2 例15. 求函数y?x?4?5?x的值域。
2解：由5?x?0，可得|x|?5
故可令x?5cos?,??[0,?]
?y?5cos??4?5sin??10sin(??)?44
∵0????
??5??????444
当???/4时，ymax?4?10
当???时，ymin?4?5
故所求函数的值域为：[4?5,4?10]
8. 数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。
22y?(x?2)?(x?8) 例16. 求函数的值域。
解：原函数可化简得：y?|x?2|?|x?8|
上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），B(?8)间的距离之和。
由上图可知，当点P在线段AB上时，y?|x?2|?|x?8|?|AB|?10 当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，y?|x?2|?|x?8|?|AB|?10 故所求函数的值域为：[10,??]
22 例17. 求函数y?x?6x?13?x?4x?5的值域。
解：原函数可变形为：
y?(x?3)2?(0?2)2?(x?2)2?(0?1)2
上式可看成x轴上的点P(x,0)到两定点A(3,2),B(?2,?1)的距离之和，
22y?|AB|?(3?2)?(2?1)?43， min由图可知当点P为线段与x轴的交点时，
故所求函数的值域为[43,??]
22 例18. 求函数y?x?6x?13?x?4x?5的值域。
2222解：将函数变形为：y?(x?3)?(0?2)?(x?2)?(0?1)
上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点B(?2,1)到点P(x,0)的距离之差。
即：y?|AP|?|BP| 由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点P'，则构成?ABP'，根据三角形两边之差
22小于第三边，有||AP'|?|BP'||?|AB|?(3?2)?(2?1)?26
即：?26?y?26
6
（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有||AP|?|BP||?|AB|?26 综上所述，可知函数的值域为：(?26,26]
注：由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A、B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A，B两点在x轴的同侧。
如：例17的A，B两点坐标分别为：（3，2），(?2,?1)，在x轴的同侧；例18的A，B两点坐标分别为（3，2），
(2,?1)，在x轴的同侧。
9. 不等式法
利用基本不等式a?b?2ab,a?b?c?3abc(a,b,c?R)，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。 例19. 求函数
解：原函数变形为：
3?y?(sinx?1212)?(cosx?)?4sinxcosx的值域。 11?sin2xcos2xy?(sin2x?cos2x)??1?ces2x?sec2x?3?tan2x?cot2x?33tan2xcot2x?2?5 当且仅当tanx?cotx
?x?k??4时(k?z)，等号成立 即当
故原函数的值域为：[5,??)
例20. 求函数y?2sinxsin2x的值域。
解：y?4sinxsinxcosx
?4sin2xcosx y?16sin4xcos2x?8sin2xsin2x(2?2sin2x)?8[(sin2x?sin2x?2?2sin2x)/3]3?642722
当且仅当sinx?2?2sinx，即当由
sin2x?23时，等号成立。
y2?648383??y?99 27可得：
?8383?,???99??? 故原函数的值域为：?
10. 一一映射法
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原理：因为y?ax?b(c?0)cx?d在定义域上x与y是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。 y?1?3x 例21. 求函数
2x?1的值域。
??x|x??1或x??1?解：∵定义域为?22?? 由
y?1?3xx?1?y2x?1得2y?3 x?1?y11?y故
2y?3??2x???1或2y?32 解得
y??32或y??32 ????,?3??3?故函数的值域为?2??????2,????
11. 多种方法综合运用 例22. 求函数
y?x?2x?3的值域。
解：令t?x?2(t?0)，则x?3?t2?1
y?t1t2?1??11（1）当t?0时，t?12t，当且仅当t=1，即x??1时取等号，所以
0?y?2（2）当t=0时，y=0。
?综上所述，函数的值域为：??0,1?2?? 注：先换元，后用不等式法
例23. 求函数?1?x?2x2?x3?x4y1?2x2?x4的值域。
解：y?1?2x2?x4x?x31?2x2?x4?1?2x2?x4 ?1?x2???2?1?x?x?2???1?x2 2???1?x2???cos2?令x?tan2，则??1?x2??
x11?x2?2sin?
?y?cos2??112sin???sin2??2sin??1 ????1?217?sin??4???16 117∴当
sin??4时，ymax?16 当sin???1时，ymin??2
??此时
tan172都存在，故函数的值域为???2,?16??
