1 第1章
三、解答题
1．设P(AB) = 0，则下列说法哪些是正确的？ (1) A和B不相容； (2) A和B相容； (3) AB是不可能事件； (4) AB不一定是不可能事件； (5) P(A) = 0或P(B) = 0 (6) P(A – B) = P(A) 解：(4) (6)正确.
2．设A，B是两事件，且P(A) = 0.6，P(B) = 0.7，问： (1) 在什么条件下P(AB)取到最大值，最大值是多少？ (2) 在什么条件下P(AB)取到最小值，最小值是多少？ 解：因为P(AB)?P(A)?P(B)?P(A?B)， 又因为P(B)?P(A?B)即P(B)?P(A?B)?0. 所以
(1) 当P(B)?P(A?B)时P(AB)取到最大值，最大值是P(AB)?P(A)=0.6.
(2) P(A?B)?1时P(AB)取到最小值，最小值是P(AB)=0.6+0.7-1=0.3. 3．已知事件A，B满足P(AB)?P(AB)，记P(A) = p，试求P(B)． 解：因为P(AB)?P(AB)，
即P(AB)?P(A?B)?1?P(A?B)?1?P(A)?P(B)?P(AB)， 所以 P(B)?1?P(A)?1?p.
4．已知P(A) = 0.7，P(A – B) = 0.3，试求P(AB)．
解：因为P(A – B) = 0.3，所以P(A )– P(AB) = 0.3, P(AB) = P(A )– 0.3, 又因为P(A) = 0.7，所以P(AB) =0.7– 0.3=0.4，P(AB)?1?P(AB)?0.6.
5． 从5双不同的鞋子种任取4只，问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少？ 解：显然总取法有n?C410种，以下求至少有两只配成一双的取法k： 法一：分两种情况考虑：k?C121)2+C25C4(C25
其中：C1215C4(C2)2为恰有1双配对的方法数 11法二：分两种情况考虑：k?C1?C8?C6252!+C5
其中：C1C118?C65?2!为恰有1双配对的方法数
法三：分两种情况考虑：k?C12?C125(C84)+C5 其中：C1215(C8?C4)为恰有1双配对的方法数 法四：先满足有1双配对再除去重复部分：k?C125C8-C25
1
2 414法五：考虑对立事件：k?C10-C54(C2)
14 其中：C54(C2)为没有一双配对的方法数
法六：考虑对立事件：k?C1114101?C10?C8?C6?C44!1111
其中：所求概率为p?C10?C8?C6?C44!kC410为没有一双配对的方法数
?1321.
6．在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任取3人记录其纪念章的号码．求： (1) 求最小号码为5的概率； (2) 求最大号码为5的概率． 解：(1) 法一：p?C5212C10C4C23103?112120，法二：p?C3A5A103?112120
(2) 法二：p??，法二：p?C3A4A31012?
7．将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率． 解：设M1, M2, M3表示杯子中球的最大个数分别为1，2，3的事件，则
P(M1)?A4433221?38, P(M2)?C3?A443?916, P(M3)?C443?116
8．设5个产品中有3个合格品，2个不合格品，从中不返回地任取2个，求取出的2个中全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品的概率各为多少？
解：设M2, M1, M0分别事件表示取出的2个球全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品，则 P(M2)?C3C52211?0.3,P(M1)?C3C2C52?0.6,P(M1)?C2C522?0.1
9．口袋中有5个白球，3个黑球，从中任取两个，求取到的两个球颜色相同的概率．
解：设M1=“取到两个球颜色相同”，M1=“取到两个球均为白球”，M2=“取到两个球均为黑球”，则M?M1?M2且M1?M2??.
所以P(M)?P(M1?M2)?P(M1)?P(M2)?C5C228?C3C228?1328.
10． 若在区间(0，1)内任取两个数，求事件“两数之和小于6/5”的概率．
解：这是一个几何概型问题．以x和y表示任取两个数，在平面上建立xOy直角坐标系，如图. 任取两个数的所有结果构成样本空间? = {(x，y)：0 ? x，y ? 1} 事件A =“两数之和小于6/5”= {(x，y) ? ? ： x + y ? 6/5} 因此
A的面积?的面积?4?1????2?5?112P(A)???1725．
图？ 2
3
22ax?x（a为常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面
11．随机地向半圆0?y?积成正比，求原点和该点的连线与x轴的夹角小于
?4的概率．
解：这是一个几何概型问题．以x和y表示随机地向半圆内掷一点的坐标，?表示原点和该点的连线与x轴的夹角，在平面上建立xOy直角坐标系，如图. 随机地向半圆内掷一点的所有结果构成样本空间 ?={(x，y)：0?x?2a,0?y? 事件A =“原点和该点的连线与x轴的夹角小于 ={(x，y)：0?x?2a,0?y?因此
1P(A)?A的面积?的面积?2a?12222ax?x}
?4”
?42ax?x,0???2}
142?a2?1?a??1． 2 12．已知P(A)?14,P(BA)?1314,P(AB)??13?11212，求P(A?B)．
P(AB)P(A|B)112?13 解：P(AB)?P(A)P(BA)?,P(B)?1416?112?12?16,
P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)???.
