高中必修一一些重点
函数值域求法十一种 .......................................................................................................... 2 复合函数 .............................................................................................................................. 9 一、复合函数的概念 .................................................................................................... 9 二、求复合函数的定义域： ........................................................................................ 9 复合函数单调性相关定理 ................................................................................................ 10 函数奇偶性的判定方法 .................................................................................................... 10 指数函数： ........................................................................................................................ 12 幂函数的图像与性质 ........................................................................................................ 15
1
函数值域求法十一种
1. 直接观察法
对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 例1. 求函数
解：∵x?0
y?1x的值域。
1?0x∴
显然函数的值域是：(??,0)?(0,??) 例2. 求函数y?3?x的值域。
解：∵x?0
??x?0,3?x?3 故函数的值域是：[??,3]
2. 配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
2 例3. 求函数y?x?2x?5,x?[?1,2]的值域。
2解：将函数配方得：y?(x?1)?4 ∵x?[?1,2]
由二次函数的性质可知：当x=1时，ymin?4，当x??1时，ymax?8 故函数的值域是：[4，8]
3. 判别式法
1?x?x2y?1?x2的值域。 例4. 求函数
解：原函数化为关于x的一元二次方程
(y?1)x2?(y?1)x?0 （1）当y?1时，x?R ??(?1)2?4(y?1)(y?1)?0
13?y?2 解得：2?13?1??,?（2）当y=1时，x?0，而?22? ?13??2,2?? 故函数的值域为?
例5. 求函数y?x?x(2?x)的值域。
22解：两边平方整理得：2x?2(y?1)x?y?0（1） ∵x?R
2∴??4(y?1)?8y?0
解得：1?2?y?1?2
但此时的函数的定义域由x(2?x)?0，得0?x?2
22由??0，仅保证关于x的方程：2x?2(y?1)x?y?0在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，
2
?13??2,2??。 即不能确保方程（1）有实根，由 ??0求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为?可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。 ∵0?x?2
?y?x?x(2?x)?0
?ymin?0,y?1?2代入方程（1）
解得：
x1?2?2?2422?[0,2]
2?2?242x1?2即当时，
原函数的值域为：[0,1?2]
注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
4. 反函数法
直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
3x?4 例6. 求函数5x?6值域。
x?解：由原函数式可得：则其反函数为：
4?6y5y?3
y?4?6y3x?5x?3，其定义域为：5
3?????,?5? 故所求函数的值域为：?
5. 函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。
ex?1y?xe?1的值域。 例7. 求函数
ex?解：由原函数式可得：
x∵e?0 y?1?0y?1∴
y?1y?1
解得：?1?y?1
故所求函数的值域为(?1,1)
cosxsinx?3的值域。 例8. 求函数
解：由原函数式可得：ysinx?cosx?3y，可化为：
y?y2?1sinx(x??)?3y
3ysinx(x??)?y2?1 即
∵x?R
∴sinx(x??)?[?1,1]
3
?1?即解得：
3yy?1?2?1
22?y?44
?22??,??44??? 故函数的值域为?
6. 函数单调性法 例9. 求函数y?2x?5?log3x?1(2?x?10)的值域。
解：令y1?2,y2?log3x?1 则y1,y2在[2，10]上都是增函数 所以y?y1?y2在[2，10]上是增函数 当x=2时，
x?5ymin?2?3?log32?1?18
5当x=10时，ymax?2?log39?33
?1??8,33?? 故所求函数的值域为：?
例10. 求函数y?x?1?x?1的值域。 2y?x?1?x?1 解：原函数可化为：
令y1?x?1,y2?x?1，显然y1,y2在[1,??]上为无上界的增函数
所以y?y1，y2在[1,??]上也为无上界的增函数
2所以当x=1时，y?y1?y2有最小值2，原函数有最大值2显然y?0，故原函数的值域为(0,2]
?2
7. 换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。
例11. 求函数y?x?x?1的值域。
解：令x?1?t，(t?0)
2则x?t?1
13y?t2?t?1?(t?)2?24 ∵
又t?0，由二次函数的性质可知
当t?0时，ymin?1 当t?0时，y??? 故函数的值域为[1,??)
2 例12. 求函数y?x?2?1?(x?1)的值域。
2解：因1?(x?1)?0 2即(x?1)?1
4
故可令x?1?cos?,??[0,?]
∴
y?cos??1?1?cos2??sin??cos??1 ?2sin(???4)?1
∵
0????,0????54?4? ??22?sin(???4)?1?0?2sin(???4)?1?1?2
故所求函数的值域为[0,1?2] x3?x例13. 求函数
y?x4?2x2?1的值域。 解：原函数可变形为：
?12?2x1?x2y1?x2?1?x2 2x1?可令x?tg?，则有1?x2sin2?,x2?1?x2?cos2?
?y??12sin2??cos2???14sin4? 当
??k?2??8时，y?1max4 当
??k?2??18时，ymin??4 而此时tan?有意义。 ?故所求函数的值域为???11?4,4?? ?1)x??例14. 求函数y?(sinx?1)(cosx，
??????12,2??的值域。解：y?(sinx?1)(cosx?1)
?sinxcosx?sinx?cosx?1
令sinx?cosx?t，则sinxcosx?12(t2?1)
y?12(t2?1)?t?1?12(t?1)2
由t?sinx?cosx?2sin(x??/4) x??且
??????12,2?? 2可得：2?t?2
3232∴当t?2时，ymax?2?2，当
t?2时，y?4?2??3?2,3?2?故所求函数的值域为??422???。 5