可锐教育官网?http://www.kaoyan1v1.com
又由于lnxn?lnxn?1xn?1?1，得到0?xn?e，数列?xn?有界．
由单调有界收敛定理可知极限limxn存在．
n??令limxn?a，则lim??lnxn?n????n??1?1??lna??1，由（1）的结论可知limxn?a?1． ?n??xn?1?a
(21) (本题满分11分)
?11???11?TT????【解析】(I)由于A?00???00?，设?1??1,0,?1?,?2??1,0,1?，则
??11??11?????A??1,?2?????1,?2?，即A?1???1,A?2??2，而?1?0,?2?0，知A的特征值为
?1??1,?2?1，对应的特征向量分别为k1?1?k1?0?，k2?2?k2?0?．
由于r?A??2，故A?0，所以?3?0．
由于A是三阶实对称矩阵，故不同特征值对应的特征向量相互正交，设?3?0对应的特征向量为?3??x1,x2,x3?，则
T??1T?3?0,?x1?x3?0,即? ?T??2?3?0,?x1?x3?0．解此方程组，得?3??0,1,0?，故?3?0对应的特征向量为k3?3?k3?0?．
(II) 由于不同特征值对应的特征向量已经正交，只需单位化：
T?1???1?11TTT??1,0,?1?,?2?2??1,0,1?,?3?3??0,1,0?． ?1?2?322??1???T1令Q???1,?2,?3?，则QAQ?????， ?0???A?Q?QT
可锐教育官网?http://www.kaoyan1v1.com
?2??2??0???2??222022???0???1??????1??1??????0???0?????????0????0????0???????222200?01222202?0??2?2?0?
2?10?????2???2??0??2??2(22) (本题满分11分)
220222??2??001??2?????000?． 2??100???0????22【解析】(I)因为PX?Y?1，所以PX???2?Y2??1?P?X2?Y2??0．
即 P?X?0,Y??1??P?X?0,Y?1??P?X?1,Y?0??0． 利用边缘概率和联合概率的关系得到
1P?X?0,Y?0??P?X?0??P?X?0,Y??1??P?X?0,Y?1??；
31P?X?1,Y??1??P?Y??1??P?X?0,Y??1??；
31P?X?1,Y?1??P?Y?1??P?X?0,Y?1??．
3即?X,Y?的概率分布为
X Y -1 0 1/3 0 1/3 0 1 0 1/3 0 1 (II)Z的所有可能取值为?1,0,1．
1P?Z??1??P?X?1,Y??1??．
3
可锐教育官网?http://www.kaoyan1v1.com
P?Z?1??P?X?1,Y?1??1． 31P?Z?0??1?P?Z?1??P?Z??1??．
3Z?XY的概率分布为
Z P
-1 1/3 0 1/3 1 1/3 (III)因为?XY?其中
Cov?XY?D(X)D(Y)?E?XY??E?X??E?Y?D(X)D(Y)，
111111E?XY??E?Z???1??0??1??0，E?Y???1??0??1??0．
333333所以E?XY??E?X??E?Y??0，即X，Y的相关系数?XY?0．
23. 【详解】证明：（1）
f(x1,x2,x3)?2(a1x1?a2x2?a3x3)2?(b1x1?b2x2?b3x3)2?a1??x1??b1??x1??????????2?x1,x2,x3??a2??a1,a2,a3??x2???x1,x2,x3??b2??b1,b2,b3??x2??a??x??b??x??3??3??3??3??x1???T??x1,x2,x3?2???x2???x1,x2,x3???T?x??3???????x1????x2??x??3?
?x1?????x1,x2,x3?2??T???T?x2??x??3??TT所以二次型f对应的矩阵为 2?????．
证明（2）设A?2?????，由于??1,?TT则A??2???????2??TTT??0
??2???T??2?，所以?为矩阵对应特征值?1?2的特征向量；
2A??2??T???T??2??T????
????，所以?为矩阵对应特征值?2?1的特征向量；
可锐教育官网?http://www.kaoyan1v1.com
而矩阵A的秩r(A)?r(2??T???T)?r(2??T)?r(??T)?2，所以?3?0也是矩阵的一个特征值．
22故f在正交变换下的标准形为 2y1． ?y2