实用标准文案
第二章 静电场
1. 一个半径为R的电介质球，极化强度为P?Kr/r，电容率为?。
（1）计算束缚电荷的体密度和面密度： （2）计算自由电荷体密度； （3）计算球外和球内的电势；
（4）求该带电介质球产生的静电场总能量。
解：（1）?p????P??K??(r/r2)??K[(1/r2)??r?r??(1/r2)]??K/r2
2?p??n?(P2?P1)?er?Pr?R?K/R （2）D内??0E?P?P?/(???0)
?f???D内????P/(???0)??K/(???0)r2
（3）E内?D内/??P/(???0)
?KRe 22r?04??0r?0(???0)r??KR ?外??E外?dr?r?0(???0)rR?KR??内??E内?dr??E外?dr?(ln?)
rR???0r?0E外?fD外???dVer?2R4?rdr11?K21?2K2R2?4?r2dr（4）W??D?EdV? ?2?22?R4022(???0)2?0(???0)rr?K2?2??R(1?)()
?0???02. 在均匀外电场中置入半径为R0的导体球，试用分离变量法求下列两种情况的电势：
（1）导体球上接有电池，使球与地保持电势差?0； （2）导体球上带总电荷Q 解：（1）该问题具有轴对称性，对称轴为通过球心沿外电场E0方向的轴线，取该轴线为
极轴，球心为原点建立球坐标系。
当R?R0时，电势?满足拉普拉斯方程，通解为
bn)Pn(cos?) n?1Rn因为无穷远处 E?E0，???0?E0Rcos???0?E0RP?) 1(cos???(anRn?所以 a0??0，a1??E0，an?0,当 R?R0时，???0 所以 即：
精彩文档
(n?2)
?0?E0R0P1(cos?)??nbnP(cos?)??0 n?1nR0?0?b0/R0??0,2b1/R0?E0R0
实用标准文案
3所以 b0?R0(?0??0),b1?E0R0,bn?0,(n?2)
3??0?E0Rcos??R0(?0??0)/R?E0R0cos?/R2???(R?R0)??0（2）设球体待定电势为?0，同理可得
3??0?E0Rcos??R0(?0??0)/R?E0R0cos?/R2???(R?R0)??0当 R?R0时，由题意，金属球带电量Q
(R?R0)(R?R0)
Q????0???nR?R0dS??0?(E0cos???0??02?2E0cos?)R0sin?d?d? R0?4??0R0(?0??0)
所以 (?0??0)?Q/4??0R0
3??0?E0Rcos??Q/4??0R?(E0R0/R2)cos?(R?R0)???
(R?R0)??0?Q/4??0R3. 均匀介质球的中心置一点电荷Qf，球的电容率为?，球外为真空，试用分离变量法求
空间电势，把结果与使用高斯定理所得结果比较。 提示：空间各点的电势是点电荷Qf的电势Qf/4??R与球面上的极化电荷所产生的电势的迭加，后者满足拉普拉斯方程。 解：（一）分离变量法
空间各点的电势是点电荷Qf的电势Qf/4??R与球面上的极化电荷所产生的电势的迭加。设极化电荷产生的电势为??，它满足拉普拉斯方程。在球坐标系中解的形
式为：
bn ）P（ncos?）n?1Rnd??? ?外（cnRn?nn?1）P（ncos?）Rn??0，?cn?0。 当R??时，?外?为有限，?bn?0。 当R?0时，?内????内（anRn?所以
??????anRnP ， ?外?内（ncos?）nndn P（cos?）n?1nR由于球对称性，电势只与R有关，所以
an?0,(n?1) dn?0,(n?1)
??d0/R ??a0， ?外?内所以空间各点电势可写成?内?a0?Qf4??R
?外?d0R?Qf4??R
当R?R0时，由 ?内??外 得： a0?d0/R0
精彩文档
实用标准文案
由 ???内?n??0??外?0Qf?0d0Qf11得：??2，d0?(?) 22?n4??0?4?R04??R0R0Qf11?)
