第六章《平稳随机过程》
上式必须与t无关，取??0，有|f(t)|2?c2（常数） 因此，f(t)?cei?(t)，其中?(t)为实函数，于是 f(t)f(t??)?c2exp{i[?(t)??(t??)]} 上式应与t无关，因此
d[?(t)??(t??)]?0 dt即
d?(t)d?(t??)?对一切?成立，于是 dtdt?(t)??t??.
故 f(t)?cei(?t??).
例6.3显示了相关函数在平稳过程中的重要性，平稳过程的统计特性往往通过相关函数来表现.
例6.4 （随机相位过程）给定随机相位过程X(t)??(???)，其中?(t)时周期为l的函数，?是服从(0,l)上均匀分布的随机变量，讨论其平稳性.
l11t?l1l??(t??)?d???(s)ds??(s)ds 解 mX(t)?EX(t)?E?(t??)???0t0lll与t无关；
l1?(t??)?(t????)?d ??)?E(?t??)(??t????0l1l?t1l ???(s)?(s??)ds???(s)?(s??)ds
lll0与t无关. 因此，随机相位周期过程是平稳过程.
RX(t,t??)?EX(t)X(??t 下面我们来讨论联合平稳过程及相关函数的性质.
定义6.10 设{X(t),t?T}和{Y(t),t?T}是两个平稳随机过程，若它们的相关函数
???E??X(t)Y(t??)?及E?Y(t)X(t??)?仅与?有关，而与t无关，则称X(t)和Y(t)是联合
平稳随机过程. 由定义有
?RXY(t,t??)?E??X(t)Y(t??)??RXY(?) ?RYX(t,t??)?E??Y(t)X(t??)??RYX(?)
当两个平稳过程X(t)和Y(t)是联合平稳随机过程时，则它们的和W(t)是平稳过程，此时有
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第六章《平稳随机过程》
?E??W(t)W(t??)??RX(?)?RY(?)?RXY(?)?RYX(?)?RW(?)
定理6.9 (相关函数的性质) 设{X(t),t?T}是平稳过程，则其相关函数RX(?)具有下列性质：
（1）RX(0)?0； （2）RX(?)?RX(??)； （3）|RX(?)|?RX(0)；
（4）（非负定性）对于任意实数t1,t2,???,tn及复数?1,?2,???,?n，有
i,j?1?RnX(ti,tj)?i?j?0
（5）若X(t)是周期为T的周期函数，即X(t)?X(t?T)，则 RX(?)?RX(??T)
（6）若X(t)是不含周期分量的非周期过程，当|?|??时，X(t)与X(t??)相互独立，则limRX(?)?mXmX
|?|??证明 由平稳过程相关函数的定义，得
（1）RX(0)?E?X(t)X(t)??E|X(t)|?0；
??2（2）RX(?)?E?X(t)X(t??)??E?X(t??)X(t)??RX(??)； ??????对于实平稳过程，由于RX(?)为实数，因此，RX(??)?RX(?)，即实平稳过程的相关函数为偶函数.
（3）由Schwartz不等式有
???EX(t)X(t??)??E|X(t)|2EX(t??) E?X(t)X(t??)????即 |RX(?)|?[RX(0)]，因此|RX(?)|?RX(0)；
（4） 显然；
22222???（5） RX(??T)?E??X(t)X(t???T)??E?X(t)X(t??)??RX(?)；
（6） limRX(?)?limE?X(t)X(t??)??limEX(t)EX(t??)]?mXmX.
|?|??|?|????|?|??类似地，联合平稳过程X(t)和Y(t)的互相关函数具有下列性质：
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第六章《平稳随机过程》
（1）|RXY(?)|2?RX(0)RY(0), |RYX(?)|2?RX(0)RY(0)； （2）RXY(??)?RYX(?). 证明 （1）由Schwartz不等式，
|RXY(?)|2?|E[X(t)Y(t??)]|2?[E|X(t)Y(t??)|]2
?E|X(t)|2E|Y(t??)|2?RX(0)RY(0)；
（2）RXY(??)?E[X(t??)Y(t)]?E[Y(t)X(t??)]?RYX(?).
当X(t)和Y(t)是实联合平稳过程时，（2）式变成RXY(??)?RYX(?).，这表明RXY(?)与RYX(?)在一般情况下是不相等的，且它们不是?的偶函数.
例6.5 设X(t)?Asin(?t??), Y(t)?Bsin(?t????)是两个平稳过程，其中
A,B,?为常数，?在(0,2?)上服从均匀分布，求RXY(?)和RYX(?).
解 RXY(?)?E[Xt(Y)t?(??)E[Asin?(t??B)s?int(???????
1d? 2????2?0ABsin(?t??)sin(?t???????)AB2?sin(?t??)[sin(?t??)cos(????) ?cos(?t??)sin(????)]d? ?02?1?ABcos(????). 2同理可得
RYX(?)?
