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Q3??Q，r3??bez，所以 Q11??[??224??0R2?b2?2Rbcos?R?b?2Rbcos??bR2?aaa?2Rcos?2bb42aa4a2bR?2?2Rcos?bb2],(0????2,R?a) z12. 有一点电荷Q位于两个互相垂直的接地导体平面所 ?Qa(x,?a,b) 围成的直角空间内，它到两个平面的距离为a和b， 求0空间电势。
解：用电像法，可以构造如图所示的三个象电荷来代替两导
体板的作用。
Q(x0,a,b)by??Q4??0[1(x?x0)2?(y?a)2?(z?b)21222?
?Q(x0,?a,?b)?Q(x0,a,?b)(x?x0)?(y?a)?(z?b)11??]222222(x?x0)?(y?a)?(z?b)(x?x0)?(y?a)?(z?b)13. 设有两平面围成的直角形无穷容器，其内充满电导率为σ的液体。取该两平面为xz面和yz面在(x0,y0,z0)和(x0,y0,?z0)两点分别置正负电极并通以电流I，求导电液体中的电势。 解：本题的物理模型是，由外加电源在A、B两点间建立电场，使
溶液中的载流子运动形成电流I，当系统稳定时，属恒定场，即??/?t?0，??J?0。对于恒定的电流，可按静电场的方式处理。于是在A点取包围A的高斯面，则
o?
,(y,z?0)
zA(x0,y0,z0)?xyB(x0,y0,?z0)?E?dS?Q/?，
由于I??j?dS，j??E，所以
I/??Q/?
可得：Q?I?/? 。
同理，对B点有： QB??I?/??Q 又，在容器壁上, jn?0，即无电流穿过
容器壁。
由j??E可知，当jn?0时，En?0。 容器内的电势分布为：
Q(?x0,?y0,z0)zQ(x0,?y0,z0)Q(?x0,y0,z0)Q(x0,y0,z0)oy?Q(?x0,?y0,?z0)?Q(?x0,y0,?z0)x?Q(x0,y0,?z0)?Q(x0,?y0,?z0)所以可取如右图所示电像，其中上半空间三个像电荷Q，下半空间三个像电荷 -Q，
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?????Qi??r4??i?1??i18?I1??[?4???(x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)21(x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)21(x?x0)?(y?y0)?(z?z0)1222??1(x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)21(x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)21??(x?x0)?(y?y0)?(z?z0)122222?]
(x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)2(x?x0)?(y?y0)?(z?z0)14. 画出函数d?(x)/dx的图，说明???(p??)?(x)是一个位
于原点的偶极子的电荷密度。
2d?(x)dx?0,x?0解：（1）?(x)??
?,x?0?d?(x)?(x??x)??(x)?lim ?x?0dx?x1）x?0时，d?(x)/dx?0
d?(x)0???lim??? 2）x?0时，a) 对于?x?0，
?x?0?xdxd?(x)0???lim??? b) 对于?x?0，
?x?0?xdx图象如右图所示。
ox???(p??)?(x)??(px1?/?x1?px2?/?x2?px3?/?x3)?(x)
??xdV???(p??)?(x)xdV???(p其中第一项为： x1?/?x1?px2?/?x2?px3?/?x3)?(x)xdV ????(x1)?(x2)?(x3)?(x1e1?x2e2?x3e3)dx1dx2dx3 )?(x)]xdV???px1?x1?x1??(x1)d?(x1)???px1?(x2)?(x3)(x1e1?x2e2?x3e3)dx1dx2dx3??e1?px1x1dx1
?x1dx1d?t?(t)?d?(t)d?(t)d?t?(t)???(t)?t???(t)，可得： 应用，即tdtdtdtdtd?(x1)?e1?px1x1dx1??e1?px1d?x1?(x1)??e1?px1?(x1)dx1
dx1??e1px1x1?(x1)?e1px1?e1px1 (x=0) ??[(px1同理可得另外两项分别为e2px2及e3px3，所以，?xdV?p,即 p是一个位于原点的偶极子的电荷密度。
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15. 证明：（1）?(ax)??(x)/a (a?0)，（若a?0，结果如何？）
（2）x?(x)?0
证明：1) 显然，当x?0时，?(ax)??(x)/a成立；又
d(ax)1??1?(ax)dx??(ax)??(ax)d(ax)? ??????aa???a??????????(x)dx?1
所以?(ax)??(x)/a在全空间成立。 若a?0，
??????(ax)dx???(?ax)dx???(?ax)????????d(?ax)1?? ?aa即，?(ax)???(x)/a
所以?(ax)??(x)/a在全空间成立。 2) 由?(x)的选择性证明。
???x?(x)?x?(x)?0，而?x?(x)dx?x??x?0?0
?x?(x)?0 ，进而x?(x)?0
16. 一块极化介质的极化矢量为P(x')，根据偶极子静电势的公式，极化介质所产生的静
P(x')?r电势为???dV'，另外根据极化电荷公式?p???'?P(x')及?p?n?P，34??r0V?'?P(x')P(x')?dS'极化介质所产生的电势又可表为????，试证明以上dV'??V4??rS4??r00两表达式是等同的。 证明：由第一种表达式得
P(x')?r1?1?dV'?P(x')??'??dV' 3??VV4??04??0r?r??1?1?1???'??P???'?P?P??'??
