例1 判定f(x)?(x?1)（非奇非偶） x?2的奇偶性．2．定义判定法f(x)与f（-x）关系
例2 判断f(x)?x?a?x?a的奇偶性．（偶） 3．等价形式判定法
例3 判定f(x)?1?x2?x?11?x?x?12的奇偶性．（奇）
评注：常用等价变形形式有：若f(x)?f(?x)?0或
f(?x)??1，则f(x)为奇函数；若f(?x)?f(x)?0或f(x)f(?x)． ?1，则f(x)为偶函数（其中f(x)?0）
f(x)4．性质判定法
例4 若a?0，f(x)(x???a，a?)是奇函数，g(x)(x?R)是偶函数，试判定?(x)?f(x)g(x)的奇偶性． 评注：在两个函数（常函数除外）的公共定义域关于原点对称的前提下：①两个偶函数的和、差、积都是偶函数；②两个奇函数的和、差是奇函数，积是偶函数；③一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数． 5、练习
（1）.(★★★★)函数f(x)在R上为增函数，则y=f(|x+1|)的一个单调递减区间是_ (－∞,－1] （2）(★★★★★)若函数f(x)=ax3+bx2+cx+d满足f(0)=f(x1)=f(x2)=0 (0 (1)令t=|x+1|,则t在(－∞,－1]上递减，又y=f(x)在R上单调递增，∴y=f(|x+1|)在(－∞,－1]上递减. (2)∵f(0)=f(x1)=f(x2)=0,∴f(0)=d=0.f(x)=ax(x－x1)(x－x2)=ax3－a(x1+x2)x2+ax1x2x， ∴b=－a(x1+x2),又f(x)在［x2,+∞)单调递增，故a>0.又知0＜x1＜x,得x1+x2>0, ∴b=－a(x1+x2)＜0. x2,+∞)上单调 2.奇偶性 记F(x)=f[g(x)]——复合函数，则F(-x)=f[g(-x)]， 如果g(x)是奇函数，即g(-x)=-g(x) ==> F(-x)=f[-g(x)]， 则当f(x)是奇函数时，F(-x)=-f[g(x)]=-F(x)，F(x)是奇函数； 当f(x)是偶函数时，F(-x)=f[g(x)]=F(x)，F(x)是偶函数。 如果g(x)是偶函数，即g(-x)=g(x) ==> F(-x)=f[g(x)]=F(x)，F(x)是偶函数。 所以由两个函数复合而成的复合函数，当里层的函数是偶函数时，复合函数是偶函数，不论外层是怎样的函数；当里层的函数是奇函数、外层的函数也是奇函数时，复合函数是奇函数，当里层的函数是奇函数、外层的函数是偶函数时，复合函数是偶函数。 在其它的场合，就不能如此单纯地判断复合函数的奇偶性了。 二 加减函数 1.增减性 对于F(x)=g(x)+f(x) ，增+增=增 ，减+减=减， 减+增则无定则 2.奇偶性 对于F(x)=g(x)+f(x) , 奇+奇=奇, 奇-奇=奇, 偶+偶=偶 ,偶-偶=偶.奇+偶无定则 三 相乘函数 1.增减性 11 对于F(x)=g(x)*f(x) ,一切皆无定则.知道你会不信 ,很好 ,我来举个例子:f(x)=g(x)=-x ,都是减函数,而F(x)=x^2,有增有减. 2.奇偶性 对于F(x)=g(x)*f(x), 同样满足乘法定则(其实这名字是我取的,不要说出去,不然没人听的懂). 即 奇*偶=奇 ,偶*偶=偶 ,奇*奇=偶 除法就不用说了,F(x)=g(x)/f(x) ,可以看成F(x)=g(x)[1/f(x)], 自己推. 指数函数： ?aa?0且a?1定义：函数y叫指数函数。 定义域为R，底数是常数，指数是自变量。 要求函数y?axx??中的a必须a?。因为若a?0时，y???4?，当x?0且a?1x1时，函数值不存在。 4xxx，y?0，当x?0，函数值不存在。a?时，y?1对一切x虽有意义，函数值恒为1，但y?1 a?01x的反函数不存在， 因为要求函数y?ax中的a?。 0且a?1 ?1?x1、对三个指数函数y?的图象的认识。 2，y?y?10??，??2图象特征与函数性质： 图象特征 函数性质 （1）x取任何实数值时，都有a?0； （2）无论a取任何正数，x?0时，y?1； xx（1）图象都位于x轴上方； （2）图象都经过点（0，1）； （3）y?2，y?10在第一象限内的纵坐xx?则ax?1?x?0，（3）当a?时，? 1x?则a?1?x?0，标都大于1，在第二象限内的纵坐标都小于1，?1?y???的图象正好相反； ?2?x?则ax?1?x?0， 当0时，? ?a?1x?则a?1?x?0， x （4）y时，y?a是增函数， ?2，y?10的图象自左到右逐渐（4）当a?1xx?1?上升，y???的图象逐渐下降。 ?2?x当0时，y?a是减函数。 ?a?1x 对图象的进一步认识，（通过三个函数相互关系的比较）： ①所有指数函数的图象交叉相交于点（0，1），如y?2和y?10相交于(0，1)，当x?0时，y?10的图象 x22xxx0?2及10?2。 在y?2的图象的上方，当x?0，刚好相反，故有1 ?2?2?1?x②y?2与y???的图象关于y轴对称。 ?2??1?x0且a?1③通过y?2，y?10，y???三个函数图象，可以画出任意一个函数y?a（a?）的示意图， ?2?xxxx 12 ?1?如y?3的图象，一定位于y?2和y?10两个图象的中间，且过点(0，1)，从而y???也由关于y轴的对称 ?3?xxxx?1?性，可得y???的示意图，即通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。 ?3?2、对数： 定义：如果a?N(a?0且a?1)，那么数b就叫做以a为底的对数，记作b?