v2粒子在磁场中做圆周运动Bqv?m
r解得R?23mv 3Bq（2）带电粒子在磁场中运动的半径不变，粒子在磁场中运动的最大实际为图乙轨迹1所对应的轨迹长度最大，故s?2?r?2?mv Bq12mv 2（3）把磁场撤去，加平行于纸面的电场，从A点射入的粒子，从B点离开时动能最大，说明电场线的方向沿半径OB方向，根据动能定理：Eq?2rcos30??Ek?代入解得：Ek?123Emv mv?2B
15．如图所示，一足够大的光滑绝缘水平桌面上建一直角坐标系xOy，空间存在垂直桌面向下的匀强磁场。一带电小球A（可视为质点）从坐标原点O以速度v沿着轴正方向向射，沿某一轨迹运动，从（0，d）坐标向左离开第I象限。若球A在第I象限的运动过程中与一个静止、不带电的小球B（可视为质点）发生弹性正碰，碰后两球电量均分，不论球B初始置于何处，球A碰后仍沿原轨迹运动。球A、B的质量之比为3:1，不计两球之间的库仑力。 （1）判断带电小球A的电性；
（2）若两球碰后恰好在（-d/2，d/2）坐标首次相遇，求球B在第I象限初始位置的坐标；
（3）若将球B置于（d/2，d/2）坐标处，球A、B碰后，在球B离开第I象限时撤去磁场，再过时间恢复原磁场，要使得两球此后的运动轨迹没有交点，求Δt的最小值。
【解析】（1）球A带正电荷 （2分） d（2）碰撞前后球A运动半径r= 保持不变 2dm1vm1v1 = = （1分） 2qBq/2·B1碰后球A速度v1=v （1分） 2弹性正碰，系统动量守恒： m1v=m1v1+m2v2 （1分） 图1
α 且m = 1 得：v2=3v1=2v （1分） 2m133dd如图1所示，设两球从碰撞位置运动到（－，）半径所夹圆心角是α，球B比球A多转2π，两球角
22速度之比1:3, 则α+2π=3α （1分） dd解得α=π，所以球B被碰时在第一象限的位置为（，） （1分）
2221
（3）如图2所示，球B离开第一象限时，两球运动轨迹半径所夹圆心角是60°。磁场消失后，各自沿着图中速度方向做匀速直线运动，当磁场恢复后，两球又d做匀速圆周运动，且半径相等都是。撤去磁场时，两球运动轨迹的圆心位置2均为图3中的M点，恢复磁场，当两球的圆形运动轨迹恰好相切时，△t为最小，此时球A、B的圆心位置分别为N、S。MN：MS=1:3，见图3，根据几何知识，可得： △t=
27d
（2分） 7v
d
N vB vA 60° 图2
60° S M
图3
16．地球同步卫星在运行若干年的过程中，不可能准确地保持初始的位置和速度，需要及时调整，以保证相对地球的位置长期不变。在同步卫星上安装离子推进器，就可以达到上述目标。离子推进器简化的原理示意图如图所示。推进剂在P处进入，在S处电离为一价正离子，后进入电场区加速（加速电压为U），形成正离子束。在出口处，灯丝C发射的电子注入正离子束中。这种高速粒子流喷射出去，可推动卫星运动。
（1）通常用铯做为推进剂，已知铯离子荷质比为q/m约为7.5×105C?kg-1，加速电压U=2.4kV，求铅离子通过电场区后的速度大小；（以离子发动机为参考系） （2）若离子发动机每秒喷射出N=1015个铯离子质量m=2.2 ×10-22kg，试求推进器获得的平均推力大小； （3）试解释灯丝C发射电子注入正离子束的作用。
17．如图所示，虚线MO与水平线PQ相交于O，二者夹角θ=30°，在MO左侧存在电场强度为E、方向竖直向下的匀强电场，MO右侧某个区域存在磁感应强度为B、垂直纸面向里的匀强磁场，O点处在磁场的边界上，现有一群质量为m、电量为+q的带电粒子在纸面内以速度v
E（0≤v≤）垂直于MO从O点射入磁场，所有粒子通过直
B线MO时，速度方向均平行于PQ向左，不计粒子的重力和
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粒子间的相互作用力，求：
（1）速度最大的粒子自O开始射入磁场至返回水平线POQ所用的时间； （2）磁场区域的最小面积．
【解析】（1）粒子的运动轨迹如图所示，设粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径为R，周期为T，粒子在匀强磁场中运动时间为t1则
mv2mv即：R? ① qBv?qBRT?2?m ② qB1t1?T ③
3设粒子自N点水平飞出磁场，出磁场后应做匀速运动至OM，
设匀速运动的距离为s，匀速运动的时间为t2，由几何关系知：S=Rcotθ ④
s
t2? ⑤
v
31qE2过MO后粒子做类平抛运动，设运动的时间为t3，则：R?t3 ⑥
22m又由题知：v?
