《带电粒子在电场、磁场中的运动》计算题专题
【知识要点】
1、带电粒子运动型计算题
?带电粒子在电场中运动与在磁场中运动的最显著差别．
带电粒子垂直射入匀强电场做类平抛运动，而垂直射入匀强磁场作匀速圆周运动。 ?正确分析带电粒子的受力及运动特征是解决问题的前提． ①带电粒子在复合场中做什么运动，取决于带电粒子所受的合外力及初始状态的速度，因此应把带电粒子的运动情况和受力情况结合起来进行分析，当带电粒子在复合场中所受合外力为零时，做匀速直线运动（如速度选择器）。
②带电粒子所受的重力和电场力等值反向，洛伦磁力提供向心力，带电粒子在垂直于磁场的平面内做匀速圆周运动．
③带电粒子所受的合外力是变力，且与初速度方向不在一条直线上，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子的运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线，由于带电粒子可能连续通过几个情况不同的复合场区，因此粒子的运动情况也发生相应的变化，其运动过程可能由几种不同的运动阶段组成． ?灵活选用力学规律是解决问题的关键
①当带电粒子在复合场中做匀速运动时，应根据平衡条件列方程求解．
②当带电粒子在复合场中做匀速圆周运动时往往应用牛顿第二定律和平衡条件列方程联立求解． ③当带电粒子在复合场中做非匀变 速曲线运动时，应选用动能定理或能量守恒定律列方程求解． 说明：由于带电粒子在复合场中受力情况复杂，运动情况多变，往往出现临界问题，这时应以题目中的“恰好”、“最大”、“最高”、“至少”等词语为突破口，挖掘隐含条件，根据临界条件列出辅助方程，再与其他方程联立求解． 2、带电体在磁场中的临界问题的处理基本思路
（1）画轨迹：即画出运动轨迹，并确定圆心，用几何方法求半径．
（2）找联系：轨道半径与磁感应强度、运动速度相联系，偏转角度与圆心角、运动时间相联系，在磁场中运动的时间与周期相联系．
（3）用规律：即牛顿第二定律和圆周运动的规律，特别是周期公式、半径公式． 3、带电粒子在有界磁场中运动的几种常见情形 （1）直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示)
（2）平行边界(存在临界条件，如图所示)
1
（3）圆形边界(沿径向射入必沿径向射出，如图所示) 4、带电粒子在匀强磁场中的运动
找圆心、求半径、确定转过的圆心角的大小是解决这类问题的前提，确定轨道半径和给定的几何量之间的关系是解题的基础，建立运动时间t和转过的圆心角θ之间的关系是解题的关键． （1）圆心的确定
①已知入射点、出射点、入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点分别作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图10甲所示，图中P为入射点，M为出射点)．
②已知入射方向、入射点和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨迹的圆心(如图乙所示，P为入射点，M为出射点)． （2）半径的确定
可利用物理学公式或几何知识(勾股定理、三角函数等)求出半径大小．
（3）运动时间的确定：电荷在匀强电场和匀强磁场中的运动规律不同．运动电荷穿出有界电场的时间与其入射速度的方向和大小有关，而穿出有界磁场的时间则与电荷在磁场中的运动周期有关．在解题过程中灵活运用运动的合成与分解和几何关系是解题关键；粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为θ时，其运动时间表示为：t??T(或t?R?)
v2?真题研究
1．(2015浙江9月23题)某科研小组设计了一个粒子探测装置。如图1所示，一个截面半径为R的圆筒(筒
长大于2R)水平固定放置，筒内分布着垂直于轴线的水平方向匀强磁场，磁感应强度大小为B。图2为圆筒的入射截面，图3为竖直方向过筒轴的切面。质量为m，电荷量为q的正离子以不同的初速度垂直于入射截面射入筒内。圆筒内壁布满探测器，可记录粒子到达筒壁的位置。筒壁上的P点和Q点与入射面的距离分别为R和2R。(离子碰到探测器即被吸收，忽略离子间的相互作用)
(1)离子从O点垂直射入，偏转后到达P点，求该入射离子的速度v0；
(2)离子从OC线上垂直射入，求位于Q点处的探测器接收到的离子的入射速度范围；
(3)若离子以第(2)问求得范围内的速度垂直入射，从入射截面的特定区域入射的离子偏转后仍能到达距入射面为2R的筒壁位置，画出此入射区域的形状并求其面积。
2
2．(2016浙江4月22题)如图为离子探测装置示意图。区域I、区域Ⅱ长均为L=0.10m，高均为H=0.06m。区域I可加方向竖直向下、电场强度为E的匀强电场；区域Ⅱ可加方向垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，区域Ⅱ的右端紧贴着可探测带电粒子位置的竖直屏。质子束沿两板正中间以速度v=1.0×l05m/s水平射入，质子荷质比q
近似为 =1.0×l08C/kg。(忽略边界效应，不计重力)
m
(1)当区域加Ⅱ电场、区域Ⅱ不加磁场时，求能在屏上探测到质子束的外加电场的最大值Emax；
