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2018年可锐考研数学真题练习卷（二）
一、选择题(1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中， 只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．) ．．．
(1) 已知当x?0时，f(x)?3sinx?sin3x与cxk是等价无穷小，则( ) (A) k?1,c?4. (B) k?1,c??4. (C) k?3,c?4. (D) k?3,c??4.
2．已知y?f?x?是由方程cos?xy??lny?x?1确定，则limn??f???1???（ ）
n????2???n???（A）2 （B）1 （C）-1 （D）-2 (3) 设?un?是数列，则下列命题正确的是( ) (A) 若
?un?1??n收敛，则
?(un?1??2n?1?u2n)收敛. (B) 若?(u2n?1?u2n)收敛，则?un收敛.
n?1?n?1???(C) 若
?un?1n收敛，则
?(un?12n?1?u2n)收敛. (D) 若?(u2n?1?u2n)收敛，则?un收敛.
n?1n?11?,1?x?e??1????(x?1)４．设函数f(x)??，且反常积分?f?x?dx收敛，则（ ）
?1,x?e??1??xlnx（A）???2 （B）a?2 （C）?2?a?0 （D）0???2
(5) 设A为3阶矩阵，将A的第2列加到第1列得矩阵B，再交换B的第2行与第3行得
?100??100??????110P?001单位矩阵，记P，12????，则A?( ) ?001??010??????1?1(A) PP． (B) ． (C) ． (D) PPPPPP12211221．
226．设Dk是圆域D?(x,y)|x?y?1的第k象限的部分，记Ik?????(y?x)dxdy，则（ ）
Dk（A）I1?0 （B）I2?0 （C）I3?0 （D）I4?0
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(7) 设F1(x)，F2(x)为两个分布函数，其相应的概率密度f1(x)，f2(x)是连续函数，则必为概率密度的是( )
(A) f1(x)f2(x)． (B) 2f2(x)F1(x)．
(C) f1(x)F2(x)． (D) f1(x)F2(x)?f2(x)F1(x)．
?1a1??200?????8．矩阵?aba?与矩阵?0b0?相似的充分必要条件是
?1a1??000?????（A）a?0,b?2 （B）a?0，b为任意常数 （C）a?2,b?0 （D）a?2，b为任意常数
二、填空题(9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上．) ．．．(9) 设f?x??limx?1?3t?，则f??x??.
t?0xt10．设函数f(x)??x?11?etdt，则y?f(x)的反函数x?f?1(y)在y?0处的导数
dx|y?0?． dy(11) 曲线tan?x?y?????y??e在点?0,0?处的切线方程为. 4???x?arctant12．曲线上?对应于t?1处的法线方程为．
2??y?ln1?t(13) 设二次型f?x,x12,x3??xTAx的秩为1，A的各行元素之和为3，则f在正交变换
x?Qy下的标准形为．
14．设A?aij是三阶非零矩阵，A为其行列式，Aij为元素aij的代数余子式，且满足
??Aij?aij?0(i,j?1,2,3)，则A=．
三、解答题(15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说．．．明、证明过程或演算步骤．)
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(15) (本题满分10分) 求极限limx?01?2sinx?x?1．
xln?1?x?316．（本题满分10分） 设D是由曲线y?x，直线x?a(a?0)及x轴所转成的平面图形，Vx,Vy分别是D绕x轴和
y轴旋转一周所形成的立体的体积，若10Vx?Vy，求a的值．
(17) (本题满分10分) 求
arcsinx?lnxdx. ?x4??3?0恰有2实根. 3(18) (本题满分10分) 证明4arctanx?x?(19) (本题满分10分)
设函数f(x)在?0,1?有连续导数，f(0)，且?1??f?(x?y)dxdy???fDtDt, t(dxdy)Dt??(x,y)0?y?t?x,0?x?t?(0?t?1)，求f(x)的表达式.
20．（本题满分11） 设函数f(x)?lnx?1 x⑴求f(x)的最小值； ⑵设数列?xn?满足lnxn?1xn?1?1，证明极限limxn存在，并求此极限．
n??(21) (本题满分11分)
?11???11?????A为三阶实对称矩阵，A的秩为2，即r?A??2，且A?00???00?．
??11??11?????(I) 求A的特征值与特征向量；
(II) 求矩阵A．
(22) (本题满分11分)
设随机变量X与Y的概率分布分别为
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0 X 1 P 1/3 2/3
1 Y ?1 0 P 1/3 1/3 1/3 22且PX?Y?1．
??(Ｉ)求二维随机变量(X,Y)的概率分布； (II)求Z?XY的概率分布； (III)求X与Y的相关系数?XY．
23（本题满分11分）
?a1??b1?????22设二次型f(x1,x2,x3)?2(a1x1?a2x2?a3x3)?(b1x1?b2x2?b3x3)．记???a2?,???b2?．
?a??b??3??3?（1）证明二次型f对应的矩阵为 2??T???T；
22（2）若?,?正交且为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为 2y1． ?y2 答案：
一、选择题(1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．) ．．．
(1)【答案】(C)． 【解析】因为lim3sinx?sin3x3sinx?sinxcos2x?cosxsin2x?lim kkx?0x?0cxcx?limx?0sinx?3?cos2x?2cos2x?cxk3??2cos2x?1??2cos2xcxk?14?1．
x?0cxk?33?cos2x?2cos2x?lim x?0cxk?14?4cos2x4sin2x?lim?lim k?1k?1x?0x?0cxcx
?limx?0?lim
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所以c?4,k?3，故答案选(C).
2. 【分析】本题考查的隐函数的求导法则信函数在一点导数的定义．
【详解】将x?0代入方程得y?f(0)?1，在方程两边求导，得?sin(xy)(y?xy')?y'?1?0，y代入x?0,y?1，知y'(0)?f'(0)?1．
2f()?f(0)??2??． limn?f???1??2limn?2f'(0)?2，故应该选（A）??n??n??2n????n(3)【答案】(A).
【解析】方法1：数项级数的性质：收敛级数任意添加括号后仍收敛，故(A)正确. 方法2：排除法，举反例． 选项(B)取un?(?1)，这时(B)错误；
????(?1)n?1(?1)n?11选项(C)取un?，这时?un??收敛，但?(u2n?1?u2n)??发散，故
nnn?1n?1nn?1n?1n?(un?1?2n?1?u2n)??0收敛，但?un??(?1)n发散，故选项
n?1n?1n?1???选项(C)错误；
选项(D)取un?1，这时正确答案为(A). 4.【详解】
?(un?1?2n?1但?un??1发散，故选项(D)错误．故?u2n)??0收敛，
n?1n?1n?1??????1f(x)dx??e1??dx1?dx，
(x?1)??1?exln??1x其中
?e1e?1dtdx当且仅当??1?1时才收敛； ???1??1?0(x?1)t??e而第二个反常积分
?11????11dx??lnx|??，当且仅当a?0才收敛． 1??limln?xxln??1xx???从而仅当0???2时，反常积分???． f?x?dx才收敛，故应选（Ｄ）
(5)【答案】 (D)．
【解析】由于将A的第2列加到第1列得矩阵B，故