(1) P(Ak|A1?Ak?1)?11 ?n?(k?1)n?k?1(2) P(Ak)?P(A1?Ak?1Ak)?n?1n?211????? nn?1n?k?1n1.32 已知一个母鸡生k个蛋的概率为
?kk!e??(??0)，而每一个蛋能孵化成小鸡的概
(?p)r??p率为p，证明：一个母鸡恰有r个下一代（即小鸡）的概率为e。
r!解 用Ak表示“母鸡生k个蛋”， B表示“母鸡恰有r个下一代”，则
P(B)??P(Ak)P(B|Ak)??k?rk?r???ke???k?rk?r????p(1?p) ??k!?r?(?p)r???[?(1?p)]k?r(?p)r???(1?p) ?e?e?e?r!r!(k?r)!k?r(?p)r??p?e
r! 1.33 某射击小组共有20名射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手7人，四级射手一人，一、二、三、四级射手能通过选拔进入决赛的概率分别是0.9、0.7、0.5、0.2，求在一组内任选一名射手，该射手能通过选拔进入决赛的概率。
解 用Ak表示“任选一名射手为k级”， k?1,2,3,4，B表示“任选一名射手能进入决赛”，则P(B)?4871?0.9??0.7??0.5??0.2?0.645 ?P(A)P(B|A)?20202020kkk?141.35 某工厂的车床、钻床、磨床、刨床的台数之比为9:3:2:1，它们在一定时间内需要修
理的概率之比为1:2:3:1。当有一台机床需要修理时，问这台机床是车床的概率是多少？ 解 则 P(A1)?9321， P(A2)? ，P(A3)?，P(A4)? 151515151231P(B|A1)?，P(B|A2)?，P(B|A3)?，P(B|A4)?
7777P(A1)P(B|A1)由贝时叶斯公式得 P(A|B)?1?P(Ak?14?k)P(B|Ak)9 221.37 证明：若三个事件A、B、C独立，则A?B、AB及A?B都与C独立。 证明 （1）P((A?B)C)?P(AC)?P(BC)?P(ABC)
=P(A?B)P(C)
（2）PABC)?P(A)P(B)P(C)?P(AB)P(C)
（3）P((A?B)C)?P((A?AB)C)?P(AC?ABC)=P(A?B)P(C)
1.38 试举例说明由P(ABC)?P(A)P(B)P(C)不能推出P(AB)?P(A)P(B)一定成立。
解 设??{?1,?2,?3,?4,?5}，P({?1})?118，P({?5})?， 646415，A?{?1,?2}，A?{?1,?3}，A?{?1,?4} 641151则 P(A)?P(B)?P(C)???，
646441 P(ABC)?P({?1})??P(A)P(B)P(C)
641但是P(AB)?P({?1})??P(A)P(B)
64P({?2})? P({?3})?P({?4})?1.40 已知事件A,B相互独立且互不相容，求min(P(A),P(B))（注：min(x,y)表示x,y中小的一个数）。
解 一方面P(A),P(B)?0，另一方面P(A)P(B)?P(AB)?0，即P(A),P(B)中至少有一个等于0，所以min(P(A),P(B))?0.
1.41 一个人的血型为O,A,B,AB型的概率分别为0.46、0.40、0.11、0.03，现在任意挑选五个人，求下列事件的概率
(1)两个人为O型，其它三个人分别为其它三种血型；(2)三个人为O型，两个人为A型； (3)没有一人为AB。
解 (1)从5个人任选2人为O型，共有????种可能，在其余3人中任选一人为A型，共有三种可能，在余下的2人中任选一人为B型，共有2种可能，另一人为AB型，顺此所求
?5??2??5?2概率为：??2???3?2?0.46?0.40?0.11?0.13?0.0168
??22??0.46?0.40?0.1557 (2) ????5??3?(3) (1?0.03)?0.8587
1.43 做一系列独立的试验，每次试验中成功的概率为p，求在成功n次之前已失败了m次的概率。
解 用A表示“在成功n次之前已失败了m次”， B表示“在前n?m?1次试验中失败了m次”， C表示“第n?m次试验成功”
5则 P(A)?P(BC)?P(B)P(C)????n?m?1?n?1m?p(1?p)?p ??m??n?m?1?nm???p(1?p) ?m???1.45 某数学家有两盒火柴，每盒都有n根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中抽出一根。求他用完一盒时另一盒中还有r根火柴（1?r?n）的概率。
解 用Ai表示“甲盒中尚余i根火柴”， 用Bj表示“乙盒中尚余j根火柴”， C,D分别表示“第2n?r次在甲盒取”，“第2n?r次在乙盒取”， A0BrC表示取了2n?r次火柴，且第2n?r次是从甲盒中取的，即在前2n?r?1在甲盒中取了n?1，其余在乙盒中取。
?2n?r?1??1?所以 P(A0BrC)???n?1???2?????n?1?1?????2?n?r?1 2由对称性知P(ArB0C)?P(A0BrD)，所求概率为：
?2n?r?1??1?P(A0BrC?ArB0D)?2P(A0BrC)???n?1???2?????2n?r?1
第二章 离散型随机变量
2.4 随机变量?只取正整数N，且P(??N)与N成反比，求?的分布列。
?C?2解 根据题意知P(??N)?C，其中常数C待定。由于?2?C??1，所以26NN?1N2C??2.5 一个口袋中装有m个白球、n?m个黑球，不返回地连续从袋中取球，直到取出
6，即?的分布列为
P(??N)?26，N取正整数。
?2N2黑球时停止。设此时取出了?个白球，求?的分布列。
解 设“??k”表示前k次取出白球，第k?1次取出黑球，则?的分布列为：
P(??k)?m(m?1)?(m?k?1)(n?m),k?0,1,?,m.
