图3-4 几种形状试样的应力强度因子
(4)对有限宽平板，板的两侧有双边裂纹，如图3-4(c)，其K1的表达式
，Y也是2a/w的函数，但由图中虚线所查出。
(5)对有限宽平板，板的一侧有单边裂纹，如图3-4(f)，也是a/w的函数，其函数曲线可按图3-4(f)查找。
，Y
(6)对圆柱形试样上有环形裂纹，如图3-4(d),试样外径为D,d为试样净截面直径，D-d/2为缺口和引发的疲劳裂纹长度。
,Y为D/d的函数，已作出图解，可由图3-4(d)
查出。应该指出，圆柱试样带环形裂纹，在裂纹尖端附近存在三向应力，不存在
无应力的自由表面。即使试样尺寸较小，也能满足平面应变条件，因此可用这种试样，测定材料的断裂韧性。
(7)对三点弯曲试样，在缺口尖端引发疲劳裂纹，如图3－
4(e),,Y是a／w的函数，可由图中所示的曲线查出。用三点弯曲
试样是测定材料断裂韧性的简便方法。
(8)对无限大体内的椭圆形裂纹，如图3－4(h)和图3－4(j)中所示。椭圆上任一点P的位置由为
角而定，椭圆的长半轴为c，短半轴为a，KP的表达式
式中之Q为裂纹形状系数，取决于a/2c及σ/σys，可由图3－4(h)中查出。椭圆裂纹上各处的应力强度因子是不同的，在短半轴上最大，在长半轴上最小。圆形裂纹是椭圆裂纹的特殊情况，这时
，
，
。
(9)当板厚为无限大，表面有半椭圆的裂纹时，也如图3－4(h),实际上这是工程结构件最常见的缺陷形式，例如压力容器与管道，其脆性破坏大多是从表面缺陷处开始的。但表面裂纹与穿透裂纹不同，它是一个三维问题而不是一个二维问题，这在数学上处理起来非常困难，所以目前只有近似解法。
，Q值仍由图3－4(h)所示曲线中查得。
3.7 裂纹尖端的塑性区
根据线弹性力学，由公式，当，，但实
际上对一般金属材料，当应力超过材料的屈服强度，将发生塑性变形，在裂纹尖端将出现塑性区。讨论塑性区的大小是有意义的。一方面这是因为断裂是裂纹的扩展过程，裂纹扩展所需的能量主要是消耗于塑性变形功，材料的塑性区尺寸大，消耗的塑性变形功也越大，材料的断裂韧性K1c相应地也就越大。另一方面，由于我们是根据线弹性断裂力学来讨论裂纹尖端的应力应变场的，当塑性区尺寸过大时，线弹性断裂理论是否适用就成了问题。因此我们必须讨论不同应力状态的塑性区以及塑性区尺寸决定于哪些因素。
由
屈服准则，材料在三向应力状态下的屈服条件为
式中σ1、σ2和σ3为主应力，σs为材料的屈服强度。
将主应力公式代入Von Mises 屈服准则中，便可得到裂纹尖端塑性区的边界方程，即
对于厚板，表面是平面应力状态，而心部则为平面应变状态。
对平面应力状态， =0，屈服条件，可得
，=0，代入Mises
σys=σs
对平面应变状态，同样有如代入Mises屈服准则，整理后可得
，但，
如以代入，可得平面应变状态下，
σys=3σs
以上是根据Mises屈服判据推导的结果，如用Tresca判据也会得出同样的结论。但实际上平面应变状态下的有效屈服强度并没有这么大，对具有环形缺口的圆柱形试样进行拉伸试验，所得到的σ
ys
为
用其他试验方法测得的塑性约束系数(σys/σs)也大致为1.5-2.0。因此，最常用的塑性区公式，其尺寸的表达式为
(平面应力)
(平面应变)
必须记住塑性区尺寸r0正比例于K1的平方，当K1增加r0也增加，但反比于材料屈服强度的平方，材料的屈服强度越高，塑性区的尺寸越小，从而其断裂韧性也越低.
3.8 塑性区及应力强度因子的
修正
如右图，照线弹性断裂力学
，其应力分布为虚线
DC，当弹性应力超过材料的有效屈服强度σys，便产生塑性变形，使应力重新分布。当塑性区一经产生并