第六章《平稳随机过程》
1 E|?X(t)?|?limT??4T221??2T??2T?|?2|2RX(?2)d?1d?2
2T2T??2| ?lim1T??2T?|?2|?R(?)1??d?2 (6.10) ??2TX2?2T??2T1又因为
2T?|?2|?1??d?2?1 ??2T?2T??2T故 |mX|2?12T|?2|?2? |m|1??d?2 （6.11）??2TX?2T??2T将(6.10) 和(6.11)代人(6.9)，得
1 D?X(t)??limT??2T?|?|?21???RX(?)?|mX|?d? (6.12) ??2T??2T?2T(6.12)式等于0就是?X(t)?以概率1等于EX(t)?mX的充要条件，证毕.
当X(t)是实均方连续平稳过程时，RX(?)为偶函数，过程X(t)的均值各态历经性的充要条件可以写成
12T???2??（6.13） 1?R(?)?mX?d??0 ???XT??T?0?2T?lim由于CX(?)?RX(?)?|mX|2，因此，(6.8)式等价于
1limT??2T相应地，(6.13)式等价于
?|?|? 1??CX(?)d??0 （6.14）??2T?2T??2T12T??? 1???CX(?)d??0 （6.15）T??T?0?2T?lim定理6.11 设{X(t),???t??}为均方连续的平稳过程，则它的相关函数具有各态历经性的充要条件是
1T??2Tlim?|?1|?2??1?C(?)?|R(?)|1X1????2T?2T???d?1?0 (6.16)
2T其中CX(?1)?E?X(t)X(t??)X(t??1)X(t????1)? (6.17)
????证明 对于固定的?，记Y(t)?X(t)X(t??)，则Y(t)为均方连续的平稳过程，且
?mY?EY(t)?E??X(t)X(t??)??RX(?)
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第六章《平稳随机过程》
因此，RX(?)的各态历经性相当于EY(t)的各态历经性，由于
?X(t)X(t??)X(t??)X(t????)??C(?) ?RY(?1)?E?111??Y(t)Y(t??1)??E???由定理6.10得定理6.11成立.
定理6.12 对于均方连续平稳过程{X(t),0?t???}，等式
1l?i?mT??T以概率1成立的充要条件为
?T0X(t)dt?mX （6.18 ）
1 limT??2T|??|? （6.19 ） ?1)? 0?CX?(d???T?T??T若X(t)为实随机过程，则上式变为 lim1T????1??CX(?)d??0. T??T?0?T?定理6.13 对于均方连续平稳过程{X(t),0?t???}，等式
l?i?mT??1TX(t)X(t??)d??RX(?) （6.20） T?0以概率1成立的充要条件为
1T?|?1|?2?? 1?C(?)?|R(?)|d?1?0 （6.21）1X????T??T??TT??lim1T??1?2若X(t)为实随机过程，则上式变为 lim??1???C(?)?R(?)?1X??d?1?0. T??T0T?? 例6.7 （续例6.2）考虑例6.2中随机电报信号过程Y(t)均值的各态历经性.
||因为它是实平稳过程，且EY(t)?0,RY(?)?e?2??,因此
12T????2?|?|lim??1??0????e?d??0 T??T02T??由（6.13知，Y(t)是均值具有各态历经性的平稳过程.
例6.8 讨论随机过程X(t)?Y的各态历经性，其中Y是方差不为0的随机变量. 解 容易知道X(t)?Y是平稳过程，事实上，EX(t)?EY?mX（常数），
2（与t无关），但此过程不具有各态历经性，因为 RX(t,t??)?EY2?DY?mXX(t)?l?i?mT??12T?T?TYdt?Y
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第六章《平稳随机过程》
Y不是常数，不等于EX(t)，因此，X(t)?Y的均值不具有各态历经性.类似地可证相关函
数也不具有各态历经性.
实际应用中，要严格验证平稳过程是否满足各态历经性条件是比较困难的，但各态历经性定理的条件较宽，工程中所遇到的平稳过程大多数都能满足. 因此，通常的处理方法是：先假设平稳过程是各态历经过程，然后由此假定出发，对各种数据进行分析处理，在实践中考察是否会产生较大的偏差，如果偏差较大，便认为该平稳过程不具有各态历经性.
