3)?4x2?3x?6x2?5x?2?2. 例23 计算2x?3x?2x?5x?6解: 原式??1???44????1???? 22x?3x?2??x?5x?6?联系地址：郑州市经五路66号河南电子音像出版社有限公司 邮编 450002 电话 400-688-1789
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?????44?x2?3x?2x2?5x?644?(x?1)(x?2)(x?2)(x?3)4(x?3)4(x?1)?
(x?1)(x?2)(x?3)(x?2)(x?3)(x?1)8x?16(x?1)(x?2)(x?3)8.(x?1)(x?3)x2x例24 已知2的值. ?7,求42x?x?1x?x?1解: 因为
x?7,所以a?0, 2x?x?1x2?x?1118所以 ?,即x??,
x7x7x4?x2?111?15?2?x??1?x??1?所以 ??x2x2x49??2x215?所以 4. 2x?x?149【解题策略】在求代数式的值时，有时所给条件或所求代数式不易化简变形，当把代数式的分子、分母颠倒后，变形就容易了，这样的问题通常采用倒数法（把分子、分母倒过来）求值.
例25 已知x?5x?1?0和x?0,求x?解: 由x?5x?1?0 和x?0 ,提x?2241的值. 4x1?5, x1?21?4所以x?4??x?2??2
xx??2???1????x???2??2x?????? ?(52?2)2?222?527【解题策略】 若能对分式进行熟练的变形运用，可给解题带来极大的方便.
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