又时，
故
②-①×2得，
解得
（舍）
故 ，此时
存在满足条件的数列
满足
…… 14分
错误！未找到引用源。 （Ⅰ）解：当时，，所以
，
由 由 所以函数 （Ⅱ）解：因为 由题意得： 即 设 所以当 因为对任意
时，
，
对任意，所以
有最大值为，
恒成立，
，解得，解得
或
，
，
，减区间为
和
.
的单调增区间为
，
对任意恒成立，
恒成立，
，
所以
，解得或，
所以，实数的取值范围为 （III）
错误！未找到引用源。解:(I)f??x??或.
.
2a2ax?1?x?2x?2a?2a4a?12x2ax??1?4a?x?4a?222??2ax?1??
因为x?2为f?x?的极值点,所以f??2??0,即
?2a?0,解得a?0
(II)因为函数f?x?在?3,???上为增函数,所以 f??x??x2ax??1?4a?x?4a?222??2ax?1???0在?3,???上恒成立 6 分
?当a?0时,f??x??x?x?2??0在?3,???上恒成立,所以f?x?在?3,???上为增函数,故a?0 符合题意
?当a?0时,由函数f?x?的定义域可知,必须有2ax?1?0对x?3恒成立,故只能a?0,所以2ax2??1?4a?x??4a2?2??0在?3,???上恒成立
令函数g?x??2ax2??1?4a?x??4a2?2?,其对称轴为x?1?1?14a14a,因为a?0,所以
?1,要使g?x??0在?3,???上恒成立,只要g?3??0即可,
即g?3???4a2?6a?1?0,所以
3?134?a?3?134因为a?0,所以
0?a?3?134.
??3?13?? 4?综上所述,a的取值范围为?0,(Ⅲ)当a??12时,方程f?1?x??2?1?x?33?bx可化为lnx??1?x???1?x??2bx
问题转化为b?xlnx?x?1?x??x?1?x??xlnx?x2?x3在?0,???上有解,即求函数g?x??xlnx?x?x的值域
23因为函数g?x??xlnx?x?x,令函数h?x??lnx?x?x?x?0?,
232
则h??x??1x?1?2x??2x?1??1?x?x,
所以当0?x?1时,h??x??0,从而函数h?x?在?0,1?上为增函数, 当x?1时,h??x??0,从而函数h?x?在?1,???上为减函数, 因此h?x??h?1??0
而x?0,所以b?x?h?x??0,因此当x?1时,b取得最大值0 (第三问如用数形结合求解,相应给分)
错误！未找到引用源。 解:(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,??), f(x)?/2x?2ax ,
令f/(x)?0,?x?0,?2ax2?2?0,
①当a?0时,f/(x)?0在(0,??)恒成立,?f(x)递增区间是(0,??);
1a1a1a②当a?0时,?2ax?2?0?x??22????x??,又x>0, ?f(x)递增区间是(0,(Ⅱ)(ⅰ)
?a?a),递减区间是(?a?a,??)
设F(x)?f(1?x)?f(1?x)?2ln(1?x)?(1?x)2?1?2ln(1?x)?(1?x)2?1, 化简得:F(x)?2ln(1?x)?2ln(1?x)?2x, F(x)?2/21?x?21?x?4x??4x32,
1?x?0?x?1,?F/(x)?0在0?x?1上恒成立,?F(x)在x?(0,1)上单调递减,
所以F(x)?F(0)?0,?m?0,即m的取值范围是[0,??) (ⅱ)?f(1)?0,f(x)在(0,??)上单调递增, ①若x1,x2?(0,1),则f(x1)?f(x2)?0矛盾,
f(x1)?0,f(x2)?0,则
f(x1)?f(x2)?0与已知
②若x1,x2?(1,??),则f(x1)?0,f(x2)?0,则f(x1)?f(x2)?0与已知f(x1)?f(x2)?0矛盾,
③若x1?1,则f(x1)?0,又f(x1)?f(x2)?0,?f(x2)?0得x2?1与x1?x2矛
盾,
④不妨设0?x1?1?x2,则由(Ⅱ)知当0?x?1时,f(1?x)?f(1?x)?0, 令1?x?x1,则f(2?x1)?f(x1)?0?f(2?x1)??f(x1)?f(x2), 又f(x)在(0,??)上单调递增,?2?x1?x2,即x1?x2?2 证2;f(x1)?f(x2)?0?2lnx1?x12?1?2lnx2?x22?1?0
?2lnx1x2?(x1?x2)?2x1x2?2?0?(x1?x2)?2x1x2?2lnx1x2?2,
22设t?x1x2,则t>0,g(t)?2t?2lnt?2,g/(t)?2?2t?2(t?1)t,
令g/(t)?0,得t?1,?g(t)在(0,1)单调递减,在(1,??)单调递增, ?g(t)min?g(1)?4，\?\不成立. ?(x1?x2)?4,又因为t?1时,x1?x2?1,?2?(x1?x2)?4,?x1?x2?2
2
错误！未找到引用源。解:(1)f(x)的定义域为(?a,??)
x?ax?a当x变化时,f?(x),f(x)的变化情况如下表:
f?(x)?1?1?x?a?1,由f?(x)?0,得x?1?a??a,
x
f?(x) f(x)
(?a,1?a)
1?a
(1?a,??)
- ↘
0 极小值
+ ↗
因此,f(x)在x?1?a处取得最小值,故由题意f(1?a)?1?a?0,所以a?1. (Ⅱ)解:当k?0时,取x?1,有f(1)?1?ln2?0,故k?0不合题意.
22当k?0时,令g(x)?f(x)?kx,即g(x)?x?ln(x?1)?kx.
g?(x)?xx?1?2kx??x(2kx?(1?2k))x?1,令g?(x)?0,得x1?0,x2?1?2k2k?
-1.
(1)当k?12时,
1?2k2k?0,g?(x)?0在(0,??)上恒成立,因此g(x)在[0,??)上单调
递减,从而对于任意的x?[0,??),总有g(x)?g(0)?0,即f(x)?kx2在[0,??)上恒成立. 故k?12符合题意.
12(2)当0?k?(0,1?2k2k时,
1?2k2k?0,对于x?(0,1?2k)内单调递增,因此当取x0?(0,22k1?2k2k),g?(x)?0,故g(x)在
)时,g(x0)?g(0)?0,即
f(x0)?kx0不成立.
故0?k?12不合题意,
12综上,k的最小值为.
(Ⅲ)证明:当n=1时,不等式左边?2?ln3?2=右边,所以不等式成立. 当n?2时,
n?i?1f(22i?12n)??i?1n2?2? ?ln(1?)?2i?1?2i?1??n??2i?1??[ln(2i?1)?ln(2i?1)]
i?1i?1n??2i?1?ln(2n?1).
i?12在(Ⅱ)中取k?12,得f(x)?x222(x?0),从而
f(22i?1)?2(2i?1)2?(2i?3)(2i?1)(i?N,i?2),
*所以有
n?i?122i?1n?ln(2n?1)??i?1f(22i?1n)?f(2)??i?3f(22i?1n)?2?ln3??(2i?3)(2i?1)
i?22?2?ln3?1?1?1??2?ln3?1??2. ???2i?32i?12n?1?i?2?2*nn综上,?i?12i?1?ln(2n?1)?2,n?N.