4?R0?0?QfQf11所以 ?内? ?（?）4??R4?R0?0?QfQfQf11 ??外??（?）4??0R4??R4?R?0? （二）应用高斯定理
在球外，R>R0 ，由高斯定理得：?0E外?ds?Q总?Qf?Qp?Qf，（整个导体球的束缚电荷Qp?0），所以 E外?则 a0?Qf(?Qf24??0R??QfQf ?外??E外?dR??dR?24??0RRR4??0Rer ，积分后得：
在球内，R E内??Qf4??R2R0Rer ，积分后得： ??内??E内?dR??E外?dR?R0Qf4??R?Qf4??R0?Qf4??0R 结果相同。 4. 均匀介质球（电容率为?1）的中心置一自由电偶极子pf，球外充满了另一种介质（电 容率为?2），求空间各点的电势和极化电荷分布。 解：以球心为原点，pf的方向为极轴方向建立球坐标系。空间各点的电势可分为三种电 荷的贡献，即球心处自由电偶极子、极化电偶极子及球面上的极化面电荷三部分的贡献，其中电偶极子产生的总电势为pf?R/4??1R。所以球内电势可写成： 3?i??'i?pf?R/4??1R3；球外电势可写成：?o??'o?pf?R/4??1R3 其中?'i和?'o为球面的极化面电荷激发的电势，满足拉普拉斯方程。由于对称性，?'i和?'o均与?无关。考虑到R?0时?'i为有限值；R??时?'o?0，故拉普拉 斯方程的解为： ?i???anRnP（(R?R0) ncos?）nbnP（cos?）(R?R0) n?1nRn3n由此 ?i?pf?R/4??1R??anRP（(R?R0) （1） ncos?）????on（n?1） ?o?pf?R/4??1R3??bnR?P（(R?R0) （2）ncos?）n精彩文档 实用标准文案 边界条件为：?iR?R0??oR?R0 （3） （4） R?R0?1??i?R??2R?R0??o?R将（1）（2）代入（3）和（4），然后比较P（ncos?)的系数，可得： an?0,bn?0(n?1) 3a1?(?1??2)pf/2??1(?1?2?2)R0 3b1?a1R0?(?1??2)pf/2??1(?1?2?2) 于是得到所求的解为： ?i?pf?R4??1R3?(?1??2)pfRcos?32??1(?1?2?2)R0(?1??2)??pf?R334??1R2??1(?1?2?2)R0pf?R(?1??2)pfcos?pf?Rpf?R (R?R0)pf?R(?1??2)?o????4??1R32??1(?1?2?2)R24??1R32??1(?1?2?2)R3?3pf?R4?(?1?2?2)R3(R?R0)在均匀介质内部，只在自由电荷不为零的地方，极化电荷才不为零，所以在球体内部，只有球心处存在极化电荷。 ?p????P????[(?1??0)E]????[?(?0/?1?1)?f所以 pp?(?0/?1?1)pf 在两介质交界面上，极化电荷面密度为 ?1??0?D]?(0?1)??D?1?1 ?p?er?(p1?p2)?(?1??0)er?Ei?(?2??0)er?Eo ??(?1??0)由于?1??i?R?(?2??0)R0??o?R R0??i?R??2R0??o?R，所以 R03?0(?1??2)pf??i??o?p??0(?)?cos? 3?R?RR02??1(?1?2?2)R05. 空心导体球壳的内外半径为R1和R2，球中心置一偶极子p球壳上带电Q，求空间各点的电势和电荷分布。 解：以球心为原点，以p的方向为极轴方向建立球坐标系。在R?R1及R?R2两均匀区域，电势满足拉普拉斯方程。通解形式均为 精彩文档 实用标准文案 bn ）P（ncos?）n?1Rn当R??时，电势趋于零，所以R?R2时,电势可写为 b (1) ?o??nn?1P（ncos?）Rn当R?0时，电势应趋于偶极子p激发的电势： （anRn??pf?R/4??0R3?pcos?/4??0R2 所以R?R1时，电势可写为 ?i?pcos? (2) ??anRnP（ncos?）24??0RnbnP（cos?）??s (3) n?1nR2n设球壳的电势为?s,则 ?oR??2n?iR1?pcos?/4??0R12??anR1nP（??s (4) ncos?）由(3)得： b0??sR2 ；bn?0所以 (n?0) (n?0,1) 3由(4)得： a0??s ；a1??p/4??0R1 ；an?0?o??sR2/R (5) ?i?pcos?/4??0R2??s?pRcos?/4??0R13 (6) ??o?R再由 ??0?dS??0s224?R2?Q 得： S?RR?s?Q/4??0R2 (7) 将(7)代入(5)(6)得： ?o?Q/4??0R (R?R2) pcos?QpRcos?1p?RQp?R?i????(??3) 4??0R24??0R24??0R134??0R3R2R1在R?R2处，电荷分布为： ??Dn???0??o?R??i?R?R2Q 24?R23pcos? 34?R1在R?R1处，电荷分布为： ?'??Dn??0??R16. 在均匀外电场E0中置入一带均匀自由电荷?f的绝缘介质球（电容率为?），求空间各点的电势。 解：以球心为原点，以E0的方向为极轴方向建立球坐标系。将空间各点的电势看作由两 部分迭加而成，一部分?1为绝缘介质球内的均匀自由电荷产生，另一部分?2为外电 精彩文档