..
点睛：本题主要考查了椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，是高考的必考点，属于难题．求椭圆方程的方法一般就是根据条件建立a,b,c的方程，求出a,b即可，注意a2?b2?c2,e?22c的应用；涉及直线与a圆锥曲线相交时，未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程，要特别注意直线斜率是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方程，利用根与系数关系写出x1?x2,x1?x2，再根据具体问题应用上式，其中要注意判别式条件的约束作用． 14．【2017－2018学年高中数学（苏教版）选修1－1 课时跟踪训练】已知平面内的动点P到定直线l：x＝22的距离与点P到定点F(2，0)之比为2. (1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)若点N为轨迹C上任意一点(不在x轴上)，过原点O作直线AB，交(1)中轨迹C于点A、B，且直线AN、BN的斜率都存在，分别为k1、k2，问k1·k2是否为定值？
x2y21??1 (2) k1·k2＝－ 【答案】(1) 422【解析】试题分析：（1）设出点P，利用两点间的距离公式分别表示出P到定直线的距离和到点F的距离的
比，建立方程求得x和y的关系式，即P的轨迹方程．（2）设出N，A，则B的坐标可知，代入圆锥曲线的方程相减后，可求得k1·k2＝－试题解析：
(1)设点P(x，y)，依题意，有
＝
.整理，得＋＝1.所以动点P的轨迹C的方程为＋
1证明原式． 2＝1.
(2)由题意，设N(x1，y1)，A(x2，y2)，则B(－x2，－y2)， ＋＝1，＋＝1.k1·k2＝
·
＝
＝
＝－，为定值．
x2y215．【河北省鸡泽县第一中学2017-2018学年高二10月月考】如图，已知椭圆C:2?2?1?a?b?0?的
ab左焦点为F??1,0?，过点F做x轴的垂线交椭圆于A，B两点，且AB?3．
(1)求椭圆C的标准方程：
..
(2)若M，N为椭圆上异于点A的两点，且直线AM,AN的倾斜角互补，问直线MN的斜率是否为定值?若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
x2y21??1;(2) ?. 【答案】(1) 432
试题解析:
（1）由题意可知c?1，
b22b2?3，又a2?b2?1， 令x??c，代入椭圆可得y??，所以
aa22两式联立解得： a?4,b?3， x2y2???1 . 43又直线AM的斜率与AN的斜率互为相反数，在上式中以?k代替k，可得
..
4k2?12k?33xN??， , y??kx?k?NN3?4k22y?yNk?xM?xN??2k1所以直线MN的斜率kMN?M???，
xM?xNxM?xN21即直线MN的斜率为定值，其值为?.
2点睛: 本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．
16．【北京市西城鲁迅中学2016-2017学年高二上学期期中】过点M?0,1?且与直线l:y??1相切，设圆心
C的轨迹为曲线E， A， B（A在y轴的右侧）为曲线E上的两点，点P?0,t?(t?0)，且满足
AB??PB(??1)． （Ⅰ）求曲线E的方程．
（Ⅱ）若t?6，直线AB的斜率为方程．
（Ⅲ）分别过A， B作曲线E的切线，两条切线交于点Q，若点Q恰好在直线l上，求证： t与QA?QB均为定值．
1，过A， B两点的圆N与抛物线在点A处共同的切线，求圆N的23??23?125?2【答案】(1) x?4y (2) ?x????y? (3)见解析 ??222????【解析】试题分析：（1）由抛物线定义得曲线E为抛物线，根据基本量可得其标准方程（2）先根据直线AB方程与抛物线方程解出A,B两点坐标，再利用导数求出在点A处的切线的斜率，则得圆心与A连线的直线
2?x12???x2方程，设圆一般式方程，利用三个条件解方程组得圆N的方程．（3）设A?x1, B?x2, Q?a,?1?，?，?，
44????2则利用导数求出在点A处的切线的斜率，利用点斜式写出切线方程x1?2ax1?4?0，同理可得2x2?2ax2?4?0，即得x2?2ax?4?0两根为x1,x2，利用韦达定理化简直线AB斜率得
22a，即得AB方2程为y?ax?1，因此t?1，再根据向量数量积可计算得QA?QB=0 2
由{x?4y ，得A?6,9?， B??4,4?．
x?2y?12?02..
∵x?4y，即y?212x， 41x． 22∴抛物线x?4y在点A处切线的斜率
1y???6?3．
2y??
3??23??3??23??∴圆C的方程为?x????y???4??4??????，
2??2??2??2??22223??23?125?整理得?x????y?． ??2??2?2?2?x12???x2（Ⅲ）设A?x1,?， B?x2,?， Q?a,?1?，
44????x12x1??x?x1?， 过点A的切线方程为y?422即x1?2ax1?4?0，
2同理得x2?2ax2?4?0，
22∴x1?x2?2a， x1x2??4， 又∵kAB2x12x2?4?x1?x2， ?4x1?x24..
整理得??4?2a?a?1?224a?8?1?0， 42∴t与QA?QB均为定值．
点睛：1.求定值问题常见的方法有两种
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 2．定点的探索与证明问题
(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y?kx?b，然后利用条件建立k,b等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．
(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关． 17．【南宁市2018届高三毕业班摸底联考】已知抛物线（l）求抛物线的方程；
（2）抛物线上一点的纵坐标为1，过点设直线的斜率分别为，求证：
的直线与抛物线交于
为定值.
上一点
到焦点的距离为.
两个不同的点（均与点不重合），
【答案】(1)；(2)证明见解析.
【解析】试题分析：（1）由焦半径定义和点在抛物线上建立两个方程，两个未知数，可求得抛物线方程。（2）由（1）知抛物线的方程，及，，设过点的直线的方程为,代入得
,由韦达定理可求得
为定值上。
（2）∵点在抛物线上，且∴∴代入
，设过点得
.
，即
，
的直线的方程为
，