6．(2014·浙江卷，25)离子推进器是太空飞行器常用的动力系统．某种推进器设计的简化原理如图甲所示，
截面半径为R的圆柱腔分为两个工作区．Ⅰ为电离区，将氙气电离获得1价正离子；Ⅱ为加速区，长度为L，两端加有电压，形成轴向的匀强电场．Ⅰ区产生的正离子以接近0的初速度进入Ⅱ区，被加速后以速度vM从右侧喷出．
R
Ⅰ区内有轴向的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在离轴线处的C点持续射出一定速率范围的电子．假
2设射出的电子仅在垂直于轴线的截面上运动，截面如图乙所示(从左向右看)．电子的初速度方向与中心O点和C点的连线成α角(0<α≤90°)．推进器工作时，向Ⅰ区注入稀薄的氙气．电子使氙气电离的最小速率为v0，电子在Ⅰ区内不与器壁相碰且能到达的区域越大，电离效果越好．已知离子质量为M；电子质量为m，电量为e.(电子碰到器壁即被吸收，不考虑电子间的碰撞) (1)求Ⅱ区的加速电压及离子的加速度大小；
(2)为取得好的电离效果，请判断Ⅰ区中的磁场方向(按图乙说明是“垂直纸面向里”或“垂直纸面向外”)； (3)α为90°时，要取得好的电离效果，求射出的电子速率v的范围； (4)要取得好的电离效果，求射出的电子最大速率vmax与α角的关系．
12Mv2M解析：(1)由动能定理得：eU＝MvM U＝ 22eU
由牛顿第二定律得：Ee＝Ma ① E＝ ②
Lv2M
联立①②得：a＝ 2L
(2)由题知电子在Ⅰ区内不与器壁相碰且能到达的区域越大，电离效果越好，则图乙中显然电子往左半部偏转较好，由左手定则可知，Ⅰ区中磁场方向应为垂直纸面向外． 3v2
(3)设电子运动的最大半径为r，轨迹如图，则：2r＝R，eBv＝m 2r3eBR
所以：v0≤v≤ 4m
R
(4)如图所示：OA＝R－r，OC＝，AC＝r
2根据几何关系得：r?3R3eBR 所以：vmax?
4m(2?sin?)4(2?sin?)
7．(2015·浙江卷，25)使用回旋加速器的实验需要把离子束从加速器中引出，离子束引出的方法有磁屏蔽通道法和静电偏转法等．质量为m，速度为v的离子在回旋加速器内旋转，旋转轨道是半径为r的圆，圆心在O点，轨道在垂直纸面向外的匀强磁场中，磁感应强度为B． 为引出离子束，使用磁屏蔽通道法设计引出器。引出器原理如图所示，一对圆弧形金属板组成弧形引出通道，通道的圆心位于O′点(O′点图中未画出)．引出离子时，令引出通道内磁场的磁感应强度降低，从而使离子从P点进入通道，沿通道中心线从Q点射出。已知OQ长度为L，OQ与OP的夹角为θ． (1)求离子的电荷量q并判断其正负；
(2)离子从P点进入，Q点射出，通道内匀强磁场的磁感应强度应降为B′，求B′；
(3)换用静电偏转法引出离子束，维持通道内的原有磁感应强度B不变，在内外金属板间加直流电压，
6
两板间产生径向电场，忽略边缘效应。为使离子仍从P点进入，Q点射出，求通道内引出轨迹处电场强度E的方向和大小．
mv2
解析：(1)离子做圆周运动Bqv＝ ①
rmv
q＝，根据左手定则可判断离子带正电荷 ②
Br(2)离子进入通道前、后的轨迹如图所示 O′Q＝R，OQ＝L，O′O＝R－r mv2
引出轨迹为圆弧，B′qv＝ ③
Rmv
R＝ ④
qB′
由余弦定理得R2＝L2＋(R－r)2＋2L(R－r)cos θ r2＋L2－2rLcos θ
解得：R＝ ⑤
2r－2Lcos θmv（2r－2Lcos θ）mv
故B′＝＝ ⑥
qRq（r2＋L2－2rLcos θ）(3)电场强度方向沿径向向外 ⑦ mv2
引出轨迹为圆弧Bqv－Eq＝ ⑧