各态历经性定理的重要意义在于它从理论上给出了如下的结论：一个实平稳过程，如果它是各态历经的，则可用任意一个样本函数的时间平均代替平稳过程的统计平均，即
mX?l?i?mT??1T1Tx(t)dtR(?)?l?i?mx(t)x(t??)dt ；X??00T??TT若样本函数x(t)只在有限区间[0,T]上给出，则对于实平稳过程有下面的估计式
?X? mX?m?(?)?RX(?)?RX1T?T0x(t)dt (6.22) x(t)x(t??)dt. (6.23)
1T???T??0(6.23) 式取积分区间[0,T??]是因为x(t??)只对t???T为已知，即0?t?T??.
习 题 六
6.1 设X1,X2,?是独立同分布随机变量，证明：随机序列{Xn,n?1}是严平稳时间序列.
6.2 设随机过程X(t)?Ucost?Vsint,???t??，其中U与V相互独立，且都服从
N(0,1).
（1） X(t)是平稳过程吗？为什么？ （2） X(t)是严平稳过程吗？为什么？
6.3 设随机过程X(t)?Acos(?t??),???t??，其中，?为正常数，随机变量A与
aa???2exp{?2?},a?0?相互独立，且A的密度函数为f(a)??，?服从区间[0,2?]上的
其它??0,22均匀分布，求X(t)的均值函数与相关函数，并由此证明X(t)是平稳过程.
6.4设随机过程X(t)?sinUt,t?T，其中U服从区间[0,2?]上的均匀分布.
（1）如果T?{0,1,2,?}，试求X(t)的均值函数与相关函数，并由此证明X(t)是平
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第六章《平稳随机过程》
稳时间序列.
（2）如果T?[0,??]，试求X(t)的均值函数，并由此证明X(t)不是平稳过程. 6.5 在习题6.2中，试求?X(t)?与?X(t)X(t??)?，并由此证明平稳过程X(t)的均值具有各态历经性，但相关函数不具有各态历经性.
6.6在习题6.3中，试求?X(t)?与?X(t)X(t??)?，并由此证明平稳过程X(t)的均值具有各态历经性，但相关函数不具有各态历经性.
6.7 证明相位周期过程X(t)??(t??)是各态历经过程，其中，?是有界函数.[提示：利用高等数学中周期函数的积分性质计算?X(t)?与?X(t)X(t??)?.
6.8 设平稳过程{X(t),???t??}的均值具有各态历经性，记随机过程
Y(t)?X(t)?U，其中，U是与X(t)不相关的随机变量，且EU?c,DU?1.
（1） 试求Y(t)函数与协方差函数，并由此证明Y(t)是平稳过程； （2） Y(t)函数是否具有各态历经性？为什么？
6.9 设有随机过程X(t)和Y(t)都不是平稳过程，且X(t)?A(t)cost,Y(t)?B(t)sint，其中A(t)和B(t)是均值为0的相互独立的平稳过程，它们有相同的相关函数，求证：
Z(t)?X(t)?Y(t)是平稳过程.
6.10 设X1(t)，X2(t)，Y1(t)，Y2(t)都是均值为0的实随机过程，定义复随机过程
Z1(t)?X1(t)?iY1(t)，Z2(t)?X2(t)?iY2(t)
求在下列情况下Z1(t)和Z2(t)的互相关函数.
（1） 所有实随机过程是相关的； （2） 所有实随机过程互不相关.
6.11 设X(t)是具有相关函数为RX(?)的平稳过程，令Y?实数，证明：E|Y|?2?a?TaX(t)dt，其中T?0,a为
?T?T(T?|?|)RX(?)d?.
2
6.12 设有随机过程X(t)?Asin(?t)?Bcos(?t)，其中A,B是均值为0，方差为?的相互独立的正态随机变量.问：
（1）X(t)的均值是否具有各态历经性？
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（2）X(t)的均方值是否具有各态历经性？
（3）若A??2?sin?,B?2?cos?, ?是(0,2?)上均匀分布的随机变量，此时
E[X(t)]2是否具有各态历经性？
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