第13讲 狭义相对论——应用 方向以u?c32速度运行，问地面上的观察者测得这天线的长度和天线与火箭体的交角各多少？ 0??l?lcos45?22?m? x解：在S’系中：0?l?22?m?。 y?lsin45?在 S 系中：ly?l?22?m? y??1??uc?2?22?1?lx?lx所22l?lx?ly??32?24?m? 以 2?2??arctg?lylx??arctg2?63.430?63026? ?24???222?104?0.791?m?? 这就是洛伦兹收缩 例题四（课本P.215第10题）在惯性系S中观察到有两个事件发生在某一地点，其时间间隔为4.0s。从另一惯性系观察到这两个事件发生的时间间隔为6.0s。问从S’系测量到这两个事件的空间间隔是多少？（设系以恒定速率相对S系沿x轴运动。）（注意课本原题目有印刷错误） 解：由题意知，两个事件的固有时为在s系中的时间间隔?t=4.0s，由时间?膨胀可得在s’系中两个事件的时间间隔为：?t??t相对于s系的运动速度为： 1??vc?，所以，s’系2v?1???t?t???212?c?1??46??212?c?59c?c53。 由洛仑兹变换式可得在s’系测量这两个事件的空间间隔是： ?x???x?v?t1??vc?2??v?t1??vc?2??v?t?（逆变换式也可得到） *一般人的思维方式——复杂性思维 遇到问题时，思考用学过的知识是怎样教我们解决这个问题的，选择以经验为基础的、最有希望的方法，排除其他一切方法，并且沿着这个明显界定的方向去解决问题。 爱因斯坦——创造性的思维 ? 发散思维——从多角度考虑问题，挖掘所有可供选择的解决方法 ? 形象化思维——使自己的思维形象化，非常直观 同时性的相对性——理想列车闪电实验 时间相对性——坐在火炉上和在公园柳荫下与漂亮女郎谈情说爱 ? 善于创造——248篇论文 Edison——1093项专利 莫扎克——600多首乐曲 ? 独创性的组合：质能关系 质速关系 ? 在不同的事物之间建立联系 爱因斯坦：卓别林，伟大 ——您的电影全世界都能看懂 卓别林： 爱因斯坦，伟大 ——您的相对论基本没有人能看懂 5 第13讲 狭义相对论——应用 §18-5 光的多普勒效应 Optical Doppler Effect 前面讨论了机械波的多普勒效应，即运动物体的频率与参考系的选择有关。本节我们讨论光的多普勒效应。 如图所示，以光源B为S'系，S'相对于S系以速度v运动，以探测器A为S系。开始时，tA=tB=0，S'系中B发出一脉冲信号。 S'系测得此脉冲信号得时间间隔为?tB。 2 S系测得此脉冲信号得时间间隔应为ΔtA1=γΔtB，其中??1?? 光信号从B→A，需时间ΔtA2=x/c，其中x=cΔtA1为光脉冲在ΔtA2时间内经过的距离。 探测器A测得的时间间隔为： xv???tB??tA1cc vv?? ???tB???tB???1???tBc?c??tA??tA1??tA2???tB?即： ?tA???1????tB???1???????1???1/2?tB S系A钟测得得时间ΔtA比S'系B钟测得的时间ΔtB要长。若以Δt表示两连续光脉冲的时间差，即振荡周期，则频率可以由1/Δt求得为： ?1?? ?A???1???????B ?1/2式中νA为S系探测器接收的光信号频率；νB为S'系中光源发出的光脉冲信号频率（即所谓的本征频率）。 ?1??若光源向着探测器运动，则：?A???1???????B ?1/2结论：当光源与观察者之间有相对运动时，观察者接受到的光的频率与光源的频率不同，若光源的频率为ν0，光源与观察者之间相对运动的速率为ν，则观察者接受到的频率ν为： 当光源与探测器相远离时，探测器测得光的频?1?? ????1???其中??v/c。 ????0 ?1/2率要小于光的本征频率——红移现象。 当光源与探测器相向运动时，探测器测得光的频率要大于光的本征频率——蓝移现象。 