?r?r?r???1???1??'?P(x')?P(x')???dV'??'???dV'? ???VV4??0?r?r???1??'?P(x')?P(x')?， ??dV'??dS'??????VS4??0?r?r??所以，两表达式是等同的。
实际上，继续推演有：
???p?1??'?P(x')P?n1??p??dV'??dS'?dV'??dS'??V? ?????VSS4??0?rrr?4??0?r?刚好是极化体电荷的总电势和极化面电荷产生的总电势之和。
17. 证明下述结果，并熟悉面电荷和面偶极层两侧电势和电场的变化。 （1）在面电荷两侧，电势法向微商有跃变，而电势是连续的。
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（2）在面偶极层两侧，电势有跃变?2??1?n?P/?0，而电势的法向微商是连续的。 （各带等量正负面电荷密度±σ而靠的很近的两个面，形成面偶极层，而偶极矩密度P?lim?l）
???l?0zE证明：1）如图，由高斯定理可得：2E??S????S/?0，
?E??/2?0，
?1?2??1?(?/2?0)z?(?/2?0)z?0
即，电势是连续的，但是
??1/?n1?E1n?ez?/2?0，
??2Ex?S??2/?n2?E2n??ez?/2?0
???1/?n1???2/?n2??/?0 φ1 +σ 即，电势法向微商有跃变 n E l 2）如图，由高斯定理可得：E?ez?/?0 φ2 －σ ??2??1?limE?l?lim?n?l/?0 z
l?0l?0?n?P/?0
又 ??1/?n?E，??2/?n?E
???1/?n???2/?n?0，即电势的法向微商是连续的。 18. 一个半径为R0 的球面，在球坐标0????/2的半球面上电势为?0在?/2????的
半球面上电势为??0，求空间各点电势。
P(x)?Pn?1(x)提示：?Pn(x)dx?n?1，Pn(1)?1，
02n?1011?0,（n?奇数）? Pn(0)??n/21?3?5???(n?1)(?1),（n?偶数）?2?4?6???n?2解：由题意，球内外电势均满足拉普拉斯方程：??内?0；?2?外?0
球内电势在r?0时为有限，球外电势在r??时为0，所以通解形式为：
bP(cos?) 。 ?内??anrnPn(cos?) ，?外??nn?1nnrn??0,(0????/2)??外r?R，即 ?r?R?f(?)??在球面上，?内 r?R000??,(?/2????)?0将f(?)按球函数展开为广义傅立叶级数，f(?)??fnPn(cos?)
n则 anR0?bnR0?fn，下面求fn。
2n?112n?1?fn?f(?)P(cos?)dcos???Pn(cos?)sin?d? n2??12?0R0n?(n?1)精彩文档
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?2n?1?2?[?0Pn(cos?)sin?d?????0Pn(cos?)sin?d?]
2?020?11?12n?12n?1??[?0?Pn(x)dx??0?Pn(x)dx]??0[?Pn(x)dx??Pn(x)dx]
100022由于Pn(?x)?(?1)nPn(x)，所以
1112n?12n?1n?1n?1fn??0[?Pn(x)dx?(?1)?Pn(x)dx]??0[1?(?1)]?Pn(x)dx
00022当n为偶数时，fn?0；
P(x)?Pn?1(x)12n?1??0[Pn?1(x)?Pn?1(x)]0 当n为奇数时，fn??0[1?1]n?122n?10n?11?3?5???(n?2)??0[?Pn?1(0)?Pn?1(0)]??0(?1)2(2n?1)
2?4?6???(n?1)n?11?3?5???(n?2)?n2(?1)(2n?1) an?fn/R0?0n2?4?6???(n?1)R0n?11?3?5???(n?2)n?1(n?1)(2n?1) bn?fnR0?0R0(?1)22?4?6???(n?1)至此，可写出球内外的电势为
1?内???0(?1)?外???0(?1)n?12n?121?3?5???(n?2)r (2n?1)()nPn(cos?),(n为奇数，r?R0）2?4?6???(n?1)R0R1?3?5???(n?2)(2n?1)(0)n?1Pn(cos?),(n为奇数，r?R0)
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