13．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率是多少？
解：题中要求的“已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率”应理解为求“已知所取两件产品中至少有一件是不合格品，则两件均为不合格品的概率”。 设A=“所取两件产品中至少有一件是不合格品”，B=“两件均为不合格品”；
P(A)?1?P(A)?1?C6C22102?23，P(B)?21523C4C210?215，
P(B|A)?P(AB)P(A)?P(B)P(A)?/?15
14．有两个箱子，第1箱子有3个白球2个红球，第2个箱子有4个白球4个红球，现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里，再从第2个箱子中取出一个球，此球是白球的概率是多少？已知上述从第2个箱子中取出的球是白球，则从第1个箱子中取出的球是白球的概率是多少？
解：设A=“从第1个箱子中取出的1个球是白球”，B=“从第2个箱子中取出的1个球是白球”，则
P(A)?C2C115?35,P(A)?25，由全概率公式得
35C5C1P(B)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)??19?25?C4C119?2345,
3
4 由贝叶斯公式得
P(A|B)?P(A)P(B|A)P(B)?35?C5C911/2345?1523.
15．将两信息分别编码为A和B传递出去，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02，而B被误收作A的概率为0.01，信息A与信息B传送的频繁程度为2：1，若接收站收到的信息是A，问原发信息是A的概率是多少？
解：设M=“原发信息是A”，N=“接收到的信息是A”， 已知
P(N|M)?0.02,P(N|M)?0.01,P(M)?2313.
所以
P(N|M)?0.98,P(N|M)?0.99,P(M)?,
由贝叶斯公式得
P(M|N)?P(M)P(N|M)P(M)P(N|M)?P(M)P(N|M)?221196?0.98?(?0.98??0.01)?. 333197
111 16．三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为,,，问三人中至少有一人能将此密
534码译出的概率是多少？
解：设Ai=“第i个人能破译密码”，i=1,2,3. 已知P(A1)?15,P(A2)?13,P(A3)?14,所以P(A1)?45,P(A2)?23,P(A3)?34,
至少有一人能将此密码译出的概率为
1?P(A1A2A3)?1?P(A1)P(A2)P(A2)?1?45?23?34?35.
17．设事件A与B相互独立，已知P(A) = 0.4，P(A∪B) = 0.7，求P(BA). 解：由于A与B相互独立，所以P(AB)=P(A)P(B),且
P(A∪B)=P(A)+ P(B) - P(AB)= P(A)+ P(B) - P(A)P(B)
将P(A) = 0.4，P(A∪B) = 0.7代入上式解得 P(B) = 0.5，所以
P(BA)?1?P(BA)?1?P(AB)P(A)?1?P(A)P(B)P(A)?1?P(B)?1?0.5?0.5.
或者,由于A与B相互独立,所以A与B相互独立，所以
P(BA)?P(B)?1?P(B)?1?0.5?0.5.
18．甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率是多少？
解：设A=“甲射击目标”，B=“乙射击目标”，M=“命中目标”， 已知P(A)=P(B)=1,P(MA)?0.6,P(MB)?0.5,所以
P(M)?P(AB?AB?AB)?P(AB)?P(AB)?P(AB).
4
5 由于甲乙两人是独立射击目标，所以
P(M)?P(A)P(B)?P(A)P(B)?P(A)P(B)?0.6?0.5?0.4?0.5?0.6?0.5?0.8.
P(A|M)?P(AM)P(M)?P(A)P(M|A)P(M)?1?0.60.8?0.75
19．某零件用两种工艺加工，第一种工艺有三道工序，各道工序出现不合格品的概率分别为0.3，0.2，0.1；第二种工艺有两道工序，各道工序出现不合格品的概率分别为0.3，0.2，试问： (1) 用哪种工艺加工得到合格品的概率较大些？
(2) 第二种工艺两道工序出现不合格品的概率都是0.3时，情况又如何？
解：设Ai=“第1种工艺的第i道工序出现合格品”，i=1,2,3； Bi=“第2种工艺的第i道工序出现合格品”，i=1,2.
（1）根据题意，P(A1)=0.7，P(A2)=0.8，P(A3)=0.9，P(B1)=0.7,P(B2)=0.8, 第一种工艺加工得到合格品的概率为
P(A1A2A3)= P(A1)P(A2)P(A3)=0.7?0.8?0.9?0.504,
第二种工艺加工得到合格品的概率为
P(B1B2)= P(B1)P(B2)=0.7?0.8?0.56,
可见第二种工艺加工得到合格品的概率大。
（2）根据题意，第一种工艺加工得到合格品的概率仍为0.504，而P(B1)=P(B2)=0.7, 第二种工艺加工得到合格品的概率为
P(B1B2)= P(B1)P(B2)=0.7?0.7?0.49.
可见第一种工艺加工得到合格品的概率大。
1．设两两相互独立的三事件A，B和C满足条件ABC = ?，P(A)?P(B)?P(C)?P(A?B?C)?91612,且已知
，求P(A)．
解：因为ABC = ?，所以P(ABC) =0,
因为A，B，C两两相互独立，P(A)?P(B)?P(C),所以
P(AB)?P(BC)?P(AC)?P(A)P(B)?P(B)P(C)?P(A)P(C)?3[P(A)]
2由加法公式P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(BC)?P(AC)?P(ABC)得
3P(A)?3[P(A)]?2916 即 [4P(A)?3][4P(A)?1]?0
考虑到P(A)?12,得P(A)?14.
2．设事件A，B，C的概率都是
12，且P(ABC)?P(ABC)，证明：
122P(ABC)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?．
证明：因为P(ABC)?P(ABC)，所以
P(ABC)?1?P(A?B?C)?1?[P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(BC)?P(AC)?P(ABC)]P(A)?P(B)?P(C)?12将
代入上式得到
5