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3.91 求下列连续型分布的特征函数： （1）(?a,a)上的均匀分布(a?0)， （2）柯西分布，其密度函数为
p(x)?（3）T?分布，其密度函数为
1,(a?0) 22?(x?b)?a?a?????x??1?e??xp(x)??T(?)??0解：（1）?(t)?ax?0x?0 (??0,??0)
?a?aeitx?a1sinat ?dx?2aat1aitb?eitu2aitb?costudx??e?du??e?2du （2）?(t)??e?????u2?a2?a0u?a2?(x?b)2?a2??itx由拉普拉斯积分
??0cos?x????ibt?at?(t)?e得 dx?e,(?,??0),2??2?x2?itx（3）
?(t)??e??/?(?)?x?edx??/?(?)??e00???1??1??(it??)xit???xdx??/?(?)??(?)/(??it)?(1?)???1???(1?it?)??
223.93 若?(t)是特征函数，证明下列函数也是特征函数：（1）?(?t);(2)?(t);(3)??(t)?（n为正整数）
证：（1）若?(t)是随机变量?的特征函数，则?(?t)是随机变量????的特征函数； （2）若?与?独立同分布，其特征函数为?(t)。则?(t)2??(t)??(?t)是随机变量
?????的特征函数；
（3）若?1,?,?n独立分布，其特征函数为?(t)。则??(t)?是随机变量??n?ni?1?i的特
征函数。
3.96 证明函数
?|t|?1?|t|?a?(t)??(a?0) a?|t|?a?0是特征函数，并求出它的分布函数。
解：由于
?t??????(t)dt???a?1?a??dt?a?? ???a故欲证?(t)是特征函数，仅须验证
p(x)?12?????e?itx??(t)dt?12??t?1?itx??e?1?dt???a?a????at?11?cosax?1?costxdt????2?0?a??axa是密度函数由于p(x)?0，
a?2ax?ax?2?sin2ydy?1， ?dx??02???p(x)dx?x?0sin2?2?y???2所以?(t)为特征函数，其分布函数为
F(x)??11?cosat?dt。 2???atx1n3.98 设?1,?2,?,?n为n个独立同柯西分布的随机变量，证明??i与?1有相同的分布。
ni?111nibt?at.故???i的特征函数为证：柯西分布p(x)??的特征函数?(t)?e?(x?b)2?a2ni?1a??t??1nibt?at.所以???i与同分布。 ???n???eni?1????3.99 设?1,?2,?,?n为独立同T?分布的随机变量，求
n??i?1ni的分布。
????1??xxe解：T?分布p(x)?，x?0；p(x)?0，x?0的特征函数T(?)?it???(t)??1????????。故
??i?1ni的特征函数为
?n???(t)?nn?it???1???????，
?n?所以??i也是T?分布，其密度函数为p(x)??xn??1?e??x，x?0；p(x)?0，
T(n?)i?1x?0。
3.100 设二维随机变量??,??具有联合密度函数为
?1?1?xy(x2?y2)p(x,y)??4??0??x?1,y?1其它
证明：???的特征函数等于?，?的特征函数的乘积，但是?与?并不相互独立。 证：p???(z)?????p(x,z?x)dx
?(2?x)4?2?x?0?0?x?2 ??(2?x)4?0其它。??sint????的特征函数为??。
?t?p?(x)?12,?1?x?1;p?(x)?0,x?1.p?(y)?12,?1?y?1;p?(y)?0,y?1。
故?与?的特征函数皆为
2sint，所以???的特征函数等于?、?的特征函数的乘积。由tp(x,y)?p?(x)?p?(y)，故?与?不互相独立。
3.101 设随机变量?服从柯西分布，其特征函数为e?t，又令??a?(a?0)，证明???的
特征函数等于?、?的特征函数的乘积，但?与?不独立。 证：由?的特征函数??(t)?e?t推得，??a?与???的特征函数分别为??(t)?e?at与
????(t)?e?(a?1)t，故????(t)???(t)???(t)。
倘若?与
?相互独立，令?的分布函数为F(x)，则
2F(x)?P(??x,??ax)?P(??x)?P(??ax)?P(??x)?P(??x)??F(x)?，
故F(x)?0或1，此与?服从柯西分布相矛盾，故?与?互不独立。 3.102 判别下列函数是否为特征函数（说明理由）： （1）sint；（2）
111?tln(e?t)；（3）；（4）；（5）。 2221?it1?t?1?t?解：（1）不是，因为sin0?1。 （2）不是，因为当?1?t?0时，
1?t?1。 1?t2 （3）不是，因为ln(e?t)?1不成立 （4）不是，因为?(t)?1??(?t)。 1?it （5）是的，拉普拉斯分布p(x)?函数。
11?x1，所以也是特征?e的特征函数为
2221?t2?1?t?第七章 假设检验
7.1 设总体??N(?,?)，其中参数?，?为未知，试指出下面统计假设中哪些是简单假设，哪些是复合假设：
（1）H0:??0,??1； （2）H0:??0,??1； （3）H0:??3,??1； （4）H0:0???3； （5）H0:??0.
解：（1）是简单假设，其余位复合假设
7.2 设?1,?2,?,?25取自正态总体N(?,9)，其中参数?未知，x是子样均值，如对检验问题H0:???0,H1:???0取检验的拒绝域：c?{(x1,x2,?,x25):|x??0|?c}，试决定常数c，使检验的显著性水平为0.05 解：因为??N(?,9)，故??N(?,在H0成立的条件下，
229) 25P0(|???0|?c)?P(|???035c|?)53
5c???2?1??()??0.053???(5c5c)?0.975,?1.96，所以c=1.176。 33227.3 设子样?1,?2?,,?2取5自正态总体N(?,?0)，?0已知，对假设检验
H0:???0,H1:???0，取临界域c?{(x1,x2,?,xn):|??c0}，
（1）求此检验犯第一类错误概率为?时，犯第二类错误的概率?，并讨论它们之间的关系； （2）设?0=0.05，?0=0.004，?=0.05，n=9，求?=0.65时不犯第二类错误的概率。 解：（1）在H0成立的条件下，??N(?0,2?02n)，此时
?n? ? ??P0(??c0)?P0?????0??0n?c0??0?0所以，c0??0?0n??1??，由此式解出c0??0n?1????0
在H1成立的条件下，??N(?,?02n)，此时
?????c0????Pn?n?1(??c0)?P1???0?0??0??(c0???0n)??(n?1????0???0n)
??(?1??????0n)?0由此可知，当?增加时，?1??减小，从而?减小；反之当?减少时，则?增加。 （2）不犯第二类错误的概率为
1???1??(?1???
???0n)?00.65?0.503)
0.2?1??(?0.605)??(0.605)?0.7274?1??(?0.95?7.4 设一个单一观测的?子样取自分布密度函数为f(x)的母体，对f(x)考虑统计假设：
?10?x?1H0:f0(x)???0其他?2x0?x?1H1:f1(x)??
?0其他