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场E0及E0感应的极化电荷产生。前者可用高斯定理求得，后者满足拉普拉斯方程。由于对称性，?2的形式为
?(aRnnn?bnR?(n?1))Pn(cos?)
对于?1，当R?R0时，由高斯定理得：
33D1??fR0/3R2 ， E1??fR0/3?0R2
当R?R0时，由高斯定理得：
D2??fR/3 ， E2??fR/3?
?1的球外部分：
?o1??(?fR/3?0R)dR??(?fR/3?)dR
RR0R03020322??fR0/3?0R??fR0/3?0??fR0/6? （1）
?1的球内部分： ?i1??E2?dR??(?fR/3?)dR???fR2/6? （2）
RR00对于?2，当R??时，?2??E0Rcos?，所以
?o2??E0Rcos???nbnP（cos?）(R?R0) n?1nR(R?R0)
当R?0时，?2为有限，所以
?i2??anRnP（ncos?）n边界条件为：R?R0时，?o2??i2，?0??o2?R??R0??i2?R。即：
R0??E0R0cos???bnR0?(n?1)Pn(cos?)??anR0nPn(cos?)?nn ??(n?2)n?1?ERcos???(n?1)bRP(cos?)??naRP(cos?)??000?n0nn0nnn?比较Pn(cos?)的系数，解得：
a1??3?0E0/(??2?0)
3b1?(???0)E0R0/(??2?0) an?bn?0(n?1)
所以
3?o2??E0Rcos??(???0)E0R0cos?/(??2?0)R2(R?R0) (3) ?i2??3?0E0Rcos?/(??2?0)(R?R0) (4)
由(1) (2) (3) (4)得:
2??fR0??3????2??fR??6??33?fR0(???0)E0R0cos?1(?)??E0Rcos???02?3?0R(??2?0)R21(R?R0)
?3?0E0Rcos???2?0(R?R0)精彩文档
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7. 在一很大的电解槽中充满电导率为?2的液体，使其中流着均匀的电流Jf0。今在液体中
置入一个电导率为?1的小球，求稳恒时电流分布和面电荷分布，讨论?1???2及
?2???1两种情况的电流分布的特点。
解：本题虽然不是静电问题，但当电流达到稳定后，由于电流密度Jf0与电场强度E0成正比（比例系数为电导率），所以E0也是稳定的。这种电场也是无旋场，其电势也满足拉普拉斯方程，因而可以用静电场的方法求解。
(1)未放入小球时，电流密度Jf0是均匀的，由Jf0??2E0可知，稳恒电场E0也是一个均
匀场。因此在未放入小球时电解液中的电势?0便是均匀电场E0的电势。放入小球后，以球心为原点，E0的方向为极轴方向，建立球坐标系。为方便起见，以坐标原点为电势零点。在稳恒电流条件下，??/?t?0，所以：
??J?0 (1)
由(1)式可推出稳恒电流条件下的边界条件为:
n?(J2?J1)?0 (2) 设小球内的电势为?1，电解液中的电势为?2，则在交界面上有：
?1R??2R (3)
00??1?? (4) ??22?RR?R0?RR?R0将J??E及E????代入(1)，得：
?1??J???(?E)????2??0
可见?满足拉普拉斯方程
考虑到对称性及R??时E?E0，球外电势的解可写成：
?2其中利用了Jf0??2E0。
?2??Jf0Rcos???nbnP（(R?R0) (5) ncos?）Rn?1考虑到R?0时电势为有限值，球内电势的解可写成：
?1??anRnP（ncos?）n(R?R0) (6)
因为选R?0处为电势零点，所以a0?0，将(5) (6)代入(3) (4)得：
?bnn (7) P（cos?）?aR（?n0Pncos?）n?1n?2nR0nJbn?1 (8) ?2[?f0cos???(n?1)nn?2P（cos?）]??naR（n1?n0Pncos?）?2R0nnR0cos???3/(?1?2?2)?2 a1??3Jf0/(?1?2?2) , b1?(?1??2)Jf0R0Jf0由(7)(8)两式可得:
an?0,bn?0(n?1)
所以： ?1??3Jf0Rcos?/(?1?2?2)??3Jf0?R/(?1?2?2) (R?R0)
3?2??Jf0Rcos?/?2?(?1??2)Jf0R0cos?/(?1?2?2)?2R2
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3??Jf0?R/?2?(?1??2)R0Jf0?R/(?1?2?2)?2R3 (R?R0)
由此可得球内电流密度:
J1??1E1???1??1?3?1?(Jf0?R)/(?1?2?2)?3?1Jf0/(?1?2?2)
电解液中的电流密度为: J2??2E2???2??2
33(Jf0?R)RJf0(?1??2)R0?Jf0?[?3](?1?2?2)R5R
(2)两导体交界面上自由电荷面密度
?f?er?(D2?D1)??0er?(E2?E1)??0er?(J2/?2?J1/?1)
?3(?1??2)?0Jf0cos?/(?1?2?2)?2
(3) 当?1???2，即球的电导率比周围电解液的电导率大的多时，
(?1??2)/(?1?2?2)?13?1/(?1?2?2)?3 ，
所以， J1?3Jf0
3J2?Jf0?(R0/R3)[3(Jf0?R)R/R2?Jf0]
?f?3?0Jf0cos?/?2当?1???2时，同理可得：
