且修正之后，原来裂纹尖端的应力分布已经改变。在图3-5中，原来的应力分布为DBC线，现改变为BEF线。这时便产生了一个问题：线弹性力学是否还适用？在什么条件下才能近似的运用？此时的应力强度因子该如何计算？从图中可以看出塑性区修正后，应力强度因子增大了，在距离裂纹尖端为r处，σy*大于σy。 欧文(Irwin)认为，如果裂纹尖端塑性区尺寸远小于裂纹尺寸，大致说来,
，这时称为小范围屈服。在这种情况下，只要将线弹性断裂力学得出
的公式稍加修正，就可以获得工程上可以接受的结果。基于这种想法，欧文(Irwin)提出等效模型概念。
因为裂纹尖端的弹性应力超过材料的屈服强度之后，便产生应力松弛。应力松弛可以有两种方式，一种是通过塑性变形，上面讲的使塑性区扩大便是这种方式。另一种方式则是通过裂纹扩展，当裂纹扩展了一小段距离后，同样可使裂纹尖端的应力集中得以松弛。既然这两种应力松弛的方式是等效的，为了计算K值，可以设想裂纹的长度增加了，由原来的长度a增加到a′=a+ry，而裂纹尖端的原点由O点移动了ry的距离达到了O′点。这一模型就称之为Irwin等效模型，而a′=a+ry就称为等效裂纹长度。
对于这个等效裂纹长度来说，如仍以无限宽平板中心具有穿透裂纹为例，其应力强度因子应该为
而裂纹线上的应力分量则为
如图3-6，式中r′为以裂纹尖端的原点在O′的坐标，即
。
因为塑性区和应力强度因子是紧密相关的，塑性区修正了，应力强度因子K1′已不是原来的K1了，也要跟着修正，通常用逐次逼近法。计算过程如下：
(1)等效应力强度因子K′，对于无限宽平板中心穿透裂纹
(平面应力)
(平面应变)
(2)将上述的ry代人得出第一次修正的K1′，ry公式中的K1已不是原始的K1值，而是K′
(平面应力)
(平面应变)
综上所述，对无限宽平板中心有穿透裂纹的情况来说，为保证小范围屈服，线弹性断裂力学的有效，其塑性区尺寸和裂纹长度相比，要小于1/10，或者工作应力与材料屈服强度相比，要小于1/2，这时应力强度因子的相对误差小于7％，在工程允许的精度范围。对于常用的三点弯曲试样或紧凑拉伸试样，这
时的才能保证K的近似解，其相对误差小于7％。
3.9 G1和K1的关系
我们讲了两种断裂判据，一种是G=G1c，另一种是K=K1c，前者是从能量平衡的观点来讨论断裂，而后者则是从裂纹尖端应力场的角度来讨论断裂的。这两个公式的右端都是反映材料固有性能的材料常数，是材料的断裂韧性值。从研究
断裂的历史看，早在1921年Griffith就已从能量平衡的观点来考虑断裂的问题了，而采用应力强度因子的概念，是直到1957年才由Irwin正式提出的。 经过讨论和公式推导，我们可得：
G1=K12/E (平面应力) G1=K12/E′ (平面应变) 上面给出了这两种断裂判据，即一个是从系统能量变化的角度阐述的G判据，另一个则是从裂纹尖端应力场来表示的K判据，这两者完全是等效的，且有可互相换算的关系。似乎在应用中随便那一种都是可以的，但是在实际应用中用K判据更方便一些。这是因为对于各种裂纹的应力强度因子计算在断裂力学中已积累了很多的资料，现已编有应力强度因子手册，多数情况可从手册中查出K的表达式，而G的计算则资料甚少。另一方面，K1c和G1c虽然都是材料固有的性能，但从实验测定来说,K1c更容易些，因此多数材料在各种热处理状态下所给出的是K1c的实验数据。这是K判据相对于G判据的两个优点。但是，G判据的物理意义更加明确，便于接受，所以两者既是统一的，由各有利弊。