Rmv2（2r－2Lcos θ）
解得：E＝Bv－ ⑨
q（r2＋L2－2rLcos θ）
针对性训练
1．如图所示，在以坐标原点O为圆心、半径为R的半圆形区域内，有相互垂直的匀强电场和匀强磁场，磁感应强度为B，磁场方向垂直于xOy平面向里．一带正电的粒子(不计重力)从O点沿y轴正方向以某一速度射入，带电粒子恰好做匀速直线运动，经t0时间从P点射出． (1)求电场强度的大小和方向；
t0(2)若仅撤去磁场，带电粒子仍从O点以相同的速度射入，经时间恰从半圆形区域的边界射出．求粒子
2运动的加速度大小；
(3)若仅撤去电场，带电粒子仍从O点射入，且速度变为原来的4倍，求粒子在磁场中运动的时间．
【解析】(1)设带正电粒子的质量为m，电荷量为q，初速度大小为v，电场强度为E.可判断出粒子受到的洛伦兹力沿x轴负方向，于是可知电场强度沿x轴正方向 且有qE＝qvB① BR
又R＝vt0② 则E ＝③
t0
t0R
(2)仅有电场时，带电粒子在匀强电场中做类平抛运动在y方向位移为y＝v④ 由②④式得y＝⑤
22设在水平方向位移为x，因射出位置在半圆形区域边界上，于是x＝1t043R
又由x＝a()2⑥ 得a＝2⑦
22t0
(3)仅有磁场时，入射速度v′＝4v，带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，
7
3
R 2
v′2
设轨道半径为r，由牛顿第二定律有qv′B＝m⑧ 又(2)中qE＝ma⑨
r由②③⑦⑧⑨式得r＝即sin α＝
3RR⑩ 由几何知识sin α＝? 32r
3π2πm
，α＝? 带电粒子在磁场中的运动周期 T＝? 23qB
2α3π
T 所以tB＝t. 2π180
则带电粒子在磁场中的运动时间tB＝
2．如图所示，空间存在一个半径为R0的圆形匀强磁场区域，磁场的方向垂直于纸面
向里，磁感应强度的大小为B。有一个粒子源在纸面内沿各个方向以一定速率发射大量粒子，粒子的质量为m、电荷量为＋Q。将粒子源置于圆心，则所有粒子刚好都不离开磁场，不考虑粒子之间的相互作用。 (1)求带电粒子的速率；
B
(2)若粒子源可置于磁场中任意位置，且磁场的磁感应强度大小变为，求粒子在磁场中最长的运动时间
4t；
B
(3)若原磁场不变，再叠加另一个半径为R1(R1>R0)圆形匀强磁场，磁场的磁感应强度的大小为，方向
2垂直于纸面向外，两磁场区域成同心圆，此时该离子源从圆心出发的粒子都能回到圆心，求R1的最小值和粒子运动的周期T。
【解析】(1)粒子离开出发点最远的距离为轨道半径的2倍，即R0＝2r v2qBR0由qvB＝m 得v＝ r2m
Bmv4mv
(2)磁场的大小变为后，粒子的轨道半径为r1＝＝＝2R0
4qB1qB
根据几何关系可以得到，当弦最长时，运动的时间最长，弦为2R0时，圆60°4πm
心角为60°，有t＝T＝ 360°3qB
B
(3)根据矢量合成法则，叠加区域的磁感应强度的大小为，方向向里，
2
B
以R0为半径的区域外磁感应强度的大小为，方向向外。粒子运动的半径为R0。
2根据对称性画出情境图，由几何关系可得R1的最小值为(3＋1)R0 π5π
?＋?·4m3628πmT＝＝
qB3qB2
3．如图所示，在以O1点为圆心、r=0.20m为半径的圆形区域内，存在着方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B=1.0×10-3的匀强磁场（图中未画出）。圆的左端跟y轴相切于直角坐标系原点O,右端与一个足够大的荧光屏MN相切于x轴上的A点，粒子源中，有带正电的粒子（比荷为
