第六章《平稳随机过程》
Sn??f(ti?)X(ti?)(ti?ti?1)
i?1n其中ti?1?ti??ti(i?1,2,?,n).
定义6.7 如果当?n?0时，Sn均方收敛于S，即
?n?0limE|Sn?S|2?0
则称f(t)X(t)在区间[a,b]上均方可积（integral in mean square ），并记
S??f(t)X(t)dt? l?i?m?f(ti?)X(ti?)(ti?ti?1) (6.2)
a?n?0i?1bn称(6.2)式为f(t)X(t)在区间[a,b]上的(Riemann)均方积分. 需要说明的是：均方积分
b?baf(t)X(t)dt是一个随机变量，而不是一个随机过程.，当
nf(t)?1时，?X(t)dt? l?i?m?X(ti?)(ti?ti?1)
a?n?0i?1定理6.6（均方可积准则）f(t)X(t)在区间[a,b]上均方可积的充要条件是
??abbaf(t1)f(t2)RX(t1,t2)dt1dt2
存在，特别地，二阶矩过程X(t)区间[a,b]上均方可积的充要条件是RX(t1,t2)在
[a,b]?[a,b]上可积.
定理6.7 （数学期望与积分交换次序）f(t)X(t)在区间[a,b]上均方可积，则有
bbbb????（1）E?f(t)X(t)dt??f(t)E[X(t)]dt，特别地E?X(t)dt??E[X(t)]dt； ?????a?a?a?a（2）E?bbb?b??f(t1)f(t2)RX(t1,t2)dt1dt2 f(t)X(t)dtf(t)X(t)dt111?a222???aa?a??2特别地，E?baX(t)dt??ba?baRX(t1,t2)dt1dt2.
证明 由定理6.2之（5），有
E?ban??f(t)X(t)dt?E?l?i?m?f(ti?)X(ti?)(ti?ti?1)?
??n?0i?1? 6
第六章《平稳随机过程》
?n? ?limE??f(ti?)X(ti?)(ti?ti?1)?
?n?0?i?1? ?lim类似地，可证明（2）式.
均方积分有类似于普通函数积分的许多性质，如X(t)均方连续，则它均方可积；均方积分唯一性；对于a?c?b，有
?n?0?f(ti?)E?X(ti?)(ti?ti?1)???f(t)E[X(t)]dt
i?1nba?baf(t)X(t)d?t?caf(t)X(t)?d?tbc(f)tX(；)t若dtX(t),Y(t在区间)[a,b]上均方连续，则
?[?X(t)??Y(t)]dt???abbaX(t)dt???Y(t)dt
ab其中?,?为常数，等等.
定理6.8 二阶矩过程{X(t),t?T}在区间[a,b]上均方连续，则
Y(t)??X(?)d?, (a?t?b)
at在均方意义下存在，且随机过程{Y(t),t?T}在[a,b]上均方可微，且有Y?(t)?X(t). 推论 设X(t)均方可微，且X?(t)均方连续，则
X(t)?X(a)??X?(t)dt （6 .3）
at特别地，X(b)?X(a)??baX?(t)dt
上式相当于普通积分中的Newton?Leibniz公式.
最后，对本节的内容作一些说明.
（1）均方积分可以把区间[a,b]推广到无穷区间上，得到广义均方积分；
（2） 均方连续、均方导数、均方可积对复随机过程依然适应，但要把前面的绝对值理解为复数的模；
（3）均方连续、均方可导、均方可积都取决于相关函数的性质；
（4）在计算均方导数与均方积分时，可以把随机过程当成普通函数来处理； （5）均方导数是随机过程，均方极限与均方积分都是随机变量.
6.2 平稳过程及其相关函数
平稳过程作为特殊的二阶矩过程在工程技术中有着广泛的应用.
定义6.8 设{X(t),t?T}是随机过程，如果对任意常数?和正整数n，t1,t2,?,tn?T，
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第六章《平稳随机过程》
t1??,t2??,?,tn???T，
?X(t1),X(t2),?,X(tn)?与?X(t1??),X(t2??),?,X(tn??)?
有相同的联合分布，则称{X(t),t?T}为严平稳过程，也称狭义平稳过程.
定义6.9 设{X(t),t?T}是随机过程，如果 （1）{X(t),t?T}是二阶矩过程； （2）对任意t?T,mX(t)?EX(t)?常数；
（3）对任意s,t?T,RX(s,t)?E[X(s)X(t)]?RX(s?t)，则称{X(t),t?T}为广义平稳过程，也称平稳过程（stationary process）.
若T为离散集，则称平稳过程{X(t),t?T}为平稳序列（stationary sequence）. 比较两种定义：广义平稳过程对时间推移的不变性是表现在统计平均的一阶矩、二阶矩上，而严平稳过程对时间推移的不变性是表现在概率分布上. 两者的要求是不一样的，一般来说，严平稳过程要求的条件比广义平稳过程要求的条件要严格得多. 显然，广义平稳过程不一定是严平稳过程；反之，严平稳过程只有当二阶矩存在时为广义平稳过程. 值得注意的是对于正态过程来说，二者是一样的.
