41 V 1 U 1 2 4/9 4/9 2 0 1/9 (2) E(U)= 4/9+2×5/9=14/9， E(V)= (4/9+2/9+2/9)+ 2×1/9=10/9， E(UV)= 4/9+2×4/9+4×1/9=16/9, Cov(U，V)=16/9-140/81=4/81 7. 随机变量X的概率密度为
?1/2,?fX(x)??1/4,?0,??1?x?00?x?2 其它令Y?X2,F(x,y)为二维随机变量（X，Y）的分布函数，求Cov(X，Y)．
解：
E(X)??????xfｘ(x)dx?2?30?11/2xdx??02021/4xdx?1/4E(Y)?E(X)?3?????xfｘ(x)dx???2?0?1x/2dx??20x/4dx?5/62E(XY)?E(X)????xfｘ(x)dx?3??1x/2dx?23?20x/4dx?7/83
则：Cov(X,Y)?E(X)?E(X)E(X)?7/8?(1/4)?(5/6)?2/38. 对于任意二事件A和B，0 < P(A) < 1，0 < P(B) < 1，??P(AB)?P(A)?P(B)
P(A)P(B)P(A)P(B)称作事件A和B的相关系数．
(1) 证明事件A和B独立的充分必要条件是其相关系数等于零． (2) 利用随机变量相关系数的基本性质，证明??1．
证明: (1) ?0?P?A??1 0?P?B??1 ?P(A)P(B)P(A)P(B)?0 ,
??0?P?AB??P?A?P?B??0?P?AB??P?A?P?B?
即??0是事件A和B独立的充分必要条件(2) 考虑随机变量X和Y
１，A出现?X＝?０， A不出现?１，B出现? Y＝?
０， B不出现?
41
42 X服从0-1分布:
X pi Y服从0-1分布:
X pi 可见, E?X??P?A?,E?Y??P?B?
0 1-P(B) 1 P(B) 0 1-P(A) 1 P(A) ????E?X???P?A?P?A?
D?Y??E?Y???E?Y???P?B?P?B?
D?X??EX2222Cov?X,Y??E?XY??E?X?E?Y??P?AB??P?A?P?B?
随机变量Ｘ和Ｙ的相关系数?1?P(AB)?P(A)P(B)P(A)P(A)P(B)P(B)??
由两随机变量的相关系数的基本性质有??1
第五章
5三、解答题
1. 设随机变量X1，X2，…，Xn独立同分布，且X～P(?)，X?P{|X??|?2?}的下界。
?ni?11nXi，试利用契比谢夫不等式估计
解：因为X～P(?)，E(X)?E(D(X)?D(1n1n?ni?1Xi)?1n21ni?E(Xni?1)?1n?n???
?ni?1Xi)?1n2n?i?1D(Xi)?n??1n?
由契比谢夫不等式可得
P{|X??|?2?}?1??/n4??1?14n
2. 设E(X) = – 1，E(Y) = 1，D(X) = 1，D(Y) = 9，? XY = – 0.5，试根据契比谢夫不等式估计P{|X + Y | ? 3}的上界。
解：由题知 ??X?Y????X????Y?=??1??1=0 Cov?X,Y?=?xy?D?X??D?Y?=??0.5??1?9= -1.5
D?X?Y??D?X??D?Y??2Cov?X,Y??1?9?2???1.5??7
所以P?X?Y?3????(X?Y)?0?3??79
3. 据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布．现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的．求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率．
解：设i个元件寿命为Xi小时，i = 1 ,2 , ...... , 16 ，
则X1 ，X2 ，... ，X16独立同分布，且 E(Xi ) =100，D(Xi ) =10000，i = 1 ,2 , ...... , 16 ，
42
43 16164E(??i)?1600,D(??i)?1.6?10， i?1i?116由独立同分布的中心极限定理可知：??i近似服从N ( 1600 , 1.6?10000)，所以
i?116i?????i?1????1920?=1???????i?116i?16???i?1600?1920?1600i?1?1920??1??????160000?1.6?10000????? ?????1???0.8?=1- 0.7881= 0.2119
4. 某商店负责供应某地区1000人商品，某种商品在一段时间内每人需要用一件的概率为0.6，假定在这一时间段各人购买与否彼此无关，问商店应预备多少件这种商品，才能以99.7%的概率保证不会脱销（假定该商品在某一时间段内每人最多可以买一件）．
解：设商店应预备n件这种商品，这一时间段内同时间购买此商品的人数为X ， 则X ~ B（1000，0.6），则E(X) = 600，D (X ) = 240， 根据题意应确定最小的n，使P{X ≤n }= 99.7%成立. 则P{X ≤n }?????X?600240?n?600?n?600??()?0.997??(2.75) ?240?240所以n?2.75?240?600?642.6，取n=643。
即商店应预备643件这种商品，才能以99.7%的概率保证不会脱销。
5. 某种难度很大的手术成功率为0.9，先对100个病人进行这种手术，用X记手术成功的人数，求P{84 < X < 95}．
解：依题意, X ~ B（100，0.9），则E(X) = 90，D (X ) = 9，
P{84?X?95)?P{84?903?X?903?95?903}
55??()??(?2)??()?1??(2)?0.95254?1?0.97725?0.92979
336. 在一零售商店中，其结帐柜台替顾客服务的时间（以分钟计）是相互独立的随机变量，均值为1.5，方差为1．求对100位顾客的总服务时间不多于2小时的概率．
解：设柜台替第i位顾客服务的时间为X i ，i = 1,2,3.....100. 则X i ，i = 1,2,3.....100独立同分布，且E（X i）=1.5，D(X i )=1，所以
???100?P????i?1??? ????3??1???3??1?0.9987?0.0013
即对100位顾客的服务时间不多于两个小时的概率为0.0013.