3.10 影响断裂韧性的因素
如能提高断裂韧性，就能提高材料的抗脆断能力。因此必须了解断裂韧性是受那些因素控制的。影响断裂韧性的高低，有外部因素如板材或构件截面的尺寸，服役条件下的温度和应变速率等，而内部因素则有材料的强度，材料的合金成分和内部组织。 3.10.1 外部因素
材料的断裂韧性随着板材或构件截面尺寸的增加而逐渐减小，最后趋于一稳定的最低值，即平面应变断裂韧性K1c。这是一个从平面应力向平面应变的转化过程。
断裂韧性随温度的变化关系和冲击韧性的变化相类似。随着温度的降低，断裂韧性可以有一急剧降低的温度范围，低于此温度范围，断裂韧性趋于一数值很低的下平台，温度再降低也不大改变了。
应变速率的影响和温度的影响相似。增加应变速率和降低温度的影响是一致的。 3.10.2 内部因素
作为材料内部成分与组织因素的综合，材料强度是一宏观表现。从力学上而不是冶金学的角度，人们更是首先从材料的强度变化来探讨断裂韧性的高低。人们只要知道材料强度是多少，就可大致推断材料的断裂韧性是多少。图3-7表示了AISI4340(40CrNiMo)钢的断裂韧性和经淬火、回火热处理成不同屈服强度后的相互关系。注意到断裂韧性是随材料强度的降低而不断升高的。这一试验结果是有代表性的，大多数低合金钢均有此变化规律。即使像马氏体时效钢(18Ni)也是如此，只不过同样强度下断裂韧性值较高些而已。
细化晶粒是提高低、中强度钢低温断裂韧性的有效措施之一。Hahn和Rosenfied提出了一个材料断裂韧性、屈服强度和晶粒尺寸间关系的经验计算公式(对铁素体-珠光体钢，指的是铁素体晶粒；对经过淬火回火组织，则指的是原始奥氏体晶粒尺寸。)
式中Q为塑性约束系数为2.5-3.0。当低碳钢发生应变硬化时，可以假定a值约为20m-1/2。
为在一定温度和应变速率下的屈服强度。
在个别情况下。曾发现对高强度钢AISI4340,4130,进行1200。C 的超高温淬火，断裂韧性至少较正常淬火时的值高出50%以上，但其冲击韧性却大为降低，这不能简单地归结为晶粒大小的影响，也不能改变晶粒大小的断裂韧性的影响一般规律。
夹杂物与第二相的尺寸及间距对断裂韧性的影响也很显著。第二相的尺寸越小，质点间距越大，断裂韧性就越高。Cox和Low曾对比了18Ni的马氏体时效钢与AISI4340，发现在同强度下马氏体时效钢较钢4340(40CrNiMo)的韧性高得多。究其原因，在电镜下，钢4340先在大夹杂物MnS处萌生空穴，然后与较小尺寸的渗碳体产生的小空穴相连，这样的微孔聚合构成了扩展裂纹。而18Ni在时效过程中析出的金属间化合物要比渗碳体尺寸小一个数量级，这样小的颗粒是不易在基体的界面上萌生空穴的。第二相质点间距越大，空穴的长大与聚合越困难，在电镜下观察到的韧窝越大且越深，这表示消耗的变形功越大。Prist对0.45C-Ni-Cr-Mo-V得出了一个半径经验公式
式中σ*为一常数等于2000MPa，即为第二相间距。 3.10.3 K1c与其它力学性能的关系
K1c的测试与常规的力学性能测试相比，要复杂些，因此人们总是希望从已知的常规力学性能数据，能预测出K1c来。为了解K1c的本质，K1c是否为材料独立的力学性能指标，必须寻找K1c和其它基本力学性能间的关系。
对产生滑移的穿晶解理断裂，一般认为K1c是与在—定特征距离l0*内达到了解理断裂应力σf*有关，而特征距离决定于材料的组织参数。
对于韧性断裂，一般认为，在一临界距离l0*的范围内其应变达到了某一临界应变值
就发生断裂。