(2)当区域I不加电场、区域Ⅱ加磁场时，求能在屏上探测到质子束的外加磁场的最大值Bmax；
(3)当区域I加电场E小于(1)中的Emax，质子束进入区域Ⅱ和离开区域Ⅱ的位置等高，求区域Ⅱ中的磁场B与区域I中的电场E之间的关系式。
3
3．(2016浙江10月23题)如图所示，在x轴的上方存在垂直纸面向里，磁感应强度大小为B0的匀强磁场，位于x轴下方离子源C发射质量为m、电荷量为q的一束负离子，其初速度大小范围为0～3v0.这束mv20离子经电势差为U＝的电场加速后，从小孔O(坐标原点)垂直x轴并
2q垂直磁场射入磁场区域，最后打到x轴上．在x轴上2a～3a区间水平固mv0定放置一探测板(a＝)．假设每秒射入磁场的离子总数为N0，打到x
qB0
轴上的离子数均匀分布(离子重力不计)．
(1)求离子束从小孔O射入磁场后打到x轴的区间； (2)调整磁感应强度的大小，可使速度最大的离子恰好打在探测板的右端，求此时的磁感应强度大小B1； (3)保持磁感应强度B1不变，求每秒打在探测板上的离子数N；若打在板上的离子80%被板吸收，20%被反向弹回，弹回速度大小为打板前速度大小的0.6倍，求探测板受到的作用力大小．
1mv12
解析：(1)对于初速度为0的粒子：qU＝mv ＝a 1 r1＝2qB0
恰好打在x＝2a的位置
11mv222
对于初速度为3v0的粒子：qU＝mv －m(3v) r＝＝2a， 02
222qB0恰好打在x＝4a的位置
打在x轴上的区间为[2a，4a]
1mv234212
(2)由动能定理：qU＝mv r3＝a 解得：B1＝B0 2－m(3v0) r3＝22qB1231mv132(3)对速度为0的粒子qU＝mv r＝＝a 2r4＝1.5a 4
21qB14a2
粒子打在x轴上的区间为[1.5a，3a] N＝N0＝N0
1.5a3
由动量定理：－Ft＝－0.8Nmv0＋0.2N(－0.6mv0－mv0) 解得：F≈0.75N0mv0
4．(2017浙江4月23题)如图所示，在xoy平面内，有一电子源持续不断地沿x正方向每秒发射出N个速率均为v的电子，形成宽为2b，在y轴方向均匀分布且关于x轴对称的电子流。电子流沿x方向射入一个半径为R，中心位于原点O的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直xoy平面向里，电子经过磁场偏转后均从P点射出。在磁场区域的正下方有一对平行于x轴的金属平行板K和A，其中K板与P点的距离为d，中间开有宽度为2l且关于y轴对称的小孔。K板接地，A与K两板间加有正负、大小均可调的电压UAK，穿过K板小孔达到A板的所有电子被收集且导出，从而形成电流，已知b?3R，d?l，电子质量为m，电荷量为e，
2忽略电子间相互作用。
（1）求磁感应强度B的大小；
（2）求电子流从P点射出时与负y轴方向的夹角θ的范围；
（3）当UAK=0时，每秒经过极板K上的小孔到达板A的电子数； （4）画出电流i随UAK变化的关系曲线（在答题纸的方格纸上）。 【解析】由题意可以知道是磁聚焦问题，即轨到半径：r = R?B?mv eR由图以及几何关系可知，上端电子从P点射出时与负y轴最大夹角θm，由几何关系：
4
sin?m?b??m?600 R同理下端电子从p点射出与负y轴最大夹角也是600
oo范围是?60???60
tan??l2得??45Oy'?Rsin??Rd2
每秒进入两极板间的电子数为n
ny'6???0.82Nb3 n=0.82N
(4)有动能定理得出遏止电压Uc??1mv2 2e与负y轴成450角的电子的运动轨迹刚好与A板相切，其逆过程是类平抛运动，达到饱和电流所需要的最小反向电压U???1mv2或者根据（3）可得饱和电流大小4eimax?0.82Ne
5．【2016·浙江卷】为了进一步提高回旋加速器的能量，科学家建造了“扇形聚焦回旋加速器”。在扇形聚焦过程中，离子能以不变的速率在闭合平衡轨道上周期性旋转。
扇形聚焦磁场分布的简化图如图所示，圆心为O的圆形区域等分成六个扇形区域，其中三个为峰区，三个为谷区，峰区和谷区相间分布。峰区内存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，谷区内没有磁场。质量为m，电荷量为q的正离子，以不变的速率v旋转，其闭合平衡轨道如图中虚线所示。 （1）求闭合平衡轨道在峰区内圆弧的半径r，并判断离子旋转的方向是顺时针还是逆时针；
（2）求轨道在一个峰区内圆弧的圆心角θ，及离子绕闭合平衡轨道旋转的周期T；
（3）在谷区也施加垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B'，新的闭合平衡轨道在一个峰区内的圆心角θ变为90°，求B' 和B的关系。已
知：sin（α±β）=sinαcosβ±cosαsinβ，cosα=1–2sin2（3）谷区内的圆心角???120??90??30?⑧
mv谷区内的轨道圆弧半径r??⑨
?qB[来源学科网Z.X.X.K]
? 2由几何关系rsin??r?sin??⑩
22由三角关系sin30?=sin15?=6?2?
24代入得B??3?1B?
2
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