J1?0
3J2?Jf0?(R0/2R3)[3(Jf0?R)R/R2?Jf0]
8. 半径为R0的导体球外充满均匀绝缘介质?，导体球接地，离球心为a处（a >R0）置
一点电荷Qf，试用分离变量法求空间各点电势，证明所得结果与电象法结果相同。 解：以球心为原点，以球心到点电荷的连线为极轴建立球坐标系。将空间各点电势看作由两部分迭加而成。一是介质中点电荷产生的电势
?f??3?0Jf0cos?/2?2?1?Qf/4??R2?a2?2Racos?，
二是球面上的感应电荷及极化面电荷产生的?2。后者在球内和球外分别满足拉普拉斯方程。考虑到对称性，?2与?无关。
由于R?0时，?2为有限值，所以球内的?2解的形式可以写成
?i2??anRnPn(cos?) （1）
n由于R??时，?2应趋于零，所以球外的?2解的形式可以写成
?o2??nbnPn(cos?) （2） Rn?1n由于
R2?a2?2Racos??(1/a)?(R/a)nPn(cos)
?1?(Qf/4??a)?(R/a)nPn(cos) （3）
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当R?R0时，?内??1??i2
?(Qf/4??a)?(R/a)nPn(cos)??anRnPn(cos?) （4）
nn当R?R0时，?外??1??o2
?(Qf/4??a)?(R/a)nPn(cos)??nnbnPn(cos?) （5） Rn?1因为导体球接地，所以
?内?0 （6）
?外R??内R?0 （7）
00将（6）代入（4）得: an??Qf/4??an?1 （8）
2n?1将（7）代入（5）并利用（8）式得: bn??QfR0/4??an?1 （9）
将（8）（9）分别代入（4）（5）得:
?内?0?外?14??[22(R?R0) （10）
QfR?a?2Racos??R0QfaR?(R/a)?2RRcos?/a220220],
(R?R0) （11）
用镜像法求解：设在球内r0处的像电荷为Q’。由对称性，Q’在球心与Qf的连线上，根据边界条件：球面上电势为0，可得：（解略）
2r0?R0/a， Q'??R0Qf/a
所以空间的电势为
?外?QfR0Qf1QfQ'1(?)?[?] (R?R0)
2222224??r1r24??R?a?2Racos?aR?(R0/a)?2RR0cos?/a9. 接地的空心导体球的内外半径为R1和R2，在球内离球心为a处(a 用镜像法求电势。导体球上的感应电荷有多少？分布在内表面还是外表面？ 解：假设可以用球外一个假想电荷Q'代替球内表 P面上感应电荷对空间电场的作用，空心导体球接 R'R1R地，球外表面电量为零，由对称性，Q'应在球 O心与Q的连线上。 QQ'考虑球内表面上任一点P，边界条件要求： Q/R?Q'/R'?0 (1) 式R为Q到P的距离，R’为Q'到P的距离，因此，对球面上任一点，应有 R'/R??Q'/Q?常数 (2) 只要选择Q'的位置，使?OQ'P~?OPQ，则 R'/R?R1/a?常数 (3) 设Q'距球心为b，则b/R1?R1/a，即b?R1/a (4) 由（2）（3）两式得: Q'??R1Q/a 2精彩文档 实用标准文案 R?R/a?2RRcos?/a导体内电场为零，由高斯定理可知球面上的感应电荷为?Q，分布于内表面。 由于外表面没有电荷，且电势为零，所以从球表面到无穷远没有电场，?外?0。 10. 上题的导体球壳不接地，而是带总电荷Q0，或使具有确定电势?0，试求这两种情况的 电势。又问?0与Q0是何种关系时，两情况的解是相等的？ 解：由上题可知，导体球壳不接地时，球内电荷Q和球的内表面感应电荷?Q的总效果是 使球壳电势为零。为使球壳总电量为Q0，只需满足球外表面电量为Q0+Q即可。因此，导体球不接地而使球带总电荷Q0时，可将空间电势看作两部分的迭加，一是Q与内表面的?Q产生的电势?1，二是外表面Q0+Q产生的电势?2。 1QR1Q/a?1内?[?]，(R?R1) 2224224??0R?a?2Racos?R?R1/a?2R1Rcos?/a??14??0[QR?a?2Racos?22?R1Q/a241221] ?1外?0， (R?R1)； ?2内?(Q?Q0)/4??0R2， (R?R2)； ?2外?(Q?Q0)/4??0R， (R?R2)，所以 ??(Q?Q0)/4??0R(R?R2) ??(Q?Q0)/4??0R2(R1?R?R2)??14??0[QR2?a2?2Racos??R1Q/aR2?R14/a2?2R12Rcos?/a?Q?Q0]，(R?R1)R2由以上过程可见，球面电势为(Q?Q0)/4??0R2。 若已知球面电势?0，可设导体球总电量为Q'0，则有： (Q?Q'0)/4??0R2??0，即：(Q?Q'0)/4??0??0R2 电势的解为： (R?R2)??0R2/R??(R1?R?R2)?0?QR1Q/a???1 [?]??0?4??0R2?a2?2Racos?R2?R14/a2?2R12Rcos?/a??(R?R1)?当?0和Q0满足?0?(Q?Q0)/4??0R2时，两种情况的解相同。 11. 在接地的导体平面上有一半径为a的半球凸部（如图），半球的球心在导体平面上，点电荷Q位于系统的对称轴上，并与平面相距为b（b>a），试用电象法求空间电势。 解：如图，根据一点电荷附近置一无限大接地导体平板和一点电荷附近置一接地导体球两个模型，可确定三个镜像电荷的电量和位置。 Qa?Qb?OaQbPRaaa2a2Q1??Q，r1?ez；Q2?Q，r2??ez； bbbb精彩文档 ?Q