（1）、求点P (x,y)的轨迹E的方程.
（2）、若直线l过点F2?2,0?且法向量为n?(t,1)，直线与轨迹E交于
??????????P、Q两点．点M??1,0?,无论直线l绕点F2怎样转动， MP?MQ是否为
定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．并求实数t的取值范围；
22.（本小题满分12分） 设函数f?x??x?aex?1。
（I）求函数f?x?单调区间；
（II）若f?x??0对x?R恒成立，求a的取值范围； （III）对任意n的个正整数a1,a2???,an记A?a1?a2????an nai?1aiA （1）求证：?e?i?1,2,???n?（2）求证：A?na1a2???an A高三数学（理）答案
一．选择题：1．C 2．A 3．C 4．C 5．A 6．A 7．C 8．C 9．C 10．A 11．C 12．A 二．填空题13．
7?? 14．??0，? 15．8 25?3?m-nn?pp?mb?b?b16．p mn三．解答题:17．解：（I）f(x)?cos(2x?)?2sin(x?)sin(x?)
344???=cos(2x?)?2cos(?x)sin(x?)344????cos(2x??3)?sin(2x??2)?cos(2x??3)?cos2x13???cos2x?sin2x?sin(2x?)226
由2x??6?k???2?x?k???,k?Z 23所以，该函数的最小正周期为?，图象的对称轴方程为
x?k???,k?Z…6分 23（II）因为x?[???5?,],?2x??[?,] 1226363,1] 2??所以，该函数的值域为[?
…………10分
1）当k??2时，?(k?2)?0 ∴
k?1kk；……8?2 ∴x?2或x?k?1k?1分
?(x?2)2?02）当k??2时，? ∴x?2 ……10
?x?2分
分
3）当?2?k??1时，?(k?2)?0 ∴
k?1kk或x?2……12?2 ∴x?k?1k?1??k??； k?1?综上所述：当k??2时，不等式解集为?xx?2或x?当k??2时，不等式的解集为?xx?2?
当?2?k??1时，不等式的解集为?xx????k或x?2? k?1?
20.方法一（综合法）
（1）取OB中点E，连接ME，NE
?ME‖AB,AB‖CD，?ME‖CD
又?NE‖OC,?平面MNE‖平面OCD
?MN‖平面OCD ……………………… 4分
（2）?CD‖AB,
∴?MDC为异面直线AB与MD所成的角（或其补角）
作AP?CD于P,连接MP
∵OA?平面ABCD，∴CD?MP ∵?ADP??4,∴DP=2 2
∴cos?MDP?MD?MA2?AD2?2，DP1??,?MDC??MDP? MD23所以 AB与MD所成角的大小为 8分
?3 （3）∵AB‖平面OCD,∴点A和点B到平面OCD的距离相等，连接OP,过点A作
AQ?OP 于点Q，∵AP?CD,OA?CD,∴CD?平面OAP,∴AQ?CD
又 ∵AQ?OP,∴AQ?平面OCD,线段AQ的长就是点A到平面
OCD的距离
∵OP?OD2?DP2?OA2?AD2?DP2?4?1?132， ?222OA?AP22?2， ∴AQ??AP?DP?OP323222?所以点B到平面OCD的距离为 12分
方法二(向量法)作AP?CD于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为
x,y,z轴建立坐标系
A(0,0,0),B(1,0,0),P(0,22222,0),D(?,,0),O(0,0,2),M(0,0,1),N(1?,,0), 2224423?????????????22222(1)MN?(1?,,?1),OP?(0,,?2),OD?(?,,?2)
44222????????设平面OCD的法向量为n?(x,y,z),则n?OP?0,n?OD?0 ?2y?2z?0??2即 ?取z?2,解得n?(0,4,2)
??2x?2y?2z?0??22?????22∵MN?n?(1?,,?1)?(0,4,2)?0
44zOMAxBNCPDy?MN‖平面OCD 4分
?????????22(2)设AB与MD所成的角为?,∵AB?(1,0,0),MD?(?,,?1)
22?????????AB?MD?1? ∴cos?????,?? , AB与MD所成角的大小为 ???????∴33AB?MD28分
????(3)设点B到平面OCD的距离为d,则d为OB在向量n?(0,4,2)上的
投影的绝对值,
???? 由 OB?(1,0,?2), 得d?????OB?nn?22.所以点B到平面OCD的距离为
3312分
y221.解：（1）方程为x??1(x?1)，（4分+1分定义域）
32（2）设直线l的方程为t(x?2)?y?0或y??t?x?2?（1分）
?y??t(x?2)?由?2y2得(t2?3)x2?4t2x?4t2?3?0（1分）
x??1?3?设P(x1,y1),Q(x2,y2)
?t2?3?0?4222???16t?4(t?3)(4t?23)?36?36t?024t??36?36t?01由条件得?（只计算?x1?x2?2?0t?3??4t2?3x1x2?2?0?t?3?分）
解得t2?3即t?(??,?3)?(3,??)（1分）
MP?MQ?(x1?1)(x2?1)?y1y2（1
??分）
分）
?x1x2?x1?x2?1?t2?x1?2??x2?2??(t2?1)x1x2?(2t2?1)(x1?x2)?1?4t2（1