n(n?1)?(n?k)2.6 设某批电子管的合格品率为
31，不合格品率为，现在对该批电子管进行测试，44设第?次为首次测到合格品，求?的分布列。
1?解 P(??k)?????4?k?13,k?1,2,?. 42.7 一个口袋中有5个同样大小的球，编号为1、2、3、4、5，从中同时取出3只球，以??k?1???2???表示取出球的取大号码，求?的分布列。解 P(??k)??,k?3,4,5. ?5???3????2.8 抛掷一枚不均匀的硬币，出现正面的概率为p(0?p?1)，设?为一直掷到正、反面都出现时所需要的次数，求?的分布列。 解P(??k)?qk?1p?pk?1q,k?2,3,?，其中q?1?p。
2.9 两名篮球队员轮流投篮，直到某人投中时为止，如果第一名队员投中的概率为0.4,第二名队员投中的概率为0.6，求每名队员投篮次数的分布列。
解 设?，?表示第二名队员的投篮次数，则
P(??k)?0.6k?10.4k?10.4+0.6k0.4k?10.6?0.76?0.24k?1,k?1,2,?； P(??k)?0.6k0.4k?10.6?0.6k0.4k0.4?0.76?0.6k0.4k?1,k?1,2,?。
2.11 设某商店中每月销售某种商品的数量服从参数为7的普哇松分布，问在月初进货时应进多少件此种商品，才能保证当月不脱销的概率为0.999。
解 设?为该种商品当月销售数，x为该种商品每月进货数，则P(??x)?0.999。查普哇松分布的数值表，得x?16。
2.12 如果在时间t（分钟）内，通过某交叉路口的汽车数量服从参数与t成正比的普哇松分布。已知在一分钟内没有汽车通过的概率为0.2，求在2分钟内有多于一辆汽车通过的概率。 解 设?为时间t内通过交叉路口的汽车数，则
(?t)k??t P(??k)?e(??0),k?0,1,2,?
k!t?1时，P(??0)?e???0.2，所以??ln5；t?2时，?t?2ln5，因而
P(??1)?1?P(??0)?P(??1)?(24?ln25)/25?0.83。
2.13 一本500页的书共有500个错误，每个错误等可能地出现在每一页上（每一页的印刷符号超过500个）。试求指定的一页上至少有三个错误的概率解 在指定的一页上出现某一个错误的概率p?5001，因而，至少出现三个错误的概率为 500k500?k?500??1??499? ???k???500??500????k?3????500??1??499??1????k???500??500????k?0???2k500?k
利用普哇松定理求近似值，取??np?500?1?1，于是上式右端等于 500151??e?1?1??0.080301
2ek?0k!2．14 某厂产品的不合格品率为0.03，现在要把产品装箱，若要以不小于0.9的概率
保证每箱中至少有100个合格品，那么每箱至少应装多少个产品？
解 设每箱至少装100?x个产品，其中有k个次品，则要求x,使
2?100?x?k100?x?k?0.030.97 0.9???， ?k?k?0??x利用普哇松分布定理求近似值，取??(100?x)?0.03?3，于是上式相当于
3k?30.9??e，查普哇松分布数值表，得x?5。
k?0k!x2.15 设二维随机变量(?,?)的联合分布列为： P(??n,??m)??npm(1?p)n?mm!(n?m!)e??(??0,0?p?1) m?0,1,?,nn?0,1,2,?
求边际分布列。
解 P(??n)?m?0?P(??n,??m)?n?ne??n!n!pm(1?p)n?m ?m?0m!(n?m)!n??ne??n!n?0,1,2,?
pme??P(??m)?P(??n,??m)?m!n?0??n!pm(1?p)n?m ?n?mm!(n?m)!?(?p)me??p?m?0,1,2,?。
m!2.17 在一批产品中一等品占50%，二等品占30%，三等品占20%。从中任取4件，设一、
二、三等品的件数分别为?、?、?，求(?,?,?)的联合分布列与各自的边际分布列。
解 P(??m,??n,??k)?4!0.5m0.3n0.2k ，m,n,k?0,1,2,3,4m?n?k?4. m!n!k!?4?m4?m ，
m?0,1,2,3,4； P(??m)???m??0.50.5???4?n4?nP(??n)???n??0.30.7 ，n?0,1,2,3,4；
???4?k4?kP(??k)???k??0.20.8 ，k?0,1,2,3,4。
??2.18 抛掷三次均匀的硬币，以?表示出现正面的次数，以?表示正面出现次数与反面