山东省冠县武训高级中学2014高二数学 3-4 第2课时 简单线性规划复习导学
案 新人教A版
知能目标解读
1.了解线性规划的意义，掌握目标函数的约束条件，二元线性规划、可行域、最优解等基本概念. 2.掌握用图解法求方程及解线性规划问题的一般方法及步骤.
重点难点点拨
重点：线性规划的有关概念理解及线性目标函数最值的求解方法.? 难点：线性目标函数最值（即最优解）求法.
学习方法指导
一、简单线性规划的几个概念
1.目标函数：我们把要求最大值或最小值的函数z=ax+by+c叫做目标函数.如果目标函数是关于变量的一次函数，则又称该目标函数为线性目标函数.?
2.约束条件：目标函数中的变量所满足的不等式组称为约束条件.如果约束条件是关于变量的一次不等式（组），又称线性约束条件.?
3.线性规划问题：在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题，称为线性规划问题，也称为二元线性规划问题.
4.可行解：线性规划问题中，满足线性约束条件的解（x,y）称为可行解.? 5.可行域:由所有可行解组成的集合称为可行域.?
6.最优解:可行域内使目标函数取最大值或最小值的解称为最优解,最优解一定在可行域里面,一般在边界处取得,最优解不一定只有一个,它可以有无数个.?
二、目标函数的最值问题?
在求目标函数z=ax+by+c的最值时,根据y的系数的正负,可分为以下两种情形求最值. 1.求目标函数z=ax+by+c,b>0的最值.?
在线性约束条件下,当b>0时,求目标函数z=ax+by+c的最小值或最大值的求解程序为: (1)作出可行域；
(2)作出直线l0：ax+by=0；
(3)确定l0的平移方向,若把l0向上平移,则对应的z值随之增大；若把l0向下平移,所对应的z值随之减小,依可行域判定取得最优解的点.?
(4)解相关方程组,求出最优解,从而得出目标函数的最大值或最小值.? 2.求目标函数z=ax+by+c,b<0的最值.?
在线性约束条件下,当b<0时,求目标函数z=ax+by+c的最小值或最大值的求解程序为: (1)作出可行域；? (2)作出直线l0:ax+by=0;?
(3)确定l0的平移方向:若把l0向上平移,所得相应z值随之减小；若把l0向下平移,所对应的z值随之增大,依可行域判定取得最优解的点.?
(4)解相关方程组,求出最优解,从而得出目标函数的最大值或最小值.? 注意：
确定最优解的方法:①将目标函数的直线平移,最先通过或最后通过的顶点便是最优解；②利用围成可
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行域的直线的斜率来判断,若围成可行域的直线l1,l2,…,ln的斜率分别为k1 知能自主梳理 对于变量x、y的约束条件，都是关于x、y的一次不等式，称为 大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫做 y)叫做 . ；满足线性约束条；使目标函数取得 .z=f(x,y)是欲达到的最 ，当f(x、y)是x,y的一次解析式时，z=f(x、 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，称为 件的解（x，y）叫做 ；由所有可行解组成的集合叫做 . 最大值或最小值的可行解叫做 ［答案］ 线性约束条件 目标函数 线性目标函数 线性规划问题 可行解 可行域最优解 思路方法技巧 命题方向 求线性目标函数的最值问题 x-4y≤-3 ［例1］ 设Z=2x+y，式中变量x，y满足条件 3x+5y≤25，求Z的最大值和最小值. x≥1 ［分析］ 由于所给约束条件及目标函数均为关于x，y的一次式，所以此问题是简单线性规划问题，使用图解法求解.? ［解析］ 作出不等式组表示的平面区域（即可行域），如图所示. 把Z=2x+y变形为y=-2x+Z，得到斜率为-2，在y轴上的截距为Z，随Z变化的一族平行直线. 由图可看出，当直线Z=2x+y经过可行域上的点A时，截距Z最大，经过点B时，截距Z最小. x-4y+3=0 解方程组 ，得A点坐标为（5，2）， 3x+5y-25=0 x=1 解方程组 ，得B点坐标为（1，1）， x-4y+3=0 所以Zmax=2×5+2=12，Zmin=2×1+1=3. ［说明］ 由本题的求解可以发现，解线性规划问题的关键是准确地作出可行域，准确地理解Z的几何意义，线性规划最优解一般是在可行域的边界处取得. 2 x+y≤6, 变式应用1 （2011·大纲文，4）若变量x、y满足约束条件 x-3y≤-2,?