?P(?1?n1,?,?r?nr)
P(?1????r?n)由于?1，?2，?，?r相互独立且服从同一几何分布，所以
P(?1??2????r?n)?ki?1,2,?i?1,?,r?n?1?rn?rki?1?(q?p)????r?1??qp。
k1???kr?ni?1??rqrpn?r1从而P(?1?n1,?,?r?nr|???2????r?n)?。 ??n?1?rn?r?n?1????r?1??qp?r?1??????1第三章 连续型随机变量
3.4 设随机变数?具有对称的分布密度函数p(x)，即p(x)?p(?x),证明：对任意的
a?0,有（1）F(?a)?1?F(a)?1?2?a0（2）P（??a)?2F(a)?1； p(x)dx；
（3）P(??a)?2?1?F(a)?。 证：（1）F(?a)???a??p(x)dx?1??p(x)dx
?a??a? =1??ap(?x)dx?1??p(x)dx
??a =1?F(a)?1? ??0??p(x)dx
?0p(x)dx?1a??p(x)dx； 20a0 （2）P(??a??a?ap(x)dx?2?p(x)dx，由（1）知
1-F(a)?1a??p(x)dx 20 故上式右端=2F(a)?1；
（3）P(??a)?1?P(??a)?1?[2F(a)?1]?2[1?F(a)]。
3.5 设F1(x)与F2(x)都是分布函数，又a?0,b?0是两个常数，且a?b?1。证明
F(x)?aF1(x)?bF2(x)
也是一个分布函数，并由此讨论，分布函数是否只有离散型和连续型这两种类型？ 证：因为F1(x)与
F2(x)都是分布函数，当x1?x2时，F1(x1)?F1(x2)，
F2(x1)?F2(x2)，于是
F(x1)?aF1(x1)?bF2(x1)?aF1(x2)?bF2(x2)?F(x2)
又
x???limF(x)?lim[aF1(x)?bF2(x)]?0
x???x??limF(x)?lim[aF1(x)?bF2(x)]?a?b?1
x??F(x?0)?aF1(x?0)?bF2(x?0)?aF1(x)?bF2(x)?F(x)
所以，F(x)也是分布函数。
取a?b?1，又令 2?0x?0F1(x)???1x?0x?0?0?F2(x)??x0?x?1
?1x?1?这时
?0?1?xF(x)???2?1x?00?x?1 x?1显然，与F(x)对应的随机变量不是取有限个或可列个值，故F(x)不是离散型的，而
F(x)不是连续函数，所以它也不是连续型的。
3.8 随机变数?的分布函数为F(x)?A?Barctgx，求常数A与B及相应的密度函数。
解：因为limF(x)?A?B(?x????2)?0
limF(x)?A?Bx????2?1
11,B? 2?所以
A?因而
F(x)?111?arctgx,p(x)?F?(x)?。 2??(1?x2)3.9 已知随机变数?的分布函数为
?x?p(x)??2?x?0?（1） 求相应的分布函数F(x)；
0?x?11?x?2 其它（2） 求P(??0.5),P(??1.3),P(0.2???1.2)。
x?0?0?x12ydy?x0?x?1???02解：F(x)?? 1x12??ydy??(2?y)dy?2x?x?11?x?212?0?x?2?118P(??1.3)?1?P(??1.3)?1?F(1.3)?0.245 P(??0.5)?F(0.5)?P(0.2???1.2)?F(1.2)?F(0.2)?0.663.12 在半径为R,球心为O的球内任取一点P,求??oP的分布函数。 解：当0?x?R时
43?xx3F(x)?P(??x)??()3
43R?R3所以
0??xF(x)??()3?R?1x?00?x?R x?R3.13 某城市每天用电量不超过一百万度，以?表示每天的耗电率（即用电量除以一万度），它具有分布密度为
?12x(1?x)20?x?1p(x)??
0其它?若该城市每天的供电量仅有80万度，求供电量不够需要的概率是多少？如每天供电量90
万度又是怎样呢？
解： P(??0.8)? P(??0.9)??10.8112x(1?x)2dx?0.0272 12x(1?x)2dx?0.0037
?0.9因此，若该城市每天的供电量为80万度，供电量不够需要的概率为0.0272,若每天的供电量为90万度，则供电量不够需要的概率为0.0037。 3.14
设随机变数?服从（0，5）上的均匀分布，求方程
4x2?4?x???2?0
有实根的概率。 解：当且仅当
(4?)?16(??2)?0 （1） 成立时，方程4x?4?x???2?0有实根。不等式（1）的解为：??2或???1。 因此，该方程有实根的概率
2213p?P(??2)?P(???1)?P(??2)??dx?。
25553.21 证明：二元函数
?1x?y?0F(x,y)??
0x?y?0?
对每个变元单调非降，左连续，且F(??,y)?F(x,??)?0，F(??,??)?0，但是 F(x,y)并不是一个分布函数。 证：（1）设?x?0，
若x?y?0，由于x??x?y?0，所以F(x,y)?F(x??x,y)?1， 若x?y?0，则F(x,y)?0。当x??x?y?0时，F(x??x,y)?0；
当x??x?y?0时，F(x??x,y)?1。所以 F(x,y)?F(x??x,y)。 可见，F(x,y)对x非降。同理，F(x,y)对y非降。 （2）x?y?0时
limF(x??x,y)?limF(x,y??y)?0=F(x,y)，
?x?0?y?0 x?y?0时，
limF(x??x,y)?limF(x,y??y)?1=F(x,y)，
?x?0?y?0 所以F(x,y)对x、y左连续。
（3）F(??,y)?F(x,??)?0，F(??,??)?0。
（4）P(0???2,0???2)?F(2,2)?F(2,0)?F(0,2)?F(0,0)??1， 所以F(x,y)不是一个分布函数。 3.23 设二维随机变数(?,?)的密度
?1?sin(x?y)p(x,y)??2??0求的分布函数。 （?,?）解：当0?x?0?x?其它?2,0?y??2
?2，0?y??2时，
F(x,y)?P(??x,??y) =
??0xy01sin(t?s)dsdt 21x[cot?cos(t?y)]dt ?021=[sinx?siny?sin(x?y)],所以 2=
(x?0)?(y?0)?0?1??[sinx?siny?sin(x?y)]0?x?,0?y??22?2???1(sinx?1?cosx)0?x?,y? F(x,y)??222
?1??(1?siny?cosy)x?,0?y??222????1x?,y?22?3.24 设二维随机变数(?,?)的联合密度为
?ke?3x?4yp(x,y)???0x?0,y?0其它
求常数k 求相应的分布函数；求P(0???1,0???2)。
解：（1）
??0??0ke?3x?4ydxdy?k??3xk， edx??0412所以k?12；
（2）x?0,y?0时，