（a是底数，N 是真数，logaNbx） logaN是对数式。 由于N故logaN中N必须大于0。 ?a?0当N为零的负数时对数不存在。 （1）对数式与指数式的互化。 由于对数是新学的，常常把不熟悉的对数式转化为指数式解决问题，如： b则0.32x?x524?12 求log0.32??52??52?? 解：设log0.32???x ?4??4??8??8?即??????25??25? 1∴x??2?52?1即log0.32????2?4?x 评述：由对数式化为指数式可以解决问题，反之由指数式化为对数式也能解决问题，因此必须因题而异。如求3?5中的x，化为对数式x?log35即成。 （2）对数恒等式： 由a ?N(1)b?logN(2)a将（2）代入（1）得alogaNb ?N运用对数恒等式时要注意此式的特点，不能乱用，特别是注意转化时必须幂的底数和对数的底数相同。 计算： ?3??log123 解：原式?31?log1223?1?????3?log?2123。 （3）对数的性质： ①负数和零没有对数； ②1的对数是零； ③底数的对数等于1。 （4）对数的运算法则： ①l ogMN?logM?logNM，N?R??aaa???og?logM?logNM，N?R②l aaa③l ogN?nlogNN?RaaMNn???1n????? nog?logNNR? ④laNa??? 13 3、对数函数： 定义：指数函数y?a(a?0且a?1)的反函数 x?(0,??)叫做对数函数。 y?logaxx 1、对三个对数函数y ?log，y?log，2x1x2y?lgx的图象的认识。 图象特征与函数性质： 图象特征 （1）图象都位于 y轴右侧； （2）图象都过点（1，0）； + 函数性质 （1）定义域：R，值或：R； （2）x?时，y?0。即l； 1og?0a1（3）当a?1时，若x?1，则y?0，若，则y?0； 0?x?1时，若x?0，则y?0，若?a?1在x轴上方，当0时，图象在x轴下当0?x?0时，则y?0； 0?x?1方，y?logx与上述情况刚好相反； （3）y?，y?lgx当x?时，图象1log2x12时，y?是增函数； 1log（4）y从左向右图象是上（4）a??logx，y?lgxax2升，而y?log1x从左向右图象是下降。 2时，y?是减函数。 0?a?1logax对图象的进一步的认识（通过三个函数图象的相互关系的比较）： （1）所有对数函数的图象都过点（1,0），但是y?与y?lgx在点（1,0）曲线是交叉的，即当x?0时，log2x的图象在y?lgx的图象上方；而0时，y?的图象在y?lgx的图象的下方，故有：?x?1y?loglog2x2x；l。 log.15?lg1.5og0.1?lg0.122 （2）y?的图象与y?log1x的图象关于x 轴对称。 log2x2（3）通过y?，y?lgx，y?log1x三个函数图象，可以作出任意一个对数函数的示意图，如作y?loglog2x3x2的图象，它一定位于y?和y?lgx两个图象的中间，且过点（1,0），x?0时，在y?lgx的上方，而位于log2x的下方，0时，刚好相反，则对称性，可知y?log1x的示意图。 ?x?1y?log2x3 因而通过课本上的三个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。 4、对数换底公式： logaNlogN?blogab LN?log(其中e?2.71828…)称为N的自然对数neNLN?log称为常数对数g10N 由换底公式可得： lgNlgNLN???2.303lgN nlge0.434314 由换底公式推出一些常用的结论： （1）logb?an1 或logb·loga?1ablogab （2）loganbm?（4）logana?mmlogab n oglog（3）l nb?abam n5、指数方程与对数方程* 定义：在指数里含有未知数的方程称指数方程。 在对数符号后面含有未知数的方程称对数方程。 由于指数运算及对数运算不是一般的代数运算，故指数方程对数方程不是代数方程而属于超越方程。 指数方程的题型与解法： 名称 基本型 同底数型 不同底数型 需代换型 题型 af?x??bf(x)?(x) a?af?x?x??? a?b解法 取以a为底的对数f? xlog??ab取以a为底的对数f?x?x???? 取同底的对数化为fx ·lga?x·lgb????换元令t?a转化为t的代数方程 xFax?0 ???对数方程的题型与解法： 名称 基本题 同底数型 需代换型 题型 logxb??af? logfx?log?x????aa解法 对数式转化为指数式f?x??a b转化为f?x?x????（必须验根） 换元令t?l转化为代数方程 ogaxF(logax)?0 幂函数的图像与性质 一、幂函数的定义 ? 213?14一般地，形如y?x（x?R）的函数称为幂孙函数，其中x是自变量，?是常数.如y?x,y?x,y?x等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数. 分数指数幂 正分数指数幂的意义是：a负分数指数幂的意义是：a1、 幂函数的图像与性质 mn?nam（a?0，m、n?N，且n?1） ?mn?1nam（a?0，m、n?N，且n?1） 幂函数y?x随着n的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法．熟练掌握 ny?xn，当n??2,?1,? 11,,3的图像和性质，列表如下． 2315