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同理?2?PBBF?my2?3my1?3my2?3，且与异号，
my2my1my23?y1?y2?my1?3my2?3??2? 所以?1??2? my1my2my1y2 ?2?3???6m?m???9??0.
又当直线AB与x轴重合时， ?1??2?0， 所以， ?1??2为定值0.
【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，其主要思路是联立直线和椭圆的方程，整理成关于x或y的一元二次方程，利用根与系数的关系进行求解，因为直线AB过点F?1,0?，在设方程时，往往设为x?my?1
?m?0?，可减少讨论该直线是否存在斜率.
5．【四川省绵阳南山中学2017-2018学年高二上学期期中考】设抛物线C： y?4x， F为C的焦点，过F的直线l与C相交于A,B两点. （1）设l的斜率为1，求AB； （2）求证： OA?OB是一个定值. 【答案】(1) AB?8（2）见解析
【解析】试题分析：（1）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系及抛物线的定义、弦长
公式即可得出；（2）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系、向量的数量积即可得出；
2..
（2）证明：设直线l的方程为x?ky?1，
x?ky?1 得y2?4ky?4?0 2y?4x∴y1?y2?4k， y1y2??4
由{OA??x1,y1?,OB??x2,y2?，
∵OA?OB?x1x2?y1y2??kx1?1??ky2?1??y1y2，
?k2y1y2?k?y1?y2??1?y1y2， 22??4k?4k?1?4??3∴OA?OB是一个定值.
点睛：熟练掌握直线与抛物线的相交问题的解题模式、根与系数的关系及抛物线的定义、过焦点的弦长公式、向量的数量积是解题的关键，考查计算能力,直线方程设成x?ky?1也给解题带来了方便.
x2y26．【内蒙古包头市第三十三中2016-2017学年高一下学期期末】已知椭圆C: 2?2?1(a?0,b?0)的
ab6离心率为,右焦点为(2,0).(1)求椭圆C的方程; (2)若过原点作两条互相垂直的射线,与椭圆
3交于A,B两点,求证:点O到直线AB的距离为定值.
x23?y2?1 ,(2) O到直线AB 的距离为定值【答案】(1) . 23【解析】试题分析：（1）根据焦点和离心率列方程解出a，b，c；
（2）对于AB有无斜率进行讨论，设出A，B坐标和直线方程，利用根与系数的关系和距离公式计算；
..
有OA⊥OB知x1x2+y1y2=x1x2+(k x1+m) (k x2+m)=(1+k) x1x2+k m(x1+x2)=0 代入,得4 m=3 k+3原点到直线AB的距离d?到直线
22
2
m1?k2?33?d 依然成立.所以点O ， 当AB的斜率不存在时, x1?y1 ,可得, x1?223 . 2的距离为定值
点睛： 本题考查了椭圆的性质，直线与圆锥曲线的位置关系，分类讨论思想，对于这类题目要掌握解题方法．设而不求，套用公式解决．
x2y27．【四川省成都市石室中学2017-2018学年高二10月月考】已知双曲线2?2?1?b?a?0?渐近线方
ab程为y??3x， O为坐标原点，点M?3,3在双曲线上．
??（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）已知P,Q为双曲线上不同两点，点O在以PQ为直径的圆上，求
1OP2?1OQ2的值．
x2y2111??1；【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） . ??22263OPOQ【解析】试题分析：（1）根据渐近线方程得到设出双曲线的标准方程，代入点M的坐标求得参数即可；（2）
由条件可得OP?OQ，可设出直线OP,OQ的方程，代入双曲线方程求得点P,Q的坐标可求得
1OP2?1OQ2?1。 3..
（Ⅱ）由题意知OP?OQ。 设OP直线方程为y?kx，
6xy??13?k2 ，解得{ ， 由{2626ky?kxy2?3?k222x2?2261?k66k∴|OP|2?x2?y2?。 ??3?k23?k23?k211由OQ直线方程为y??x.以?代替上式中的k，可得
kk??1?2?6?1?????26k?1k??????2。 |OQ|??223k?1?1?3?????k?????23?k23k2?12k?11∴??+=?。 22222361?k61?k61?kOPOQ11????????8．【湖南省株洲市醴陵第二中学、醴陵第四中学2018届高三上学期两校期中联考】已知椭圆E:
x2y23??1(a?b?0)经过点P(2,1)，且离心率为． 222ab（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设O为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M，N满足OM?NO，直线PM、PN分别交椭圆于A，B．探
求直线AB是否过定点，如果经过定点请求出定点的坐标，如果不经过定点，请说明理由．
x2y2??1；【答案】（1）（2）直线AB过定点Q（0，﹣2）. 82【解析】试题分析：（1）根据椭圆的几何性质得到椭圆方程；（2）先由特殊情况得到结果，再考虑一般情
况，联立直线和椭圆得到二次函数，根据韦达定理，和向量坐标化的方法，得到结果。
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4t?88kt，x， 1x2=224k?14k?1y?1kx?t?1又直线PA的方程为y﹣1=1（x﹣2），即y﹣1=1（x﹣2），
x1?2x1?2x1+x2=?因此M点坐标为（0，
2?1?2k?x1?2t）?1?2k?x2?2t）
，同理可知：N（0， ，
x1?2x2?2
当且仅当t=﹣2时，对任意的k都成立，直线AB过定点Q（0，﹣2）.
x2y29．【广西桂林市第十八中学2018届高三上学期第三次月考】已知椭圆C:2?2?1?a?b?0?的左，右
ab1焦点分别为F1,F2.过原点O的直线与椭圆交于M,N两点，点P是椭圆C上的点，若kPMkPN??，
4F1N?F1M?0，且?F1MN的周长为4?23. （1）求椭圆C的方程； （2） 设椭圆在点P处的切线记为直线?，点F1,F2,O在?上的射影分别为A,B,D，过P作?的垂线交x轴于点Q，试问
F1AF2B是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. ?ODPQx2?y2?1;(2)1. 【答案】(1) 4m2n2【解析】试题分析; （1）设M?m,n?，则N??m,?n?，∴ 2?2?1，设P?x0,y0?，
aby?ny?n122，以及kAM?kBM??， a?4b????..?1?，由FkAP?,kBP?1N?F1M?0,由椭圆的
x?mx?m4222定义可得2a?2c?4?23???..?2?，结合a?b?c??..3，综合?1??23可得： ?????