推理论证、运算求解能力和应用意识，以及或然与必然的数学思想）
（1）解：由题意知，四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为100名， 抽取的样本容量与总体个数的比值为
501?. 1002 ∴应从A,B,C,D四所中学抽取的学生人数分别为15,20,10,5. ????? 4分 （2）解：设“从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生，这两名学生来自同一所
中学”为事件M，
2从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生的取法共有C50?1225种，? 5分 222350. ????? 6分 这两名学生来自同一所中学的取法共有C15?C220?C10?C5?3502?. 12257答：从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生，求这两名学生来自同一所中学
2的概率为. ????? 7分
7∴P?M??(3) 解：由（1）知，在参加问卷调查的50名学生中，来自A,C两所中学的学生人数分别
为15,10.
依题意得，?的可能取值为0,1,2， ????? 8分
????? 11分 ∴?的分布列为：
? 0 1 2
917 P 60220?? 12分
?E??0?
9176?1??2???? 14分 60220519．（本小题满分14分）
（本小题主要考查空间线面位置关系、二面角等基础知识，考查空间想象、推理论证、抽象
概括和运算求解能力，以及化归与转化的数学思想方法）
（1）证法1：取PA的中点E，连接DE,EN， ∵点N是PB的中点, ∴EN//AB,EN?
1AB. ????? 1分 2 ∵点M是CD的中点，底面ABCD是正方形， ∴DM//AB,DM?1AB. ????? 2分 2 ∴EN//DM,EN?DM. ∴四边形EDMN是平行四边形.
∴MN//DE. ????? 3分
P ∵DE?平面PAD，MN?平面PAD， ∴MN//面PAD. ????? 4分 证法2：连接BM并延长交AD的延长线于点E，连接PE， ∵点M是CD的中点， ∴DM//AB,DM?ABN1AB, ????? 1分 2EDMC ∴点M是BE的中点. ????? 2分
∵点N是PB的中点,
∴MN//PE. ????? 3分 ∵PE?面PAD，MN?平面PAD，
∴MN//面PAD. ????? 4分
证法3： 取AB的中点E，连接NE,ME， ∵点M是CD的中点，点N是PB的中点,
∴ME//AD，NE//PA. ∵AD?面PAD，ME?平面PAD，
∴ME//面PAD. ????? 1分 ∵PA?面PAD，NE?平面PAD，
∴NE//面PAD. ????? 2分
P ∵ME?NE?E，NE?平面MEN，ME?平面MEN，
∴平面MEN//面PAD. ????? 3分
N ∵MN?平面MEN，
∴MN//面PAD. ????? 4分 （2）解法1：∵NE//PA，PA^面ABCD，
∴NE^面ABCD. ????? 5分 ∵AM?面ABCD，
∴NE?AM. ????? 6分 过E作EF?AM，垂足为F，连接NF，
∵NE?EF?E，NE?面NEF，EF?面NEF，
∴AM?面NEF. ????? 7分 ∵NF?面NEF，
∴AM?NF. ????? 8分 ∴?NFE是二面角N-AM-B的平面角. ????? 9分 在Rt△NEM中，MN=5,ME?AD?3，得NE? MN2?ME2?4，
AEFDMCB ????? 10分
在Rt△MEA中，AE=3，得AM?2ME2?AE2?35， 2 EF=AEgME35=. ????? 11分
AM5 在Rt△NEF中，NF?NE2?EF2?445， ????? 12分 5 cos?NFEEF389=. ????? 13分 NF89389. ????? 14分 89 ∴二面角N-AM-B的余弦值为解法2：∵NE//PA，PA^面ABCD， ∴NE^面ABCD.
在Rt△NEM中，MN=5,ME?AD?3，得NE? MN2?ME2?4，
????? 5分
以点A为原点，AD所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，AP所在直线为z轴， 建立空间直角坐标系A?xyz， ????? 6分
则A0,0,0,M?3,?????3?3?,0?,E?0,,0?,N2??2??3??0,,4?. ?2?????∴EN??0,0,4?，
设平面AMN的法向量为n??????3?，AN??0,,4?. ????? 8分
?2??x,y,z?，
zP?????????由n?AM?0，n?AN?0， ?33x?y?0,??2得? ?3y?4z?0.??2令x?1，得y??2，z?N3. 4DxAEByMC
∴n??1,?2,?是平面AMN的一个法向量. ????? 11分
??3?4?????又EN??0,0,4?是平面AMB的一个法向量， ????? 12分
??????????389n?EN. ????? 13分 cosn,EN???????89nEN∴二面角N-AM-B的余弦值为
389. ????? 14分 8920. （本小题满分14分）
（本小题主要考查抛物线、求曲线的轨迹、均值不等式等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识） 解法一:
（1）解：设Mx,y,Ay1,y1,By2,y2，
???2??2????????????? ∵OA?OB?OC，
∴M是线段AB的中点. ????? 2分
???????? ∵OA?OB， ∴OA?OB?0.
22 ∴y1y2?y1y2?0. ????? 5分
依题意知y1y2?0，
∴y1y2??1. ③ ????? 6分
14y2?22把②、③代入①得：x?，即y??x?1?. ????? 7分
22∴点M的轨迹方程为y2?1x?1?. ????? 8分 ?2 (2)解：依题意得四边形AOBC是矩形，
∴四边形AOBC的面积为
????????S?OAOB??y?212?y?21?y?2222?y2 ????? 9分