则z=2x+3y x≥1, 最小值为（ ） A.17 B.14 C.5 D.3 ［答案］ C ［解析］ 本题主要考查了简单的线性规划问题，线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域（即几条直线围成的区域）则区域端点的值是目标函数取得最大求出直线交点坐标代入目标函数，即可求出最小值，注意各之间的关系. x+y≤6，? 由 x-3y≤-2，作出可行域如图 x≥1. 作出l0:2x+3y=0，在可行域内平移l0，显然当l0过A点取最小值.? x-3y=-2 联立 得A(1,1) ? x=1 ∴z=2x+3y的最小值为2×1+3×1=5. 命题方向 利用线性规划问题求取值范围 ［例2］ 已知二次函数f(x)=ax2-c(a≠0)满足-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5，试求f(3)的取值范围.? ［分析］ 本题看似不是线性规划问题，但经过思考、提取信息可以看成一个简单的线 -4≤a-c≤-1 性规划问题求解.否则直接用不等式知识求解，容易出现由 求出a,c的范围， ? -1≤4a-c≤5 进而确定f(3)的范围而发生错误. ［解析］ ∵f(x)=ax2-c(a≠0),? f(1)=a-c ∴ ，又∵-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5, f(2)=4a-c -4≤a-c≤-1 ∴ ，作出其可行域如图所示. ?-1≤4a-c≤5 时z=2x+3y或最小值，直线的斜率 3 根据题意可得目标函数f(3)=9a-c,作直线l:9a-c=0,当直线l向下平移时，所对应的f(3)=9a -c的函数值随之增大，∴当直线l经过可行域的顶点B时，f(3)=9a-c取得最大值.解方程组 a-c=-4 ，得B(3,7), 4a-c=5 ∴f(3) max=9×3-7=20.当直线l向上平移时，所对应的f(3) =9a-c的函数值随之减小， a-c=-1 ∴当直线l经过可行域的顶点A时，f(3)=9a-c取得最小值.解方程组 ， 4a-c=-1 得A(0,1),∴f(3) min=9×0-1=-1, ∴f(3)的取值范围为［-1,20］. 变式应用2 (2012·抚州市统考)已知f(x)=4(a-3)x+b-2a,x∈［0,1］,若f(x)≤2恒成立，求t=a+b的最大值. f(0)=b-2a≤2 ［解析］ 函数f(x)类似一次函数，由此可得， ， f(1)=b+2a-12≤2 b≤2a+2 即 ， b≤-2a+14 作出可行域，如图中阴影部分所示，作直线l0:a+b=0,当直线l0向下平移时，所对应的t=a+b的值随之减小，当直线l0向上平移时，所对应的t=a+b的值随之增大.所以当直线经过可行域的顶点M时，t=a+b取得最大值，又M(3，8)，所以tmax=3+8=11,所以t=a+b的最大值是11. ? 探索延拓创新 命题方向 求非线性目标函数的最值问题 x-y+2≥0 ［例3］ 已知 x+y-4≥0 ，求： 4 2x-y-5≤0 （1）z=x2+y2-10y+25的最小值；? （2）z= 2y?1的范围.? x?1［分析］ （1）其中z=x2+y2-10y+25=(x-0) 2+(y-5) 2的几何意义为平面区域内的点（x,y）到（0，5）距 1y?(?)2y?12的几何意义为平面区域内的点（x,y）与（－1,-1）连线斜率的2离的平方；（2）z==2· x?(?1)x?12倍.关键将目标函数进行变形找到其几何意义，再利用数形结合知识求解. ［解析］ （1）作出可行域,如图. A(1,3),B(3,1),C(7,9).? (1)z=x2+(y-5) 2表示可行域内任一点（x,y）到点M（0，5）的距离的平方，过M作AC的垂线，易知垂足在AC上，故 ｜MN｜＝ |0?5?2|1?(?1)2= 332=. 22|MN|2= 99,所以z=x2+y2-10y+25的最小值为.? 221y?(?)2表示可行域内点（x,y）与定点Q (-1,-1)连线斜率的2倍． (2)z=2· x?(?1)2∵kQA= 7337,kQB=，故z的范围是［,］. 4842?［说明］ 1.对形如z=(x-a) 2+(y-b) 2型的目标函数均可化为求可行域内的点（x,y）与点（a,b）间的距离的平方最值问题． by?(?)ay?baa的形式，将问题转化为求可2.对形如z= (ac≠0)型的目标函数，可先变形为z=· dcx?dcx?(?)c行域内的点(x,y)与 (- dba,-)连线斜率的倍的范围、最值等．注意斜率不存在的情况. cca5 y≥0