?100??xi?100?1.5120?150??xi?120??P?i?1?100?1100????7. 已知笔记本电脑中某种配件的合格率仅为80%，某大型电脑厂商月生产笔记本电脑10000台，为了以99.7%的把握保证出厂的电脑均能装上合格的配件，问：此生产厂商每月至少应购买该种配件多少件？
解：设此生产厂商每月至少应购买n件该种配件，其中合格品数为X，则X ~ B(n，0.8), 0.997=P{X?10000}=错误！未找到引用源。P{
X?0.8n0.16n?10000?0.8n0.4n}?1??(10000?0.8n0.4n)错误！未找
43
44 到引用源。 ，
解得 n=12655错误！未找到引用源。
即此生产厂商每月至少应购买12655件改种配件才能满足以99.7错误！未找到引用源。的把握保证出厂的电脑均能装上合格的配件。
8. 已知一本300页的书中，每页的印刷错误的个数服从参数为0.2的泊松分布，试求整书中的印刷错误总数不多于70个的概率．
解：记每页印刷错误个数为Xi，i=1，2，3，…300，
则它们独立同服从参数为0.2的泊松分布，所以E（X i）=0.2，D(X i )=0.2 所以 ?300 P???i?1?300?X-0.2?300??i70-60???i?1?Xi?70??P?????0.2?30060????????10??? ?????1.29??0.90147?60?9. 设车间有100台机床，假定每台机床是否开工是独立的，每台机器平均开工率为0.64，开工时需消耗电能a千瓦，问发电机只需供给该车间多少千瓦的电能就能以概率0.99保证车间正常生产？
解：设发电机只需供给该车间m千瓦的电能就能以概率0.99保证车间正常生产， 记X为100台机床中需开工的机床数，则X ~ B(100，0.64), E（aX）=64a ，D(aX ) =100×0.64×0.36a
2
?aX?64am?64a?P?aX?m??P????0.99??(2.33)
4.8a??a100?0.64?0.36m?64a4.8a?2.33，所以m?64a?2.33?4.8a?75.18a
10. 某保险公司的老年人寿保险有1万人参加,每人每年交200元．若老人在该年内死亡，公司付给家属1万元．设老年人死亡率为0.017，试求保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率．
解：设当年内投保老人的死亡数为X，则X ~ B (10000,0.017)。 保险公司在一年内的保险亏本的概率为 P?X?200??1?P?X?200?
??200?10000?0.017 ?1?????170?(1?0.017)?????
?1??(2.321)?0.01
所以保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率是0.01
四、应用题
1. 某餐厅每天接待400名顾客，设每位顾客的消费额（单位：元）服从区间(20，100)上的均匀分布，且顾客的消费额是相互独立的，求该餐厅的日营业额在其平均营业额?760元内的概率．
解：设每位顾客的消费额为Xi ，i =1,2,…400, 且 X i ~ U (20，100)，则
E?Xi??100?202?60,D?Xi???100?20?122?80?8012?16003，
由独立同分布的中心极限定理 44
45 400 所以
?i?11600??Xi~N?400?60,40?0?,
3??近似?P??400?i?1Xi?400?60400??760???24000400??P??760??????P??????i?1Xi??760??i
760400????3????16003???????760400?16003400??i?1X?2400016003?400?????P??760????2??3?i?1Xi?2400016003?760400?3?760??1??1?0.9505?2??1.64542. 设某型号电子元件的寿命（单位：小时）服从指数分布，其平均寿命为20小时，具体使用时当一元件损坏后立即更换另一新元件，已知每个元件进价为110元，试问在年计划中应为此元件作多少元的预算，才可以有95%的把握保证一年的供应（假定一年工作时间为2000小时）．
解：设应为这种元件作m元的预算，即需进m/110个元件， 记第i件的寿命为Xi小时，i =1，2，3···, m/110，且X i ~ E (20)， 所以E（X i）= 20 ，D(X i ) = 400，
?m/110?P??Xi?2000? ?i?1?=
?n??Xi?20?m/1102000?20m/110?P?i?1?400?m/11020m/110?????11000?m?)??1??(110m???=0.95
?(m?11000110m)?0.95??(1.645)，所以
m?11000110m?1.645,所以m=12980
即在年计划中应为此元件作12980元的预算，才可以有95%的把握保证一年的供应.
3. 据调查某村庄中一对夫妻无孩子、有1个孩子、有2个孩子的概率分别为0.05，0.8，0.15．若该村共有400对夫妻，试求：(1) 400对夫妻的孩子总数超过450的概率；(2) 只有1个孩子的夫妻数不多于340的概率．
解：(1) 设第k对夫妻 孩子数为X k ，则X k的分布律为
X k p 4004000 0.05 1 0.8 2 0.15 22则E(Xk)?0?0.05?1?0.80?2?0.15?1.1，D(Xk)?E(Xk)?E(Xk)?0.19
?k?1Xk?400?1.1??k?1Xk?440
?440?400?0.1976400 故P(?Xk?450)?P(k?1k?1400?Xk450?4407676)?1??(450?44076)?1??(1.147)?0.1357即400对夫妻的孩子
总数超过450的概率为0.1357
(2) 设Y为只有一个孩子的夫妻对数，则Y ~ B (400,0.8)，
45