q?1?1010C/kg) m不断地由静止进入电压U=800V的加速电场．经加速后，沿x轴正方向从坐标原点O射入磁场区域，粒子重力不计。
8
（1）求粒子在磁场中做圆周运动的半径、速度偏离原来方向的夹角的正切值。
（2）以过坐标原点O并垂直于纸面的直线为轴，将该圆形磁场逆时针缓慢旋转90°，求在此过程中打在荧光屏MN上的粒子到A点的最远距离。
【解析】（1）带电粒子在电场中加速，由动能定理得
进入磁场后做圆周运动，洛伦兹力提供向心力 联立解得
设速度偏离原来方向的夹角为θ，由几何关系得
故速度偏离原来方向的夹角正切值
（2）以O点为圆心，OA为半径做圆弧AC交y轴于C点；以C点为圆心，CO为半径作出粒子运动的轨迹交弧AC于D点。 粒子在磁场中运动的最大圆弧弦长OD＝2r＝0．4 m 由几何关系可知
最远距离
﹣
代入数据可得
﹣
4．如图，质量m=1×103kg、带电量q=1×102C的带电粒子从竖直放置的两电容器极板AB之间贴着A极板以速度vx=4m/s平行极板飞入两极板间，恰从极板B上边缘O点飞出，已知极板长L=0.4m，极板间距d=0.15m．电容器极板上方有宽度为x=0.3m的区域被平均分为区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，其中Ⅰ、Ⅲ有匀强磁场，它们的磁感强度大小相等，均垂直纸面且方向相反，O为DC边中点，P为DC边中垂线上一点，带电粒子从O点离开电场，之后进入磁场，运动轨迹刚好与区域Ⅲ的右边界相切，不计粒子的重力．求： （1）该电容器极板AB所加电压U大小； （2）匀强磁场的磁感应强度大小B；
（3）若现在Ⅰ、Ⅲ区域所加磁感应强度大小B′=2T，粒子射入O点后经过3次偏转打到P点，则OP的距离为多少？
【解析】（1）在AB极板间类平抛，L=vxt
代入数据有：U=0.45V
（2）设粒子出极板后速度大小为v，与水平夹角α
所以：
9
进入右边磁场恰与右边界相切，设在磁场中圆运动半径为r 故有：
解得：r=0.5
对粒子：
所以： 代入数据得：B=1T
（3）当B′=2T时，
粒子射入O点后经过3次偏转打到P点故有：OP=
=1.3m
5．科研人员利用电场和磁场控制带电粒子的运动，从而来进行粒子分选，其原理如图所示：真空环境中，由a、b、c、d四个平行界面分隔出的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域，宽度均为L?0.12m。让包含两种不同的带正电粒子组成的粒子束，从界面a上的P点以速度
v0?5?102m/s垂直界面射入区域Ⅰ，两种粒子带电量均为q?1?10?6C，质量分别为m1?3?10?10kg和m2?4?10?10kg。若在
区域Ⅰ和Ⅲ分别加上垂直纸面、方向相反、磁感应强度大小均为B?1T的匀强磁场，粒子能分成两束从界面d出射；若在区域Ⅰ和Ⅲ分别加上与界面平行、方向相反的匀强电场，粒子也能分成两束从界面d出射。不计粒子重力。
（1）求加磁场时两种粒子在界面d上出射点之间的距离
（2）若加电场时两种粒子在界面d上出射点之间的距离与加磁场时相等，求电场强度的大小
r1?m1v0mv?0.15m r2?20?0.2m qBqB??r1(1?cos?1)?0.06m 粒子1在区域I中的偏移量y1???Ltan?1?0.16m 粒子1在区域II中的偏移量y1????y1??0.06m 粒子1在区域III中的偏移量y1所以粒子1的总偏移量?y1?0.06?0.16?0.06?0.28m
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