若光源与观察者互相接近，上式分子取正号，分母取负号，接受到的频率大于原来的频率； 若光源与观察者互相远离，上式分子取负号，分母取正号，接受到的频率大于原来的频率。 注意：光的多普勒效应不会改变光的颜色。 6 第13讲 狭义相对论——应用 §18-6 狭义相对论动力学基础 一、相对论质量（Relativitic Mass）： 1．牛顿力学： 质点得质量m为恒量，在外力F作用下，由牛顿运动定律F?ma可知质点得加速度不为零，速度逐渐增大，最终可超过光速c。 2．狭义相对论：质量不是恒量。 前提条件：系统总质量与总动量守恒，由Lorentz变换式可导出质量与速率的关系 m????m0?v?1????c?2 式中m0为粒子的静止质量。 运动物体质量增大了。 3．简单推导： 假设有两个静止质量相 同的小球A、B作完全非弹性碰撞。对于静止的S系，假设A碰撞前的速度为v，碰撞后的速度为ux，则 ?m?m0?ux?mv （1） 而在运动的S?系中，则有 ?m?m0?u?x??mv （2） 碰撞前后，质量守恒，均为m+ m0，m为运动质量，m0为静止质量 因而： u?x??ux 由Lorentz变换： ux?v??ux v1?2uxcuxv2vv?1?1?2ux?1?解得： （3） 2uxvccu?x?（1）代入（3）得：
m?m0mv2?1?1? mm?m0c2即 7 第13讲 狭义相对论——应用 m?m0mv2?2? mm?m0c2两边同乘以m?m?m0?，则有 ?m?m0?化简，得 m022v2?2m?m?m0??m2 c2?v2?m??1?c2?2??? ?所以运动时球的质量为 m?m0?v?1????c?2 ——质速关系式 m 0——静止质量（v =0） m—— 运动质量（v ≠0） 例子 ?相对于S系和S’系静止，S’系相对于S系以速度v沿x轴正向运动。下面我们分析一下在两个参照系中的观察者所看到的物理过程。 假设有两个静止时质量均为m的小球，发生完全非弹性碰撞前的分别（1）S 系中观察者 本系小球： v?0，m0，P?0 另一小球：v，m，P?mv 所以碰撞之前：总动量 ?mv （完全非弹性）碰撞之后：由总质量守恒知总质量为?m0?m?，u，由总动量守恒知动量为：?m0?m?u，这里u为总质量相对S系的速度。 由动量守恒定律得： mv??m0?m?u （1） （2）S’ 系中观察者 本系小球： v?0，m0，P?0 另一小球：?v，m，P??mv 所以碰撞之前：总动量??mv，（完全非弹性） 8 第13讲 狭义相对论——应用 碰撞之后：?m0?m?，u?，总动量??m0?m?u?，这里u’为总质量相对S’系的速度。 由动量守恒定律得：?mv??m0?m?u? （2） 由（1）式和（2）式得： u???u 2?u?u?v1?uvc由洛伦兹速度变换可得：，将u???u代入上式22??????vu?2vu?vc?0，解之得：v可得：??u?1?1?v2c2； 由（1）式得： vu?m0?mm?1， 所以取―+‖得： m?m01?v2c2 （3） 证毕。 4．说明： 1）在宏观物体所能达到的速度范围内，质量随速度变化非常小，可以忽略不计。 m?m01121?104??104?例如：v=10m/s， ??1?????5.6?108?3?10?2m0221????2）在微观粒子实验中，粒子的速度经常达到或接近光速，此时质量变化很大：例如v=0.98c，m=5.03m0。 3）v>c时，质量m 为虚数，没有意义，因而光速是物体运动速度的极限。 4）当v=c时，分母为零，要求质量m为有限值，则必须m0=0。 结论：光子静止质量为零，不存在静止的光子。 5．实验验证： 1）μ子衰变； 2）Bucherer实验：电子质量与速度有关。 二、相对论动量 1．相对论动量： 2??P?mv??m0v?v?1????c?2 动量守恒普通成立。 动量公式与牛顿力学形式完全相同，但是质量的含义不同。 2．动力学方程——相对论力学的基本方程。 ??dPd F??dtdt?m0v?v?1????c??? 在v??c时，近似为F?ma，牛顿力学成立。 2 9