第六章 平稳随机过程
在自然科学与工程技术研究中遇到的随机过程有很多并不具有Markov性，这就是说从随机过程本身随时间的变化和互相关联来看，不仅它当前的状况，而且它过去的状况都对未来的状况有着不可忽略的影响，并且其统计特征不随时间推移而变化，这类随机过程称为平稳过程. 例如，恒温条件下热噪声电压X(t)是由于电路中电子的热扰动引起的，这种热扰动不随时间推移而改变；又如，连续测量飞机飞行速度产生的测量误差X(t)，它有很多因素（如仪器振动，电磁波干扰与气候等）造成，但主要因素不随时间推移而改变.
平稳过程是一种特殊的二阶矩过程，其表现在过程的统计特性不随时间的推移而改变.用概率论语言来描述：相隔时间h的两个时刻t与t?h处随机过程所处的状态X(t)与
X(t?h)具有相同的概率分布.一般地，两个n维随机向量?X(t1),X(t2),?,X(tn)?与
?X(t1?h),X(t2?h),?,X(tn?h)?具有相同的概率分布. 这一思想抓住了没有固定时间
（空间）起点的物理系统中最自然现象的本质，因而平稳过程在通讯理论、天文学、生物学、生态学、和经济学个领域中有着十分广泛的应用.
6.1 随机微积分
在高等数学的微积分中，连续、导数和积分等概念都是建立在极限概念的基础上.对于随机过程的研究，也需要建立在随机过程的连续性、可导性和可积性等概念的基础上，这些内容形式上与高等数学极为相似，但实质不同，高等数学研究的对象是函数，随机微积分研究的对象是随机函数（即随机过程），有关这部分的内容统称为随机分析（stochastic
analysis）.
在随机分析中，随机序列极限的定义有多种，下面我们简单介绍常用的定义.由于我们主要研究广义平稳过程（具体的定义将在第二节介绍），因此，以下的随机过程都假定为二阶矩过程.为了讨论的方便，我们约定：今后如不加说明，二阶矩过程{X(t),t?T}的均值函数mX(t)?EX(t)?0，自协方差函数CX(s,t)?E?X(s)X(t)?.
??6.1.1 均方收敛
定义6.1 称二阶矩随机序列{Xn(?)}以概率为1收敛于二阶矩随机变量X(?)，若使
limXn(?)?X(?)成立集合的概率为1，即
n??P?:limXn(?)?X(?)?1
n????或称{Xn(?)}几乎处处收敛（almost everywhere converge）于X(?)，记作Xn
a.e.??? X.
第六章《平稳随机过程》
定义6.2 称二阶矩随机序列{Xn(?)}以概率收敛（convergence in probability）于二阶矩随机变量X(?)，若对于任意给定的??0，有
limP?|Xn(?)?X(?)|????0
n??p? X. 记作Xn ??定义6.3 若二阶矩随机序列{Xn(?)}和二阶矩随机变量X(?)满足
limE[|Xn?X|2]?0 （6.1）
n??m.s? X. 成立，则称Xn均方收敛（convergencein mean square）于X，记作Xn ??（6.1）式的极限常常写成l?i?mXn?X或l?i?mXn?X（.l?i?m是英文limit in mean的
n??缩写）.
定义6.4称二阶矩随机序列{Xn(?)}依分布收敛（convergencein distribution）于二阶矩随机变量X(?). 若{Xn(?)}相应的分布函数列{Fn(x)}，在X的分布函数每一个连续点处，有
Fnx(?)Fx( ) limn??d?X. 记作Xn ??对于以上四种收敛定义进行比较，有下列关系：
m.sp? X，则Xn ??? X； （1） 若Xn ??a.ep? X，则Xn ??? X； （2） 若Xn ??pd? X，则Xn ??? X. （3） 若Xn ??值得注意的是，在四种收敛定义中，均方收敛是最简单的收敛形式，它只涉及单独一个
序列.下面我们讨论随机序列的收敛性，都是指均方收敛.
定理6.1 二阶矩随机序列{Xn}收敛于二阶矩随机变量X的充要条件是
X|n?Xm limE[n,m??2|?] 0定理6.2 设{Xn},{Yn},{Zn}都是二阶矩随机序列，U为二阶矩随机变量，{cn}为常数序列，a,b,c为常数.令l?i?mXn?X，l?i?mYn?Y，l?i?mZn?Z，limcn?c，则
n??n??n??n??（1）l?i?mcn?limcn?c；
n??n?? 2
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（2）l?i?mU?U；
n??（3）l?i?m(cnU)?cU；
n??（4）l?i?m(aXn?bYn)?aX?bY；
n??（5）l?i?mEXn?EX?E?l?i?mXn?；
n???n???（6）l?i?mE?XnYm??EXY?E?l?i?mXn?l?i?mYm?；
n,m???????n????m?????222特别地，有l?i?mE[|Xn|]?E|X|?E?|l?i?mXn|?
n???n??? 证明 （1），（2），（3），（4）由均方收敛的定义可以得证. （5）由Schwartz不等式 E|XY|?将X取为Xn?X，Y取为1，则有
E|X|2?E|Y|2 0?|EXn?EX|2?|E[Xn?X]|2?E|Xn?X|2?0 (n??)