例6.1 设随机过程X(t)?Ycos(?t)?Zsin(?t),t?0.
其中，Y,Z是相互独立的随机变量，且EY?EZ?0,DY?DZ??，则
2EX(t)?EYcos(?t)?EZsin(?t)?0
RX(s,t)?E[X(s)X(t)]?E[Ycos(?s)?Zsin(?s)][Ycos(?t)?Zsin(?t)]
=cos(?s)cos(?t)EY?sin(?s)sin(?t)EZ ??cos[(t?s)?] 因此，{X(t),t?0}为广义平稳过程.
例6.2 （随机电报信号过程）设随机过程{N(t),t?0}是具有参数为?的Poisson过程，随机过程{X(t),t?0}定义为：若随机点在[0,t]内出现偶数次，则X(t)?1；若出现奇数次，则X(t)??1.（1）讨论随机过程X(t)的平稳性；（2）设随机过程V具有概率分布
222P{V?1}?P{V??1}?12
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第六章《平稳随机过程》
且V与X(t)独立，令Y(t)?VX(t)，试讨论随机过程Y(t)的平稳性.
解 （1）由于随机点N(t)是具有参数为?的Poisson过程，因此，在[0,t]内随机点出
现k次的概率 Pk(t)?e??t(?t)k,k?0,1,2,? k!因此 P{X(t)?1}?P0(t)?P2(t)?P4(t)????
(?t)2(?t)4?e[1??????]?e??tch(?t)
2!4!??tP{X(t)??1}?P1(t)?P3(t)?P5(t)????
(?t)3(?t)5?????]?e??tsh(?t) ?e[?t?3!5!??t于是 mX(t)?EX(t)?1?e??tch(?t)?1?e??tsh(?t)
?e??t[ch(?t)?sh(?t)]?e??t?e??t?e?2?t.
为了求X(t)的相关函数，先求X(t1),X(t2)的联合分布
P{X(t1)?x1,X(t2)?x2}?P{X(t2)?x2|X(t1)?x1}P{X(t1)?x1}
其中xi??1或1(i?1,2).
设t2?t1，令??t2?t1，因为事件{X(t1)?1,X(t2)?1}等价于事件{X(t1)?1,且在
(t1,t2]内随机点出现偶数次}.由假设知，在X(t1)?1的条件下，在区间(t1,t2]内随机点出现
偶数次的概率与在区间(0,?]内随机出现偶数次的概率相等，故
P{X(t2)?1|X(t1)?1}?e???ch(??)
由于 P{X(t1)?1}?e??t1ch(?t1)
??t1所以 P{X(t1)?1,X(t2)?1}?ech(?t1)e???ch(??). sh(?t1)e???ch(??)；
类似可得 P{X(t1)??1,X(t2)??1}?e??t1P{X(t1)??1,X(t2)?1}?e??t1sh(?t1)e???sh(??)； P{X(t1)?1,X(t2)??1}?e??t1ch(?t1)e???sh(??)
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第六章《平稳随机过程》
因此 RX(t )]?E[X((t1,t2)1t)X2?1?1?e??t1ch(?t1)e???ch(??)+(?1)?(?1)?e??t1sh(?t1)e???ch(??) ?(?1)?1?e??t1sh(?t1)e???sh(??)?1?(?1)?e??t1ch(?t1)e???sh(??) ?e??(t1??)[ch?(??t1)?sh?(??t1)]
?e??(t1??)e??(??t1)?e?2???e?2?(t2?t1).
当t2?t1，同理可得
RX(t1,t2)?e2?(t2?t1)?e2??
因此，对于任意t1,t2，有 RX(t1,t2)?e?2?|t2?t1||| ?e?2?? 由于mX(t)?e?2?t与时间t有关，故X(t)不是平稳随机过程，值得注意的是非平稳过程相关函数也可以与时间起点无关.
（2）由于EV?0,EV2?1，由V与X(t)独立知
EY(t)?EVEX(t)?0
||RY(t,t??)?EV2E[X(t)X(t??)]?e?2???RY(?)
所以，Y(t)是平稳过程.
例6.3 设X(t)?Xf(t)为复随机过程，其中X是均值为0的实随机变量，f(t)是确定函数. 证明X(t)是平稳过程的充要条件是f(t)?cei(?t??).其中i??1,c,?,?为常数.
证明 充分性：若f(t)?cei(?t??)，记DX??，因此
2mX(t)?EX(t)?E[Xf(t)]?0
RX(t,t??)?E[X(t)X(t??)]?EX2c2ei(?t??)e?i[?(t??)??]?c2?2ei??
所以，X(t)是平稳过程.
必要性：若X(t)是平稳过程，则
RX(t,t??)?E[X(t)X(t??)]?EX2f(t)f(t??)
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