E
⑦ B
则速度最大的粒子自O进入磁场至重回水平线POQ所用的时间t?t1?t2?t3 ⑧
解①②③④⑤⑥⑦⑧得：t?2(33??)m 3qB（2）由题知速度大小不同的粒子均要水平通过OM，则其飞出磁场的位置均应在ON的连线上，故磁场范围的最小面积?S是速度最大的粒子在磁场中的轨迹与ON所围成的面积。 扇形OO'N的面积S?1?R2 ⑨ 3?OO'N的面积为：S'?R2cos300sin300?又?S?S?S'
32R ⑩ 44??33m2E2?3m2E2联立①⑦⑨⑩得：?S?()24或(?)24
34qB12qB
18．如图所示为研究电子枪中电子在电场中运动的简化模型示意图。在Oxy平面的ABCD区域内，存在两个大小均为E的匀强电场I和II，两电场的边界均是边长为L的正方形（不计粒子所受重力）。
（1）在该区域AB边的中点处由静止释放电子，求电子离开ABCD区域的位置；
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（2）在电场I区域内适当位置由静止释放电子，电子恰能从ABCD区域左下角D处离开，求所有释放点的位置；
（3）若将左侧电场II整体水平向右移动L（n>1），仍使电子从ABCD区域左下角D处离开（D不随
n电场移动），在电场I区域内由静止释放电子的所有位置。 【解析】（1）设电子的质量为m，电量为e，电子在电场I中做匀加速直线运动，出区域I时的为v0，此后电场II做类平抛运动，假设电子从CD边射出，出射点纵坐标为y，有：eEL?12mv0，2L11eEL2(?y)?at2?()， 222mv0解得：y?11L，所以原假设成立，即电子离开ABCD区域的位置坐标为（－2L，L） 44（2）设释放点在电场区域I中，其坐标为（x，y），在电场I中电子被加速到v1，然后进入电场II做类平抛运动，并从D点离开，有：eEx?1211eEL2mv1，y?at2=() 222mv1L2解得：xy＝，即在电场I区域内满足方程的点即为所求位置。 4（3）设电子从（x，y）点释放，在电场I中加速到v2，进入电场II后做类平抛运动，在高度为y′处离开电场II时的情景与（2）中类似，然后电子做匀速直线运动，经过D点，则有 解得xy?L(2 ， 11?)，即在电场I区域内满足方程的点即为所求位置 2n419．如图所示，在xoy平面内y轴与MN边界之间有沿x轴负方向的匀强电场，y轴左侧和MN边界右侧的空间有垂直纸面向里、磁感应强度大小相等的匀强磁场，MN边界与y轴平行且间距保持不变．一质量为m、电荷量为-q的粒子以速度v0从坐标原点O沿x轴负方向射入磁场，每次经过磁场的时间均为t0，粒子重力不计． (1)求磁感应强度的大小B． (2)若t=5t0时粒子回到原点O，求电场区域的宽度d和此时的电场强度E0． (3)若带电粒子能够回到原点0，则电场强度E应满足什么条件?
【解析】
粒子t=5t0回到原点，如图由几何关系知，r1=r2，由向心力公式：
2vv0qv0B?m，qv2B?m2，由匀变速规律得，每次粒子经过电场的时间也是t0，电场宽度：
r2r1224
d?v0?v2qE3vtmvt0，出电场的速度v?v0?0t0，综上所述：E0?0，d?00 2m2qt0??2r1)?2r1,(n?1.2.3?) 如图所示，由几何关系知，要使粒子经过原点，应满足n(2r2?2n?1v2???B?mv0， 由向心公式得：qv2，v2nr2?根据动能定理知：qEd?112(2n?1)mv0?2?mv0mv2，解得：E?(n?1.2.3?) 2223nqt0
20．如图所示，xOy为空间直角坐标系，PQ与y轴正方向成θ＝30°角．在第四象限和第一象限的xOQ区域存在磁感应强度为B的匀强磁场，在POy区域存在足够大的匀强电场，电场方向与PQ平行，一个带电荷量为＋q，质量为m的带电粒子从-y轴上的A(0，-L)点，平行于x轴方向射入匀强磁场，离开磁场时速度方向恰与PQ垂直，粒子在匀强电场中经时间t后再次经过x轴，粒子重力忽略不计．求： (1)从粒子开始进入磁场到刚进入电场的时间t； (2)匀强电场的电场强度E的大小．
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