变式应用3 已知实数x,y满足不等式组 x-y≥0 ，求ω=
2x-y-2≥0
［解析］ 作出可行域如图所示.
y?1的取值范围. x?1
因为
y?1表示可行域中的点（x,y）与点（－1,1）连线的斜率.显然可行域内A点与点(-1,1)连线斜率x?11?01y?1=-，kmax不存在，所以ω=的取?1?12x?1最小，并且斜率没有最大值，最大值始终小于1，所以kmin=值范围是［-
1,1). 2名师辨误做答
3x+2y≤10
［例4］
设变量x,y满足条件 x+4y≤11 ，求S=5x+4y的最大值.
x∈Z,y∈Z x>0,y>0
?［误解］ 依约束条件画出可行域如图所示，如先不考虑x、y为整数的条件，则当直线5x+4y=S过点A(,92391)时，S=5x+4y取最大值，Smax＝. 5105因为x、y为整数，而离点A最近的整点是C(1,2)，这时S=13,所要求的最大值为13.
［辨析］ 显然整点B(2,1)满足约束条件，且此时S=14,故上述解法不正确. 对于整点解问题，其最优解不一定是离边界点最近的整点. 而要先对边界点作目标函数t=Ax+By的图像， 则最优解是在可行域内离直线t=Ax+By最近的整点.
［正解］ 依约束条件画出可行域如上述解法中的图示，作直线l：5x+4y=0,平行移动直线l经过可行域内的整点B(2,1)时，Smax＝14.
课堂巩固训练
一、选择题
x≤2
6
1.若x,y满足约束条件 y≤2 ,则目标函数z=x+2y的取值范围是（ ）
x+y≥2
A.［2,6］ ［答案］ A?
x≤2
［解析］ 画出不等式组 y≤2 表示的可行域为如图所示的△ABC.
x+y≥2
B.［2,5］
C.［3,6］
D.［3,5］
作直线l:x+2y=0,平行移动直线l,当直线l经过可行域内的点B(2,0)时z取最小值2，当直线l经过可行域内的点A(2,2)时，z取最大值6，故选A.
x≥1,?
2.（2011·天津文，2）设变量x,y满足约束条件 x+y-4≤0, 则目标函数z=3x-y的最大值
x-3y+4≤0,
为（ ） A.－4
B.0
C.
4 3 D.4
［答案］ D?
［解析］ 本题考查了利用线性规划求最值，线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域，则区域端点的值为目标函数的最值，求出交点坐标代入目标函数即可. x≥1, 由 x+y-4≤0,
x-3y+4≤0, 作出可行域如图：?
当直线z=3x-y过点A(2,2)点时z有最大值.z最大值=3×2-2=4.
0≤x≤2 3.(2011·广东理，5)已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组 y≤2 给定.
x≤2y
7
若M(x,y)为D上的动点，点A的坐标为(2,1)，则z=OM·OA的最大值为（ ） A.42
B.32
C.4
D.3
?［答案］ C?
［解析］ 本题考查线性规划、数量积的坐标运算.
∵OM·OA=（x,y）·（2,1）=2x+y,做直线l0：2x+y=0，将l0向右上方平移，当l0过区域D中点(2，2)时，OM·OA=2x+y取最大值2×2+2=4.选C. 二、填空题
x-y+2≥0?
4.设x、y满足约束条件 5x-y-10≤0，则z=2x+y的最大值为 x≥0? y≥0 ［答案］ 11?
x-y+2≥0
［解析］ 不等式组 5x-y-10≤0表示的可行域如图阴影部分所示. x≥0 ? y≥0
.
x-y+2=0? x=3 由 ，得
5x-y-10=0 y=5
∴点A的坐标为（3，5），作直线l：2x+y=0，平行移动直线l至过点A时，z=2x+y取最大值11. 5.某实验室需购买某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元，在满足需要的条件下，最少要花费 ?［答案］ 500
［解析］ 设第一种原料x袋，第二种原料y袋，花费为z， 由题意知，线性目标函数z=140x+120y，线性约束条件 x≥0
y≥0 ， 35x+24y≥106 其可行域如图，
8
元.
可得z的最优整数解为（1，3），此时zmin=500.
课后强化作业
一、选择题? x≥0
1.不等式组 x+3y≥4 ，所表示的平面区域的面积等于（ ）
3x+y≤4
A.
3 B.
2 C.
4 D.
3 233?［答案］ C?
［解析］ 不等式组表示的平面区域如图所示，?
x+3y=4
由 ，得点A的坐标为(1,1). 3x+y=4
又B、C两点坐标分别为（0,4）、 (0,
43),? ∴S△ABC=
12× (4-43)×1=43. y≥x,?
2.设变量x，y满足约束条件： x+2y≤2,?则z=x-3y的最小值为（x≥-2.
A.-2
B.-4
C.-6
?［答案］ D
［解析］ 作可行域（如图），
令z=0得x-3y=0，将其平移，当过点（-2，2）时，z取最小值， ∴zmin=-2-3×2=-8.
4）
D.-8
9
x+2y-5>0
3.(2011·浙江理，5)设实数x、y满足不等式组 2x+y-7>0?，若x、y为整数，则3x+4y
x≥0，y≥0
的最小值为（ ） A.14
B.16
C.17
D.19
［答案］ B?
［解析］ 本题主要考查简单线性规则问题等基础知识，如图， 作出不等式组表示的平面区域 ，作直线l0：3x+4y=0平移l0 与 平面区域有交点，由于x，y为整数，结合图形可知当x=4，y=1 时，3x+4y取最小值为16，选B. x≥-1
4.若变量x、y满足约束条件 y≥x? , 则z=2x+y的最大值为（ ）
3x+2y≤5
A.1
B.2
C.3
D.4
?［答案］ C?
［解析］ 如图所示，由约束条件作出可行域，将目标函数z=2x+y 化为y=-2x+z,由图知在A点z取最大值. y=x
联立 得A（1，1）.
3x+2y=5
∴zmax=2×1+1=3. 2x+y≥4
5.设x，y满足 x-y≥-1 ，则z=x+y（ ）
x-2y≤2
A.有最小值2，最大值3? B.有最小值2，无最大值? C.有最大值3，无最小值?
D.既无最小值，也无最大值
［答案］ B?
［解析］ 如右图作出不等式组表示的可行域，由于z=x+y 的斜率大于2x+y=4的斜率，因此当z=x+y过点（2，0）时，但z没有最大值.
x+3y-3≥0
6.若实数x,y满足不等式 2x-y-3≤0?，且x+y的最大值为9，则实数m=（ ）
x-my+1≥0
A.-2
B.-1
C.1
D.2?
［答案］ C?
［解析］ 如图，作出可行域.?
z有最小值2，
10