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注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用sin?的有界性。
总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。
复合函数
一、复合函数的概念
如果y是u的函数，而u是x的函数，即y = f ( u ), u = g ( x ) ,那么y关于x的函数y = f [g ( x ) ]叫做函数f 与 g 的复合函数，u 叫做中间变量。
注意：复合函数并不是一类新的函数，它只是反映某些函数在结构方面的某种特点，因此，根据复合函数结构，将它折成几个简单的函数时，应从外到里一层一层地拆，注意不要漏层。
另外，在研究有关复合函数的问题时，要注意复合函数的存在条件，即当且仅当g ( x )的值域与f ( u )的定义域的交集非空时，它们的复合函数才有意义，否则这样的复合函数不存在。
例：f ( x + 1 ) = (x + 1) 可以拆成y = f ( u ) = u2 , u = g ( x ) , g ( x ) = x + 1 ,即可以看成f ( u ) = u2 与g ( x ) = x + 1 两个函数复合而成。
2二、求复合函数的定义域：
（1）若f(x)的定义域为a ≤ x ≤ b,则f [ g ( x ) ] 中的a ≤ g ( x ) ≤ b ，从中解得x的范围，即为f [g ( x )]的定义域。
例1、y = f ( x ) 的定义域为[ 0 ， 1 ]，求f ( 2x + 1 )的定义域。 答案： [-1/2 ，0 ]
例2、已知f ( x )的定义域为（0，1），求f ( x 2)的定义域。 答案： [-1 ，1]
（2）若f [ g ( x ) ]的定义域为（m , n）则由m < x < n 确定出g ( x )的范围即为f ( x )的定义域。
例3、已知函数f ( 2x + 1 )的定义域为（0，1），求f ( x ) 的定义域。 答案： [ 1 ，3]
（3）由f [ g ( x ) ] 的定义域，求得f ( x )的定义域后，再求f [ h ( x ) ]的定义域。
例4、已知f ( x + 1 )的定义域为[-2 ，3],求f ( 2x 2 – 2 ) 的定义域。 答案：[-√3/2 ，-√3]∪[√3/2 ，√3] 三、求复合函数的解析式。
1、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。
例1 设f(x)是一次函数，且f[f(x)]?4x?3，求f(x) 解：设f(x)?ax?b (a?0)，则
f[f(x)]?af(x)?b?a(ax?b)?b?a2x?ab?b
?a?2?a2?4?a??2 或 ?? ???b?1b?3??ab?b?3??f(x)?2x?1 或 f(x)??2x?3
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2、 配凑法：已知复合函数f[g(x)]的表达式，求f(x)的解析式，f[g(x)]的表达式容易配成g(x)的运算形式时，
常用配凑法。但要注意所求函数f(x)的定义域不是原复合函数的定义域，而是g(x)的值域。
11)?x2?2 (x?0) ，求 f(x)的解析式 xx1121解：?f(x?)?(x?)?2， x??2
xxx例2 已知f(x? ?f(x)?x2?2 (x?2)
3、换元法：已知复合函数f[g(x)]的表达式时，还可以用换元法求f(x)的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的
定义域的变化。
例3 已知f(x?1)?x?2x，求f(x?1) 解：令t?x?1，则t?1，x?(t?1)2
f(x?1)?x?2x
?f(t)?(t?1)2?2(t?1)?t2?1, ?f(x)?x2?1 (x?1)
?f(x?1)?(x?1)2?1?x2?2x (x?0)
复合函数单调性相关定理
1、引理1 已知函数y=f［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=f［g(x)］在区间(a,b)上是增函数
证 明 在区间(a,b)内任取两个数x1,x2，使a＜x1＜x2＜b.
因为u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，所以g(x1)＜g(x2),记u1=g(x1),u2=g(x2)即u1＜u2,且u1,u2∈(c,d). 因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，所以f(u1)＜f(u2),即f［g(x1)］＜f［f(x2)］， 故函数y=f［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.
2、引理2 已知函数y=f［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)
上是减函数，那么，复合函数y=f［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.
证明 在区间(a,b)内任取两个数x1,x2，使a＜x1＜x2＜b.
因为函数u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，所以g(x1)＞g(x2),记u1=g(x1),u2=g(x2)即u1＞u2,且u1,u2∈(c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(u1)＜f(u2),即f［g(x1)］＜f［f(x2)］，故函数y=f［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.
3、总结 同增异减
函数奇偶性的判定方法
1．定义域判定法
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