1ABcos(????). 26.3 平稳过程的各态历经性
平稳随机过程的统计特征完全由前二阶矩函数确定，为了研究平稳过程的相关理论，必
须先明确均值函数与相关函数.但在实际应用中，随机过程的均值函数与相关函数一般是未知的，需要先通过大量的观察试验获得样本函数，然后用数理统计的点估计理论作出估计，其要求是很高的.为了提高估计的精度，需要做出多次试验，以获得许多样本函数.限于人力和财力，更限于试验周期等原因，这是不现实的.然而，对于平稳过程，它的均值函数是常数，相关函数只与时间间隔有关，它们都与起始时刻无关，也就是说，平稳过程的统计特性不随时间推移而改变，这就提供了一个是否在较宽的条件下，用样本函数估计平稳过程均值与相关函数的方法，它需要平稳过程具有各态历经性，即遍历性.
各态历经性的理论依据是大数定律.大数定律表明：随时间n的无限增大，随机过程的样本函数按时间平均以越来越大的概率近似于过程的统计平均.也就是说，时间平均与状态平均殊途同归，它的直观含义是：只要观测的时间足够长，随机过程的每一个样本函数都能
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第六章《平稳随机过程》
够“遍历”各个可能状态.
定义6.11 设{X(t),???t??}为均方连续的平稳过程，称
X(t)?l?i?mT??12T?T?TX(t)dt （6.4）
T为该过程的时间均值；称
1X(t)X(t??)?l?i?mT??2T为时间相关函数.
??TX(t)X(t??)dt （6.5）
定义6.12 设{X(t),???t??}为均方连续的平稳过程，若?X(t)??EX(t),a.s.即
l?i?mT??12T?T?TX(t)dt?mX （6.6）
以概率为1成立，则称该平稳过程的均值具有各态历经性.
若X(t)X(t??)?E?X(t)X(t??)?，即
??l?i?mT??12T?T?TX(t)X(t??)dt?RX(?) （6.7）
则称该平稳过程的相关函数具有各态历经性.
如果均方连续平稳过程的均值和相关函数都具有各态历经性，则称该平稳过程具有各态历经性或遍历性（ergodicity），或称X(t)是各态历经过程（ergodic process）.
由上面的讨论知，如果X(t)是各态历经过程，则X(t)和X(t)X(t??)不再依赖
??，而是以概率为1分别等于EX(t)和E??X(t)X(t??)?，这一方面表明各态历经过程各
样本函数的时间平均实际上可以认为是相同的，于是，对随机过程的时间平均也可以用样本函数的时间平均来表示，且可以用任一个样本函数的时间平均代替随机过程的统计平均；另一方面也表明EX(t)和E?X(t)X(t??)?必定与时间t无关，即各态历经过程必定是平稳过
??程.但是平稳过程只有在一定的条件下才是各态历经过程.
例6.6 随机相位正弦波X(t)?acos(?t??),???t??具有各态历经性，其中?是
(0,2?)上均匀分布的随机变量.
a2cos??，于是X(t)的时间平均为 容易求得mX?0,RX(?)?21Tacos(?t??)dt
T??2T??TaT?m?stc?o?s?stin??sdi nt ?l?i?coT??2T??TTaacos?si?nT?mco?s?c?otdst?l?i?m? 0 ?l?i?TT??2TT???TX(t)?l?i?m
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第六章《平稳随机过程》
X(t)的时间相关函数为
X(t)X(t??)?l?i?mT??12T?T?Ta2cos(?t??)cos(?(t??)??)dt
a2?l?i?mT??4Ta2??T??cos(2?t????2?)?cos???dt?2cos??
T上述结果表明：随机相位正弦波X(t)的均值与相关函数都具有各态历经性，从而X(t)具有各态历经性.
下面我们讨论平稳过程具有遍历性的条件.
定理6.10 设{X(t),???t??}为均方连续的平稳过程，则它的均值具有各态历经性的充要条件是
1T??2Tlim?|?|?2??1?R(?)?|m|d??0 (6.8) XX????2T???2T?2T 证明 因X(t)是随机变量，先求它的期望与方差
1?EX(t)?E?l?i?m?T??2T1??lim X(t)dt??T?T??2T?T?T?TE[X(t)]dt?mX
因此，随机变量X(t)的均值函数为常数EX(t)?mX，由方差的性质，若能证明
DX(t)?0，则X(t)依概率为1等于EX(t).因此，要证明X(t)的均值具有各态历经
性等价于证明D?X(t)??0，由于
D?X(t)??E|?X(t)?|2?|mX|2 (6.9)
1而 E|X(t)|2?El?i?mT??2T?1?limE?2T???4T1T??4T21?lim2T??4T?limT?TT?T2?TX(t)dt
T? X(t)dtX(t)dt??T22??T11??TT?????T?TT?E??X(t2)X(t1)?dt1dt2 RX(t2?t1)dt1dt2
?(t1,t2)1?
?(?1,?2)2?T作变换?1?t1?t2,?2?t2?t1，变换的雅可比式为于是
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