可锐教育官网?http://www.kaoyan1v1.com
?100???A?110??B， ?001???即APB，A?BP?11?1．
由于交换B的第2行和第3行得单位矩阵，故
??100??001???B?E， ?010??即PB?E,故B?P?1?122?P2．因此，A?P2P1，故选(D)．
6. 【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知
I???(y?x)dxdy??k?211k2?k?d?D(k?1)?0(sin??cos?)rdr??k2?1(sin??sin?)d?k232?k??1?sin??cos??2?3|k?12?所以I1?I3?0,I2?23?,I24??3?，应该选（B）． (7)【答案】(D)．
【解析】选项(D)
???????f1(x)F2(x)?f2(x)F1(x)????dx??????F2(x)dF1(x)?F1(x)dF2(x)??
??????d??F1(x)F2(x)???F??1(x)F2(x)|???1． 所以f1F2(x)?f2F1(x)为概率密度.
?8. 【详解】注意矩阵?200??0b0???是对角矩阵，所以矩阵A=?1a1??aba???2??与矩阵?0?000????1a1????0的充分必要条件是两个矩阵的特征值对应相等．
??1?a?1?E?A??a??b?a???(?2?(b?2)??2b?2a2)
?1?a??1从而可知2b?2a2?2b，即a?0，b为任意常数，故选择（B）．
00?b0??相似
00??
可锐教育官网?http://www.kaoyan1v1.com
二、填空题(9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上．) ．．．(9)【答案】e3x?1?3x?.
xt【解析】因为f?x??limx?1?3t??xlim??1?3t??t?0t?03x所以，f??x??e?1?3x?.
??13t??3t?xt?x?e3x，
10. 【详解】由反函数的求导法则可知
dx11|y?0??
?1dydy1?e|x??1dx(11)【答案】y??2x.
【解析】方程tan?x?y?????y??e的两端对x求导，有 4????sec2?x?y????1?y???eyy?，
4??将x?0,y?0代入上式，有
1cos2??1?y???y?，解得y??0,0???2，
4故切线方程为：y??2x.
t2?11?t12. 【详解】当t?1时，x?,y?ln2，y'|t?1?|t?1?1，所以法线方程为 1421?t21?1?y?ln2??1(x?)，也就是y?x?ln2??0．
2424图２
(13)【答案】3y12．
?1??1?????【解析】因为A的各行元素之和为3，所以A?1??3?1?，故3为矩阵A的特征值．
?1??1?????
可锐教育官网?http://www.kaoyan1v1.com
由r(A)?1知矩阵A有两个特征值为零，从而?1?3,?2??3?0．
由于二次型在正交变换下标准形前面的系数即为二次型所对应矩阵的特征值，所以二次型在正交变换下的标准形为3y12．
14. 【详解】由条件Aij?aij?0(i,j?1,2,3)可知A?A*?0，其中A*为A的伴随矩阵，从而可知
TA*?A*?AT3?1??A，所以A可能为?1或0．
?n,r(A)?n?*T但由结论r(A)??1,r(A)?n?1可知，A?A*?0可知r(A)?r(A*),伴随矩阵的秩只能为
?0,r(A)?n?1?3，所以A??1.
三、解答题(15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说．．．明、证明过程或演算步骤．) (15) (本题满分10分)
【解析】limx?01?2sinx?x?11?2sinx?x?1 ?lim2x?0xln?1?x?x1?2cosx?1?lim21?2sinx x?02x?limcosx?1?2sinx x?02x1?2sinxcosx?1?2sinxx?02xcosx?sinx?1?2sinx?limx?0 2cosx??limx?021?2sinx1??.2?lim16. 【详解】由微元法可知
可锐教育官网?http://www.kaoyan1v1.com
235Vx???y2dx???0aaa03xdx?a3?；
5a0Vy?2??xf(x)dx?2??06xdx?a3?；
7437由条件10Vx?Vy，知a?77．
(17) (本题满分10分) 【解析】令t?x，则x?t2,dx?2tdt，所以
arcsint?lnt2arcsinx?lnx?2tdt?2??arcsint?lnt2?dt dx???tx?2t?arcsint?2?t1?t2dt?2t?lnt2?2?t?2tdt 2t?2t?arcsint??d(1?t2)1?t2?2t?lnt2?4t
?2t?arcsint?21?t2?2t?lnt2?4t?C ?2xarcsinx?2xlnx?21?x?4x?C.
(18) (本题满分10分)
【解析】设f(x)?4arctanx?x?4??3， 3则 f?(x)?4(3?x)(3?x)， ?1?1?x21?x2令f?(x)?0，解得驻点x1?3,x2??3. 所以，当x??3时，f?(x)?0，故f(x)单调递减；当?3?x?3时，f?(x)?0，故f(x)单调递增；当x?3时，f?(x)?0，故f(x)单调递减.
又当x?(??,?3)?(?3,3)时f(x)?0，且f(?3)?0，故x?(??,3)时只有一个零点；
可锐教育官网?http://www.kaoyan1v1.com
又f(3)?8?4????23?0，limf?x??lim?4arctanx?x??3?????0，由零
x???x???33??点定理可知，存在x0??3,??，使f?x0??0；
4??3?0恰有两实根. 3?所以，方程4arctanx?x?(19) (本题满分10分) 【解析】
??Dt1f(t)dxdy?t2f(t)，
2tt?x??f?(x?y)dxdy??dx?Dt0t00f?(x?y)dy
??(f(t)?f(x))dx?tf(t)??f(x)dx0t由题设有 tf(t)??t0f(x)dx?12tf(t)， 2上式两端求导，整理得
(2?t)f?(t)?2f(t)，
为变量可分离微分方程，解得f(t)?C， 2(t?2)4,0?x?1.
(x?2)2带入f(0)?1，得C?4. 所以，f(x)?20. 【详解】 （1）f'(x)?11x?1?2?2， xxx令f'(x)?0，得唯驻点x?1，
当x?(0,1)时，f'(x)?0，函数单调递减；当x?(1,?)时，f'(x)?0，函数单调递增． 所以函数在x?1处取得最小值f(1)?1． （2）证明：由于lnxn?1xn?1?1，但lnxn?111，故数列?xn?单调递增． ?1，所以?xnxn?1xn