因此 l?i?mEXn?EX?E?l?i?mXn?
n???n??? （6）由Schwartz不等式
|E[XnYm]?E[XY]|?|E[XnYm?XY]|
?E[(Xn?X)(Ym?Y)?XnY?XYm?2XY]
?E[(Xn?X)(Ym?Y)]?E[(Xn?X)Y]?E[(Ym?Y)X]
??????E??(Xn?X)(Ym?Y)??E?[(Xn?X)Y]??E?(Ym?Y)X?
?E|Xn?X|2E|Ym?Y|2?E|Xn?X|2E|Y|2 ?E|Ym?Y|2E|X|2 ?0
因此 l?i?mE[XnYm]?E[XY].
n,m??（5）式和（6）式表明：极限运算和求数学期望运算可以交换顺序.
定理6.3 二阶矩随机序列{Xn}均方收敛的充要条件是limE?XnXm?=c（常数）
n,m????证明 必要性由定理6.2之（6）易知，下证充分性. 设limE?XnXm??E|X|?c，由
n,m????2E|Xn?Xm|2?E[|Xn|2?XnXm?XnXm?|Xm|2]
?E|Xn|2?E[XnXm]?E[XnXm]?E|Xm|2
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因此 limE|Xn?Xm|?c?2c?c?0.
n,m??2定理6.3给出了判定二阶矩随机序列{Xn}均方收敛的方法，该条件称为洛弗（Loeve）准则.
6.1.2 均方连续
?t0) ，即定义6.5 设{X(t),t?T}是二阶矩过程，若对t0?T，有l?i?mX(t)?X(t?t0 limE?|X(t)?Xt(0)2|????0t?t0则称{X(t),t?T}在t0点均方连续（continuity in mean square）. 如果{X(t),t?T}在t?T每点都均方连续，则称{X(t)}在T上均方连续.
定理6.4 （均方连续准则）二阶矩过程{X(t),t?T}在t点均方连续的充要条件是相关函数RX(t1,t2)在点(t,t)处连续.
证明 必要性：若l?i?mX(t?h)?X(t)，由定理6.2中（6），得到
h?0limRX(t1,t2)?limE[X(t1)X(t2)]?E[X(t)X(t)]?RX(t,t)
t1?tt2?tt1?tt2?t充分性：若RX(t1,t2)在点(t,t)处连续，考虑到
E[|X(t?h)?X(t)|2]?RX(t?h,t?h)?RX(t,t?h)?RX(t?h,t)?RX(t,t)
令h?0取极限可得.
推论6.4.1 若相关函数RX(t1,t2)在{(t,t),t?T}上连续，则它在T?T上连续. 证明 若RX(t1,t2)在{(t,t),t?T}上连续，由定理6.4知X(t)在上均方连续，因此
l?i?mX(s)?X(t1)，l?i?mX(s)?X(t2)
s?t1s?t2再由定理6.2中（6），得
limRX(t1,t2)?limE[X(s)X(t)]?E[X(t1)X(t2)]?RX(t1,t2)
s?t1t?t2s?t1t?t2知RX(t1,t2)在T?T上连续.
推论6.4.2 如果{X(t),t?T}是平稳过程，则X(t)在T上均方连续的充分必要条件是
X(t)的相关函数RX(?)在??0处连续，并且此时RX(?)是连续函数.
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证明：由于平稳过程的相关函数RX(?)本质上是RX(t,t??)，所证结论很显然. 定理6.4表明：对于一般二阶矩过程在T上均方连续性与它的相关函数（作为二元函数）在T?T上连续性等价，而相关函数在T?T上的连续性又等价于它在第一、三象限平分线
{(t,t),t?T}上的连续性；对于平稳随机过程，均方连续等价于相关函数（作为一元函数）
在原点的连续性.
6.1.3 均方导数
定义6.6 设{X(t),t?T}是二阶矩过程，若存在另一随机过程X'(t)，满足
X(t?h)?X(t)limE?X'(t)?0 h??h则称X(t)在t点均方可微（differentiability in mean square），记作
2X'(t)?dX(t)X(t?h)?X(t)?l?i?m h?0dth称X'(t)为X(t)在t点的均方导数.若X(t)在每点t都均方可微，则称它在T上均方可微.
类似地，若随机过程{X'(t),t?T}在t点均方可微，则称X(t)在t点二次均方可微，
d2X记为X''(t)或，称它为二阶矩过程X(t)的二阶均方导数.同理可定义高阶均方导数.
dt2定理6.5 （均方可导准则）二阶矩过程{X(t),t?T}在t点均方可微的充要条件是相关函数RX(t1,t2)在点(t,t)处广义二阶导数存在.
证明 由定理6.3知，X(t)在t点均方可微的充要条件为
?X(t?h1)?X(t)??X(t?h2)?X(t)?limE?? ??h1?0hh?1??2?h2?0存在，将其展开得
?R(t?h1,t?h2)?RX(t?h1,t)?RX(t,t?h2)?RX(t,t)?lim?X? h1?0hh12?h2?0?上式极限存在的充要条件是相关函数RX(t1,t2)在点(t,t)处广义二阶导数存在. 6.1.4 均方积分
设{X(t),t?T}是二阶矩过程，f(t)为普通函数，其中T?[a,b]，用一组分点将T划分如下：a?t0?t1?????tn?b，记max{ti?ti?1}??n，作和式
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