..
a2?4,b2?1，可得椭圆C的方程；
（2）由（1）知F1?3,0,F2x0x?y0y?1，由此可得 44y?3x?F1A?F2B?1.，又∵PQ??，∴ PQ的方程为y?y0?0?x?x0?，可得Q?0,0?
x0?4????3,0，直线的方程为：
?则可得PQ?x02?16y024，又OD?4?1x02?16y02F1AF2B，∴ PQ?OD?1.，故??1.
ODPQ当直线?平行于x轴时，易知F1A?PQ?OD?F2B?1，结论显然成立. 综上，可知
F1AF2B为定值1. ?ODPQ有F1N?F2M，则F1N?F1M?MN?F1N?F2M?2c?2a?2c?4?23???..?2?
222∵a?b?c??..?3?，综合?1??2??3?可得： a?4,b?1
22
x2?y2?1. ∴椭圆C的方程为： 4（2）由（1）知F1?3,0,F2???3,0，直线的方程为：
?3x0?4x0?16y022?x0x?y0y?1 42即： x0x?4y0y?4?0，所以F1A??3x0?4x0?16y02
F2B??3x0+4x0?16y022?3x0?4x0?16y0222 ∴F1A?F2B?3x0?4x0?16y02?3x0?4x02?16y0216?3x02??1. 216?3x0∵PQ??，∴ PQ的方程为y?y0?4y03x0?3x?x?x0?，令y?0，可得x?0，∴ Q??4,0? x04??3x??2则PQ??x0?0??y0?4??2x02?y02?16x02?16y024 ..
又点O到直线?的距离为OD?4?1x0?16y022，∴PQ?OD?x02?16y024?4x0?16y022?1.
∴
F1AF2B??1. ODPQF1AF2B??1. ODPQ当直线?平行于x轴时，易知F1A?PQ?OD?F2B?1，结论显然成立. 综上，
【点睛】本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，椭圆的标准方程，直线与圆的位置关系，是解析几何的综合应用，难度较大．
2
10．【云南省玉溪第一中学2018届高三上学期第三次月考】在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y＝4x相交于不同的A，B两点,O为坐标原点．
(1) 如果直线l过抛物线的焦点且斜率为1，求AB的值；
（2）如果OA?OB??4，证明：直线l必过一定点，并求出该定点. 【答案】（1）8；（2）证明见解析 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据抛物线的方程得到焦点的坐标，设出直线与抛物线的两个交点和直线方程，是直线的方程与抛物线方程联立，得到关于y的一元二次方程，根据根与系数的关系，求出弦长；
（Ⅱ）设出直线的方程，同抛物线方程联立，得到关于y的一元二次方程，根据根与系数的关系表示出数量积，根据数量积等于﹣4，做出数量积表示式中的b的值，即得到定点的坐标．
令b－4b＝－4，∴b－4b＋4＝0，∴b＝2， ∴直线l过定点(2,0)．∴若·＝－4，则直线l必过一定点．
点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.
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x2y211．【黑龙江省佳木斯市第一中学2017-2018学年高二上学期期中】已知椭圆C:2?2?1?a?b?0?，
ab且椭圆上任意一点到左焦点的最大距离为2?1，最小距离为2?1.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点S?0,??的动直线l交椭圆C于A,B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点Q，使得以线段AB为直径的圆恒过点Q?若存在，求出点Q的坐标：若不存在，请说明理由.
??1?3?..
x2?y2?1;(2) 以线段AB为直径的圆恒过点Q?0,1?. 【答案】(1) 椭圆方程为2
当l与y轴平行时，以线段AB为直径的圆的方程为x?y?1. 故若存在定点Q，则Q的坐标只可能为Q?0,1?. 下面证明Q?0,1?为所求：
若直线l的斜率不存在，上述己经证明. 若直线l的斜率存在，设直线l:y?kx?221， A?x1,y1?,B?x2,y2?， 3∴QA?QB，即以线段AB为直径的圆恒过点Q?0,1?.
点睛：这个题是圆锥曲线中的典型题目，证明定值定点问题。第一问考查几何意义，第二问是常见的将图的垂直关系，转化为数量关系，将垂直转化为向量点积为0 ，再者就是向量坐标化的意识。还有就是这种证明直线过定点问题，可以先通过特殊位置猜出结果，再证明。
x2y2212．【四川省成都市新津中学2018届高三11月月考】已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为，
2ab且过点2,1.
??（1）求椭圆C的方程；
（2）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过点P作斜率为
2的直线1交椭圆C于A,B两点，求证： 2PA?PB为定值.
22..
x2y2??1；【答案】（1）（2）证明见解析. 42c2【解析】试题分析：（1）由椭圆的离心率e??，求得a2?2c2，由a2?b2?c2，得b2?c2，将点2,1a2x2y2代入2?2?1，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）设P?m,0???2?m?2?， ?直线l的方程
2bb222是y??x?m?与椭圆的方程联立，利用韦达，根据两点间的距离公式将PA?PB用m 表示，化简
2后消去m即可得结果.
??
?x1?x2?m,x1x2?m?422222,?PA?PB??x1?m??y12?x2?m??y22115222222??x1?m???x1?m???x2?m???x2?m????x1?m???x2?m???444?525222?????x?x?2mx?x?2m?x?x2?2mx?x?2xx?2m??????1212121212?4?? 4?522222?（定值），为定值. ??m?2m?m?4?5?PA?PB??42
【方法点睛】本题主要考查待定待定系数法椭圆标准方程、韦达定理的应用以及圆锥曲线的定值问题，属
于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
x2y213．【北京朝阳日坛中学2016-2017学年高二上学期期中】已知椭圆?:2?2?1(a?b?0)的离心率为
ab2，半焦距为c(c?0)，且a?c?1，经过椭圆的左焦点F，斜率为k1?k1?0?的直线与椭圆交于A， B3两点， O为坐标原点． （I）求椭圆?的标准方程．
k（II）设R?1,0?，延长AR， BR分别与椭圆交于C， D两点，直线CD的斜率为k2，求证： 1为定
k2值．
x2y2??1；【答案】（I）（II）见解析. 95..
c2?【解析】试题分析：（I）依题意,得{a3 ,再由b2?a2?c2求得b2,从而可得椭圆的标准方程;
a?c?1y1（II）设C?x3,y3?， D?x4,y4?，可求得直线的方程为y??x?1?,与椭圆方程联立,由韦达定理可求
x1?1?5x?94y1??5x2?94y2?4y12,D,得y1y3??,进一步可求C?1, 同理???,从而可得k2,化简运算即x?5x?5x?5x?55?x112?1??2?可.
试题解析：
c2?a?3（I）由题意，得{a3 解得{ ，
c?2a?c?1∴b2?a2?c2?5，
x2y2??1． 故椭圆?的方程为95