x??xe?p?(y)????022x?0 x?0证明??服从N(0,1)分布。 证：由p?(x)?xe?x22,x?0得p1(x)?xe??3?12x2,x?0。故
p??(y)?p令12y?u???1(y)??|x|p?(yx)p?(x)dx
???2x22，则
p??(y)?所以??服从N(0,1)分布。
12?e?y22??0uedu??12?u12?e?y22
3.58 设随机变量?与?独立，都服从(0,a)上的均匀分布，求?解：p?(x)???的密度函数。
????p?(xz)p?(z)|z|dz?1?zp?(xz)dz ?0a当0?x?1时，
1p?(x)?2a?当x?1时
?axa0zdz?1 21p?(x)?2a?所以
?0zdz?1 22x??的密度函数为
?0x?0??p?(x)??10?x?1
2??1x?1??2x23.59 设随机变量?与?独立，都服从参数为?的指数分布，求解：在x?0时，
??的密度函数。
p?(x)??p?(xy)p?(y)|y|dy???????01?2e??xye??yydy?(x?1)2
在x?0时，p?(x)?0。
?3.60 设二维随机变量(?,?)的联合分布密度为
?1?xy?|x|?1,|y|?1 p(x,y)??4?其它?0证明：?与?不独立，但?与?独立。
证：由于p(x,y)?p?(x)p?(y)，所以?与?不独立。由于
22x?1?1?x11?ty2P(??x)???(?dy)dt?x0?x?1
?x?14?x?0?0y?1?1?y11?txP(?2?y)???(?dx)dt?y0?y?1
?y?14?y?0?0x,y?1?1?x0?x?1,y?1??P(?2?x,?2?y)??yx?1,0?y?1
?xy0?x,y?1??其它?0所以对一切的x,y，都有P(??x,??y)?P(??x)P(??y)，故?与?相互独立。 3.61 设随机变量?具有密度函数
222222???2?cos2x??x?p(x)???22
?其它?0求E?,D?。
解：E??????22x2?cos2xdx?0
?D??E????x?22222?cosxdx?2?212?1 23.66 设随机变量?服从(?11)上的均匀分布，求??sin??的数学期望与方差。 2,2解：E???121?2sin?xdx?0,
121?2D??E???sin2?xdx?1/2。
3.71 设?1,?2,??n为正的且独立同分布的随机变量（分布为连续型或离散型），证明：对任意的k(1?k?n)，有
2??1????kE???????n?1nn?k???n。 ?n??证：?j/??i同分布(j?1,?,n)，又?j/??i?1，所以E??j/??i?都存在且相等
i?1i?1??i?1nn?n???(j?1,?,n)。由于1?E???i/??i??n?E??1/??i?，所以
i?1i?1?i?1?????1????kE???????n?1n???k??k?E?/??1?i??n。 ?i?1???3.72 设?是非负连续型随机变量，证明：对x?0，有
P(??x)?1?证：P(??x)?E?。 x?x0p?(t)?1??p?(t)dt
x?x??1???1?t1??p?(t)dt?1??t?p?(t)dt xx0E?。 xr3.73 若对连续型随机变量?，有E???(r?0)，证明有P(???)?E?r?r。
证：P(???)??x??p?(x)dx???rxx??rr??p?(x)dx
r?1?r???x?p?(x)?E?/?r。
3.75 已知随机变量?与?的相关系数为?，求?1?a??b与?1?c??d的相关系数，其中a,b,c,d均为常数，a,c皆不为零。
解：??1?1?E?(?1?E?1)?(?1?E?1)?E(?1?E?2)1?E(?1?E?1)2
=
ac?cov(?,?)a?D??c?D?
???ac?0ac???? ac???ac?03.84证明下述不等式（设?,?都是连续型或离散型随机变量）： （1）若?与?都有p?1阶矩，则有
[E???]1/p?[E?E???(2)若?与?都具有p?0阶矩，则
ppp1/p]?[E?'p]1/p
?E?)
p?2p?1(E?pE???p?2p(E?证：（1）p?1时，[E???]证明略。
在p?1时，x是x的下凸函数，故
pp1/ppp?E?)
pp?[E?]1/p?[E?]1/p即所谓的明可夫斯基不等式，
x?y2即
p|x|p?|y|p?
2|x?y|p?2p?1(|x|p?|y|p
故
E???pp?2p?1(E?ppp?E?
ppppp（2）在p?0时，|x?y|?(|x|?|y|)?|2x|?|2y|?2(|x|?|y|)，故
E???p?2p(E?3.88 设二维随机变量(?,?)的联合分布密度为
p?E?)
p?(n?1)(n?2)?p(x,y)??(1?x?y)n??0x?0,y?0其它
其中n?2。求??1条件下?的条件分布密度。 解：p?(x)???0(n?1)(n?2)n?2dy?,x?0。故
(1?x?y)n(1?x)n?1?2n?1(n?1)(2?y)ny?0 p?|?(y|1)??
0其它?3.89 设随机变量?服从N(m,?)分布，随机变量?在??x时的条件分布为N(x,?)，求?的分布及?关于?的条件分布。
22?(x?m)2(y?x)2?exp??? 解：p(x,y)?p?(x)?p?|?(y|x)?? 222???2?2???1
??2??2?(y?m)2??p?(y)??p(x,y)dx??exp???exp??22????22??2???2(???)2??????1?m?2?y?2????x???dx22?????? ??(y?m)2??exp??， 22?222?(???)?2(???)?122故 ?~N(m,???).p?|?(x|y)
?p(x,y)p?(y)??2??222222??(???)??m??y???(2???)?exp??， ?x??2222??2????????????2m??2y?2??2,)。 故在??y时，?的条件分布为N(22?????3.90 设?1,?2?,?n,?为具有数学期望的独立随机变量序列，随机变量?只取正整数值，
?n,n?1?独立，证明： 且与?E??k??E?k?P(??k)
k?1k?1?????证：E??k?E?E(??k?)?
k?1?k?1??s? ??E???k??P(??s)
s?1?k?1???